函數思想在高中數學解題中的有效應用

馮有勝

【摘 要】 ?函數是一類比較特殊的數學知識，不僅是一個重要的知識點，幾乎貫穿于整個高中數學教學，還是一種常見的數學思想，在解題中也有著廣泛的運用空間.在高中數學解題教學中，教師除傳授給學生一些常用的解題方法，還要指導他們學會有效應用函數思想，使其將所學知識轉化成一種能力，慢慢形成嚴密的數學邏輯思維與良好的認知結構.本文針對函數思想如何在高中數學解題中有效應用作分析與探討，并分享部分解題實例.

【關鍵詞】 ?函數思想;高中數學;解題

函數思想作為解決數學試題的一種常用思維策略，經過長時間的研究與探索發現運用這種思維策略處理問題時有著一個共同特點，那就是運用定量與變量間的關系.函數描述的是自然界中量之間的依存關系，反映的是一個事物隨著另外一個事物發生變化的規律與聯系.高中數學教師在平常的解題訓練中應指引學生有效應用函數思想，使其從已知信息中提煉出數學語言，構造出函數關系，再讓他們結合函數關系把問題解決掉，最終提高解題效率.

1 有效應用函數思想解決集合類試題

集合屬于高中數學教學體系中的基礎性知識，是學生步入高中以后最先接觸到的一個知識點，還是他們學習函數知識的基礎.從集合與函數之間的關系來看，函數能看成兩個實數集合之間的映射，也就是自變量和函數值這兩個集合，且每個自變量都有唯一的函數值與之對應.這充分說明解決集合問題時往往需要函數思想提供助力，高中數學教師可以引導學生有效應用函數思想解決集合類試題，使其快速找到準確的解題思路，提高做題的正確率 [1] .

例1 ??已知一個集合A={x|－4x+3＜0}，另外一個集合B={x|x 2－2x+m≤0，且x 2－2nx+5≤0}，假如AB，請求出實數m和n的取值范圍分別是什么？

解析 ??因為題目出現的集合及兩個集合之間的關系，還涉及不等式知識，假如學生依然使用常規思路來解題，不僅過程比較煩瑣與復雜，還極易導致錯誤現象的出現，這時教師可以提醒他們使用函數思想，使其找準題目中的變量關系及數值之間的對應關系，從而形成正確的解題思路，且簡化解題流程.

具體解題方式如下所示：

先將集合A進行化簡，能夠得到

A= x|x＞ 3 4 ?.

設f（x）=x 2－2x+m，g（x）=x 2－2nx+5，

則B1={x|x 2－2x+m≤0}，

B2={x|x 2－2nx+5≤0}，B=B1∩B2，

結合題目中給出的AB這一條件，能夠得出AB1且AB2，也就是說區間（1，3）應當分別被集合B1與B2所對應的區間相包含，結合以上現象能夠畫出兩個函數f（x）和g（x）的圖象，如圖1所示，

由此能夠得到f（1）≤0，f（3）≤0，且g（1）≤0，g（3）≤0，

然后把對應的值代入到題目中的各個式子當中，最終通過對不等式組的求解得出的m和n取值范圍，把題目難度降低.

2 有效運用函數思想解決方程類試題

方程和函數之間有著十分緊密的關系，高中生在之前已經學習過有關方程與函數的相關知識，不過對于兩者之間的聯系則了解得不多，學到的內容比較淺顯，但是在高中數學課程教學中，比較重視方程與函數的聯系，甚至專門安排一定的章節讓他們深入學習，這為函數思想在解答方程類試題中的應用做鋪墊.對此，高中數學教師在解題訓練中可以引領學生有效運用函數思想去解決方程類試題，使其能夠結合函數的性質或者圖象輕松處理問題 [2] .

例2 ??（1）已知方程x 6－6x 4－x 3+12x 2－8=0，求該方程的實數根；（2）已知方程 x =ax+1存在一個負根，而且不存在正根，請求出a的取值范圍.

解析 ??針對（1）中的方程是一個高次方程，（2）中的方程則是一個含有絕對值的方程，學生通過觀察發現這是兩個較為特殊的方程，特別遇到高次方程時，由于沒有學習相關解法，他們通常感到不知所措，不知道從何處著手，不知不覺地產生懼怕心理，而含有絕對值的方程則往往涉及分類討論，難度同樣不小，但是有效運用函數思想能夠起到意想不到的效果.

具體解題方式如下所示：

（1）把原方程轉變為x 6－6x 4+12x 2－8=x 3，

據此得到（x 2－2） ?3=x 3，

那么方程f（x 2－2）=f（x），

因為f（x）在 R 上是單調遞增函數，

所以x 2－2=x，也就是x 2－2－x=0，

由此得到x1=－1，x2=2，

即為原方程的兩個實數根分別是－1和2；

（2）將a作為因變量，x作為自變量，對方程進轉化，

結合原方程能夠得到

a= ?x －1 x ＝ ?1－ 1 x ，x>0，－1－ 1 x ，x<0.

將它們的圖象畫出來，如圖2所示，結合圖象，因為方程不存在正根，

可以直接得出a≥-1.

3 有效采用函數思想解決不等式試題

雖然不等式與函數是兩個性質迥異的知識，不過在高中數學教學過程中，兩者之間的關系較為密切，教材中還編排有“二次函數與不等式”這一內容，這是為應用函數思想解答不等式問題做的理論準備，主要揭示的是不等式性質反映出的函數單調性.這就要求高中數學教師在解題訓練中應引導學生有效采用函數思想分析與解決不等式試題，使其進一步理解不等式的本質特征，讓他們借助函數思想解答不等式中的最值問題，以及恒成立問題等 [3] .

例3 ??已知對于任意x∈［-1，1］，f（x）=x 2+（a－4）x+4－2a的值大于0恒成立，請問a的取值范圍是什么？

解析 ??教師可直接提醒學生運用函數思想展開審題，把原題內容描述為“在某個閉區間中有參數的二次函數大于0恒成立”的問題，使其結合分類討論思想將x∈[－1，1]根據對稱軸x= 4－a 2 進行分類討論，具體分為1＜ 4－a 2 ，－1≤ 4－a 2 ≤1， 4－a 2 ＜－1三大段，逐個討論每段在函數的遞減、遞增區間上f（x）值的情況，分別求出的a取值范圍，綜合起來能夠得到的最終取值范圍是a＜1.

具體解題方式如下：

對于任意x∈［-1，1］，

f（x）=x 2+（a－4）x+4－2a的值大于0，

則x 2+（a－4）x+4－2a＞0，

所以a（x－2）＞－x 2+4x－4，

因為x∈［-1，1］，

則a＜ －（x－2） ?2 x－2 =2－x在x∈［-1，1］上恒成立，

即a＜（2－x） min ?，

當x=1時，（2－x） ?min ?=1，

所以a<1.

在這一解題過程中，通過有效采用函數思想，學生進行解題時不用考慮Δ＜0的情況，既可以保證各種情況都沒有被遺漏掉，還可以提升他們解題的準確度，使其做起題來又快又準確.

4 有效使用函數思想解決數列類試題

數列是高中數學教學中的核心內容之一，也是高考數學中的必考點，高中生主要學習數列的概念，以及等比數列和等差數列相關知識，從實質上來說，數列為函數中的一個特殊產物，即當某個函數的定義域為正整數集時，這個函數就是一個數列.在高中數學平常解題訓練中，當遇到一些數列類試題時，尤其要求出最值時，教師應當提示學生有效使用函數思想，使其快速找到清晰、準確的解題思想，適當減少運算步驟，讓他們輕松解決數列題 [4，5] .

例4 ??已知函數f（x）=3x 2+bx+1是一個偶函數，g（x）=5x+c是一個奇函數，正向數列an= ?2 3 ???n-1 ，n∈ N ??* ，假如數列bn=2f（an）－g（an+1 ），那么在數列{bn}中哪個項的值最大和最小？

解析 ??學生解答本題時如果純粹使用數列方面的知識，雖然也能夠求得最終結果，但是計算起來較為繁瑣，步驟較多，還容易出現錯誤，影響結果的準確度，這時教師可提示學生有效使用函數思想，使其找到題目中的變量，以及量與量之間的對應值，據此找到簡便的解題方法，提高解題的正確率.

具體解題方式如下所示：

結合題干信息能夠得到f（x）=3x 2+1，g（x）=5x，

那么bn=6a 2n－5an+1 ，n∈ N ??* ，

代入相關數值后得到bn=6 an－ 5 18 ???2+ 83 54 ，

因為an= ?2 3 ??n-1 是一個逐項變小的數列，基于函數思想來看就是一個減函數，

所以當n＝1，2，3，4時，an> 5 18 ；

當n≥5，n∈ N ??* 時，an< 5 18 ；

當n=4時，bn= 274 243 ，

當n=5時，bn= 197 125 ，

由此表明b4

又因為an= ?2 3 ???n-1 ∈ 0，1 ，

則an=1，即為當n=1時，數列{bn}的最大值是b1= 14 3 .

綜合起來，在數列{bn}中，第4項的值最小，是 274 243 ，第1項的值最大，是 14 3 .

在解答上述題目時，學生能夠切實體會到數列是一種比較特殊的函數，特殊之處在于自變量的取值范圍為自然數，而且數列bn可以看成是二次函數y=6 x- 5 18 ???2+ 83 54 ，由此表明求數列bn中的最值時可以結合求二次函數中的最值方法，讓他們寬松、準確地求得結果.

5 結語

在高中數學解題實踐中，由于考查到的知識難度、深度同初中數學相比均有所提升，致使題目難度也在增加，教師要給予格外關注與認真對待，帶領學生有效應用函數思想進行解題，將一些常見的數學試題轉變成函數問題，以此拓展他們的解題思想，突破以往思考問題的方式，把復雜問題變得簡單化，使其快速找到解題的突破口，最終快速求出準確結果.

參考文獻：

[1] 張宏斌.淺談函數思想在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2022（18）：26-28.

[2]邵春燕.高中數學解題教學中函數思想的應用[J].數理天地（高中版），2022（06）：29-30.

[3]崔英紅.關于函數思想的高中數學解題教學策略分析[J].科幻畫報，2022（02）：155-156.

[4]李俠.淺談函數思想在高中數學解題中的運用分析[J].數理化解題研究，2021（36）：18-19.

[5]付細茍.函數思想在高中數學解題應用中的再思考和實踐[J].中學課程輔導（教師通訊），2020（15）：59-60.