對(duì)新教材中一道習(xí)題的深度探究

張良超

【摘 要】 ?面對(duì)新教材，教師課前應(yīng)該深挖課本案例，提高“借題發(fā)揮”的眼光，重視教材，那么教師在習(xí)題講解時(shí)就能適時(shí)多面展開(kāi)，有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，實(shí)現(xiàn)不同的學(xué)生在同一個(gè)例題上有不同的獲得感.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；解題；深度探究

1 原題再現(xiàn)

原題出處1 ??新教材北師大版必修第一冊(cè)137頁(yè)“5.2.1 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫”.如圖1所示，在距A城市45 km 的B地發(fā)現(xiàn)金屬礦.現(xiàn)知由A至某方向有一條直線鐵路AX，B到該鐵路的距離為27 km .欲運(yùn)物資于A，B之間，擬定在鐵路線AX上的某一地點(diǎn)C筑一公路到B.已知公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的2倍，則地點(diǎn)C到A地的距離為多少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低？

原題出處2 ??新教材人教 A 版必修第一冊(cè)74頁(yè)“3.1函數(shù)的概念及其表示”.如圖2所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)P的距離是2 km ，從點(diǎn)P沿海岸正東12 km 處有一個(gè)城鎮(zhèn).

（1）假設(shè)一個(gè)人駕駛小船的平均速度為3 km/h，步行的速度是5km/h ，t表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x表示此人將船停在海岸處距點(diǎn)P的距離.請(qǐng)將t表示為x的函數(shù).

（2）如果將船停在距P點(diǎn)4 km 處，那么從小島到城鎮(zhèn)要多長(zhǎng)時(shí)間（精確到0.1 h ）？

2 習(xí)題分析

如圖1所示，設(shè)地點(diǎn)C到A地的距離為x km ，在直角三角形ABD中，AD=36 km ，

BC= ?36－x ??2+27 ?2 ，

2BC+AC=x+2 ?36－x ??2+27 ?2 .

令m=36－x∈［0，36］，要使總運(yùn)費(fèi)最小，

等價(jià)于求2BC+AC=－m+2 m 2+27 ?2 +36的最小值.

人教版設(shè)置的兩小問(wèn)主要考查學(xué)生基于實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型的能力（解析法表示函數(shù)），

即t=- x 5 + 1 3 ???x ?2 +4 + 12 5 （0≤x≤12），

并運(yùn)用模型回答現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 由于函數(shù)的基本性質(zhì)是接下來(lái)的內(nèi)容，故這里沒(méi)有涉及最值問(wèn)題，當(dāng)然作為教師可以在章節(jié)復(fù)習(xí)課的時(shí)候回歸教材，將這一實(shí)際問(wèn)題得到徹底解決，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng).

3 深度探究

本質(zhì)上兩道習(xí)題是同一個(gè)問(wèn)題，即求形如y=ax+b x 2+c （b>|a|，a<0，c>0）的最值問(wèn)題. 本文以原題1為例，試從不同的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析，深挖基本思想、基本方法，供讀者參考.

3.1 判別式法

為計(jì)算方便，令t= 36－x 9 ∈［0，4］，

于是2BC+AC=9 －t+2 t 2+9 ?+36，

記z=2 t 2+9 －t，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求z的最小值.

移項(xiàng)平方可得z 2+t 2+2zt=4t 2+36.

上式可看作關(guān)于t的方程：3t 2－2zt－z 2+36=0，

此方程一定有解，即Δ=4z ?2 -4×3（36-z ?2 ）≥0.

解得z≥3 ??3 或者z≤-3 ??3 ?（舍去），

當(dāng)z=3 3 時(shí)，t= 3 ∈［0，4］.

綜上，地點(diǎn)C到A地的距離為36－9 3 時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小.

評(píng)注 ??求函數(shù)最值可轉(zhuǎn)化為方程有解，進(jìn)而運(yùn)用判別式法求最值，但需要注意Δ≥0是方程有根的必要條件，所以需要檢驗(yàn)函數(shù)取到最值時(shí)，自變量的取值是否在定義域內(nèi).

3.2 平面幾何法

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AD于點(diǎn)D，則BD=27 km ，AD=36 km . 由題意，要使總運(yùn)費(fèi)最少，只需BC+ 1 2 AC最小即可.

作∠XAY=30 ° ，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AY于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AY于點(diǎn)F交AX于點(diǎn)C1.

于是有CE= AC 2 ，

則BC+ 1 2 AC=BC+CE，

在三角形BCE中，BC+CE>BE;

在直角三角形BFE中，BE>BF，

即BC+CE>BF.

當(dāng)點(diǎn)C與C1重合，則BC+CE=BF，

此時(shí)∠DBC=∠XAY.

DC1=BD tan 30 ?° =9 3 ?km ，

故地點(diǎn)C到A地的距離為36－9 3 時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小.

評(píng)注 ??此類加權(quán)線段和最值問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有：兩點(diǎn)之間線段最短、三角形三邊關(guān)系、垂線段最短. 此解法起點(diǎn)低，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象能力.

3.3 不等式法

由不等式： （a 2+b 2）（c 2+d 2） ≥ ac+bd ，

其中a，b，c，d∈ R ，

取“=”號(hào)的條件：ad=bc.

y=x+2 ?36－x ??2+27 ?2 =x+ 1 2+（ 3 ） ?2 ??36－x ??2+27 ?2 ≥36+27 3 ，

取“=”號(hào)的條件：27=（36－x） 3 ，

即x=36－9 3 ?.

評(píng)注 ??利用柯西不等式求最值的關(guān)鍵是觀察所求式或者限制條件，構(gòu)造出符合柯西不等式的形式.

3.4 三角換元法

只需求z=－t+2 t 2+9 的最小值.

令t=3 tan θ， 則z=－3 ?tan θ－ 2 ?cos θ ?，

于是只需求 tan θ－ 2 ?cos θ = ?sin θ－2 ?cos θ 的最大值.

記A（ cos θ， sin θ）為單位圓上一點(diǎn)，B（0，2），

則 ?sin θ－2 ?cos θ－0 =kAB .

當(dāng)AB與單位圓相切時(shí)kAB 最大，且OA⊥AB，OB=2OA=2，

易知θ=∠xOA=30 ° ，此時(shí)t= 3 ∈［0，4］，

z min ?=3 3 .

評(píng)注 ??數(shù)形結(jié)合的思想就是依據(jù)函數(shù)表達(dá)式找到其所代表的幾何意義，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，此解法就是利用直線斜率的幾何意義.