一種縮短虛擬編組列車追蹤間距的魯棒模型預測控制方法

羅嘯林，唐 濤，林炳躍，劉宏杰

(1.北京交通大學 電子信息工程學院，北京 100044；2.北京交通大學 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 通信信號研究所，北京 100081；4.北京交通大學 軌道交通運行控制系統國家工程研究中心，北京 100044)

軌道交通安全、高效、便捷的優點使其成為公眾出行的首選方式。面對不斷增長且時空分布極不均衡的客運需求,運營管理部門既希望提升軌道交通最大運能以滿足高峰客流需求,又希望能夠根據客流實時變化,動態靈活地調整列車開行方式,在不降低乘客服務質量的前提下降低平峰時期的運輸成本。針對該問題,可隨著客流需求的變化而動態編組或解編的虛擬編組列車受到了業界的廣泛關注[1]。

虛擬編組列車由兩個及以上數量的單元列車構成,見圖1。各單元列車根據與其他單元列車的實時交互信息控制本列車的牽引和制動行為,以保持較小的追蹤間距運行。通常將第一輛單元列車稱為領航單元列車,后續的各單元列車均稱為跟隨單元列車。目前,軌道交通列車大多采用固定的編組方式(如物理編組)運行,且編組方式在運行過程中不會改變,難以完全滿足運力靈活調整的需求[2]。而虛擬編組單元列車間采用基于相對制動距離的方式防護行車安全,該方式可極大地縮短列車追蹤間距,使得虛擬編組列車擁有與物理編組列車一致或接近的運行方式,從而提升軌道線路運輸能力[3]。此外,虛擬編組列車還能夠在不停車甚至不減速的情況下進行動態地編組和解編[4]。虛擬編組已成為目前軌道交通的研究熱點。

圖1 虛擬編組列車

由于相鄰單元列車不進行物理連掛,在運行過程中,彼此之間無法依靠車鉤傳輸作用力而維持適當的小間距。因此,為實現虛擬編組列車安全運行,除了要保證各單元列車速度不超過軌道限速,還要保證單元列車追蹤間距不小于安全防護距離。而虛擬編組列車運行控制系統不僅要滿足上述安全約束條件,還要通過實時調整列車牽引力和制動力使得列車按照期望的方式運行,避免導致輸出不必要的緊急制動影響運行效率。針對該虛擬編組列車運行控制問題,已有一些學者展開了研究[5-9]。Quaglietta等[5]根據列車動力學特點設計一種反饋控制律,控制虛擬編組內單元列車保持加速度一致。Di等[6]提出一種基于多智能體的虛擬編組列車運行控制方法保證單元列車追蹤間距維持在期望值。但是,以上研究在設計控制方法時并未充分考慮虛擬編組列車在運行過程中受到的安全約束。此外,在虛擬編組中前車的狀態決定了后車的控制目標與安全約束,因此應該合理地對未來可能發生的變化做出規劃。為控制虛擬編組單元列車在滿足各類安全約束時保持較小的追蹤間距運行,一些學者提出基于模型預測控制(Model Predictive Control,MPC)的虛擬編組列車追蹤控制方法[7-9]。

MPC方法通過構建一個以當前系統狀態為輸入的有限時域約束最優控制問題,并在線對其求解,得到未來一段時間內的最優控制輸入序列,將該序列中的第一個值作用于被控系統,并在下一控制周期重復上述過程,實現系統的在線迭代最優控制[10]。針對虛擬編組列車追蹤控制問題,文獻[8-9]基于不存在未知干擾的理想環境,利用MPC方法控制虛擬編組列車在滿足各類安全約束的前提下維持期望的追蹤間距。但實際列車運行過程中存在的諸多不確定干擾會令控制效果出現偏差,從而導致列車違背安全約束。為解決干擾條件下的約束滿足問題,Mayne等[11]提出一種基于Tube的魯棒MPC(RMPC)方法,其原理見圖2。首先通過RMPC的魯棒性使被控系統的實際狀態始終保持在距預測狀態有界的誤差范圍之內,進而只要使誤差范圍內所有可能的實際狀態都滿足約束條件,就能夠保證實際被控系統滿足約束。該研究對本文針對不確定干擾環境提出基于RMPC的分布式虛擬編組列車追蹤控制方法具有重要借鑒意義。

圖2 RMPC原理

除保證列車在運行過程中滿足安全約束之外,虛擬編組還要求單元列車保持較小的追蹤間距。但更小的單元列車追蹤間距增大了違背安全約束的風險,這時對追蹤控制方法提出了更高的要求。為保證滿足安全約束,RMPC在規劃時考慮潛在的控制誤差,因此,預測軌跡會與安全約束保持一定距離。而減小控制誤差范圍則能夠允許RMPC的預測軌跡更逼近安全約束,進而為單元列車保持更小的追蹤間距提供了可能性。Yang等[12]提出一類基于自適應觀測器的RMPC方法,其自適應機制能夠縮小被控系統實際狀態與觀測狀態的誤差,提升性能表現。此后,Yang等[13]通過優化魯棒控制器參數進一步縮小了RMPC的誤差范圍。受到上述文獻設計理念的啟發,并結合文獻[14]中的基于線性矩陣不等式(LMI)的魯棒控制方法,設計一種優化算法以減小本文提出RMPC方法的控制誤差。此外,考慮列車的控制輸入飽和問題導致列車控制輸入的大小會受到一定限制[15],在算法設計過程中對列車控制輸入的大小進行了相應的限制,以保證所設計算法的實用性。本文的主要貢獻如下:

(1)考慮列車運行過程中的不確定干擾,提出一種基于RMPC的分布式控制方法,保證了虛擬編組單元列車追蹤間距的有界性,同時還保證了虛擬編組列車運行的安全性,滿足速度安全約束與追蹤間距安全約束等。

(2)設計一種基于LMI的優化算法,在輸入飽和條件下減小RMPC控制器的控制誤差,達到進一步縮短虛擬編組單元列車追蹤間距的目的。

(3)基于典型的城軌線路數據和車輛參數,對由3輛單元列車構成的虛擬編組列車,在一個站間的完整運行過程進行了數值仿真實驗,并與現有文獻中的方法進行對比。仿真結果證明本文所提出基于RMPC的虛擬編組列車控制方法及其優化算法的有效性,在不確定干擾環境下的單元列車追蹤間距可從10 m縮短至5.05 m。

1 虛擬編組列車運行控制模型

1.1 列車動力學模型

列車動力學模型作為虛擬編組列車控制的基礎,可基于牛頓力學方程將其建立為

( 1 )

( 2 )

式中:xi(t)=[si(t)vi(t)]T為單元列車i的狀態向量;ωc=[0δ(t)]T為列車動力學模型中的有界不確定成分;矩陣Ac和Bc為狀態空間方程的參數,滿足

( 3 )

實際中,列車狀態信息通常以離散采樣的方式獲取。為方便控制器設計,可通過零階保持器將連續空間狀態方程轉化為離散形式,即對于任意的t∈[kτ,(k+1)τ],保持ui(t)=ui,k,其中,τ為離散系統采樣間隔時間,ui,k為離散系統控制輸入在第k個采樣時刻的值。則式( 2 )的列車狀態空間方程可轉換為如下離散形式

xi,k+1=Axi,k+Bui,k+Dω

( 4 )

式中:xi,k=[si,kvi,k]T為列車i在第k個采樣時刻的狀態;ω對應列車動力學模型中的不確定成分。由于ωc有界,經過離散化得到的ω能夠繼承其有界的性質,滿足|ω|≤1。各參數矩陣分別滿足

( 5 )

1.2 虛擬編組列車最優控制問題

虛擬編組期望各單元列車保持盡可能小的追蹤間距。在本文中,要求領航單元列車根據調度指揮系統的指令,以盡可能高的速度運行;跟隨單元列車則根據車車通信接收到的前車狀態與控制信息,通過調整其控制行為,盡可能減小與前車間的追蹤間距。為便于理解,將單元列車追蹤間距定義為si-1,k-L-si,k,其中L為單元列車車長。在運行過程中領航單元列車需要滿足速度約束,而跟隨單元列車需要同時滿足速度約束與安全防護距離約束。

根據上述設計,可以定義虛擬編組列車的最優控制問題

( 6 )

要求滿足狀態空間方程(4)和以下約束

( 7 )

Xs(xi-1,k):={x:Z2x≤Z2xi-1,k-L-sm}

( 8 )

( 9 )

2 面向虛擬編組的分布式魯棒模型預測控制器

根據虛擬編組列車最優控制問題,首先設計分布式RMPC方法對其進行求解。以下將證明在不確定干擾環境下,仍然能夠保證各單元列車滿足安全約束條件式(7)～式(9)。

2.1 虛擬編組列車RMPC控制器設計

為實現虛擬編組列車的安全和魯棒控制,首先根據列車動力學方程(4)中的確定部分,建立名義預測狀態的狀態空間方程

(10)

(11)

(12)

由于RMPC要求控制誤差始終保持在一個有界的范圍之內,因此,要求控制誤差滿足命題1的規定。

條件2KX∈U,其中U:={u|u≤μ}。

命題1中的條件1保證了魯棒反饋控制器K能夠使得控制誤差始終保持在一個有界的范圍內?？紤]到列車控制輸入飽和問題,若反饋控制輸入的可行空間過大,則會過多地占用名義控制輸入的可行空間,影響RMPC的控制效果。因此,認為該部分控制輸入需要滿足還要求列車反饋控制輸入滿足命題1中的約束條件2。認為反饋控制律K能夠使得命題1成立,具體的設計方法將在后文中給出。

由于虛擬編組內各單元列車需要分別控制本車運行,將式(6)轉換為面向不同單元列車的分布式最優控制問題。由于跟隨車的控制目標和約束均與其前車相關,為獲得更好的控制效果,本文基于文獻[18]中的序列分布式結構設計單元列車的分布式RMPC控制器。即前車RMPC對本車的最優控制問題求解,得到本車最優控制輸入序列和相應的本車預測狀態序列,并將其發送給后車;后車將前車預測狀態序列代入本車的RMPC最優控制問題中并進行求解,得到本車最優控制序列和相應的本車預測狀態序列;依次傳遞,直至虛擬編組的最尾端的單元列車。

根據以上分布式結構,構造虛擬編組中各單元列車的目標函數為

(13)

滿足名義預測狀態空間方程(10)和

(14)

(15)

(16)

(17)

2.2 列車安全約束滿足條件

在本節中將證明在不確定干擾環境下,仍然能夠保證各單元列車滿足約束條件式( 7 )～式( 9 )。首先,給出如下引理保證實際狀態處于名義預測狀態的有界誤差范圍之內。

證明:

根據列車實際狀態方程,可得

(18)

(19)

接下來,給出定理1,以保證各單元列車在k+1時刻能夠滿足約束條件式( 7 )～式( 9 )。

證明:

(20)

(21)

于是有

(22)

以上,證明各單元列車在k+1時刻能夠滿足約束條件式( 7 )～式( 9 ),證畢。

3 基于LMI的魯棒控制器優化算法

本文中RMPC的控制目標是:在滿足安全約束條件的前提下提升領航單元列車的行駛速度,并縮短跟隨單元列車與前方單元列車的追蹤間距。根據命題1可知,通過減小魯棒不變集X(P)的大小可以減小控制誤差;而根據約束條件式(15)和式(16)可知,若控制誤差越小,則允許的領航單元列車速度越快、相鄰單元列車的追蹤間距越小?；诖?可通過優化魯棒控制器的設計達到提升虛擬編組列車運行控制性能的目的。

3.1 魯棒控制器設計原理

(23)

(24)

(25)

基于文獻[14],可建立以下定理2并據此設計滿足要求的魯棒反饋控制器K。

定理2考慮K=MP-1,則當且僅當以下不等式成立時

(26)

式中:I為單位矩陣;M為中間變量。

此外,為滿足命題1中的條件2,要求式(27)成立

(27)

根據集合X(P)的定義,則式(27)成立的充分條件是

(28)

其等價于

(29)

令不等式兩邊分別左乘、右乘矩陣P,得

(30)

對其應用舒爾補,可得式(27)成立的充分條件

(31)

綜上,可建立定理3使得命題1中的條件2成立。

定理3考慮K=MP-1,當以下LMI成立時,不等式(31)成立,進而條件KX∈U成立。

(32)

證明過程詳見文獻[19]。

至此,已經可以通過定理2和定理3來設計滿足命題1的控制器K。接下來將據此設計優化算法,通過減小控制誤差使單元列車的追蹤間距更小。

3.2 追蹤間距優化算法

由于通過減小魯棒不變集X(P)的大小可以減小控制誤差,因此,可以通過減小集合X(P)的面積來達到縮短單元列車追蹤間距的目標。根據文獻[20]可知,一種減小魯棒不變集X(P)面積的方式是減小矩陣的跡trP的大小。因此,通過求解以下優化問題達到設計優化算法的目的

(33)

要求滿足約束條件式(26)和式(32)。

若將參數α視為變量,則不等式(26)將不具有LMI形式,從而極大增加問題式(33)的求解難度。針對該問題,一種常用的做法是,將α設置為一個常數值,使不等式(26)變為LMI,再基于此對問題式(33)進行求解。然而,選擇不同的α值會得到性能不同的魯棒反饋控制器K與集合X(P)。因此,我們設計以下算法,通過迭代修改α的方式來獲得trP的最小值,盡可能保證所求解對于問題(33)的最優性。

算法1:

參數:β,γ;

初始化:

i=0,α0=1-β,α*=0,f*=+∞,K*=0,P*=0;

步驟:

(1)Whileαi>βdo

(2)α=αi;

(3)求解問題式(33);

(4)If 問題式(33)存在可行解(Mi,Pi) then

(6)Iffi

(7)α*=αi,f*=fi,K*=Ki,P*=Pi;

(8)αi+1=γαi;

(9)i=i+1;

其中,上標*為變量的優性;β為迭代算法的終止條件,滿足0<β<1;γ為變量α的衰減系數,滿足0<γ<1,更大的γ值意味著更小的搜索步長。由于算法1是離線求解的,因此可以根據需要選擇足夠小的β與足夠大的γ,從而得到足夠精確的解。

4 仿真實驗及結果分析

本章將通過實驗本文所提出方法的有效性進行驗證。首先,將驗證通過算法1能夠減小集合X(P)的面積;接著,將驗證所提出的RMPC方法的有效性;最后,與現有文獻中的方法進行對比,驗證本文所提出的方法能夠縮短虛擬編組單元列車追蹤間距。仿真實驗中用到的參數及其取值如表1所示。

表1 文中參數取值

4.1 魯棒不變集優化結果

圖3 魯棒不變集大小比較

4.2 虛擬編組列車站間運行過程仿真結果

本節將驗證所提出RMPC方法的有效性。對由三輛單元列車構成的虛擬編組列車,在城軌站間的完整運行過程進行了仿真實驗。由于在實際中列車受到的附加力通常以阻力形式存在,因此,認為實驗中的不確定干擾滿足ω∈[-1,0],其概率密度函數設為f(ω)=1。值得說明的是,當ω∈[-1,1]時,所提出的方法仍然適用。

圖4給出了三輛單元列車在站間運行過程中的位置-速度曲線,可看出各單元列車的實際速度均滿足約束(7);圖5中給出了各單元列車實際追蹤間距與對應的安全防護距離的差值隨時間變化的情況,可看出各單元列車的實際運行間距始終大于安全防護距離,說明所提出的RMPC控制方法能夠保證單元列車追蹤間距滿足安全約束條件(8)。通過以上兩方面可證明所提出的虛擬編組列車控制方法的安全性。圖6所示為三輛單元列車運行過程中的控制誤差,可以看出虛擬編組內所有單元列車每個時刻的控制誤差都處于魯棒不變集內,說明所提出RMPC方法的魯棒性。

圖4 虛擬編組列車站間運行場景

圖5 虛擬編組單元列車實際追蹤間距與安全防護距離之差

圖6 單元列車運行控制誤差

為證明所提出的RMPC方法以及優化算法在縮短單元列車追蹤間距方面的有效性,選擇文獻[8]中的MPC控制方法以及其他兩種RMPC方法,與本文所提出的方法進行對比。其中,文獻[8]中的列車追蹤間距保持為10 m;第一種作為對比的RMPC方法中的魯棒反饋控制器來自頂級期刊的經典文獻[12],其目的是同時減小控制誤差及加快狀態收斂速度,反饋控制律可相應設計為K1=[-1.046 8 -1.859 6],對應的最大位置誤差為0.380 3 m;第二種作為對比的RMPC方法基于未經優化的魯棒反饋控制器,其反饋控制律設計為K2=[-0.624 8 -1.620 9],對應的最大位置誤差為1.939 3 m。分別應用不同的RMPC方法進行實驗,得到的單元列車實際追蹤間距變化規律見圖7。實驗結果表明,應用本文提出的RMPC方法及其優化算法后得到的單元列車追蹤間距平均為5.05 m;與普通MPC方法[8]得到的列車追蹤間距為10 m、未經優化的RMPC方法得到的列車追蹤間距為8.88 m以及基于文獻[12]的RMPC方法得到的列車追蹤間距為5.76 m相比,列車追蹤間距縮短幅度分別達到49.5%、43.1%和12.3%。由此可見,本文所提出的方法可顯著縮短虛擬編組單元列車追蹤間距。

圖7 應用不同控制方法的單元列車追蹤間距

5 結論

針對虛擬編組列車在不確定干擾條件下的小間距安全追蹤控制問題,首先提出一種基于分布式RMPC的虛擬編組列車追蹤控制方法,保證單元列車運行速度和追蹤間距安全、有界,進而實現了虛擬編組列車小間距魯棒運行;接著,設計一種基于LMI的優化算法,通過減小RMPC控制器的控制誤差,達到進一步縮短單元列車追蹤間距的目的。通過由3輛單元列車構成的虛擬編組列車的完整站間運行過程仿真結果以及與既有文獻中類似方法的對比,證明本文所提出控制方法和優化算法的有效性。實驗數據表明,分別與文獻[8]的普通MPC方法以及基于文獻[12]設計的RMPC方法相比,本文提出的RMPC控制方法及其優化算法可將單元列車追蹤間距減小至5.05 m,縮短幅度達到分別達到49.5%和12.3%。

為簡化算法設計,本文與文獻[8]的處理方法一致,將單元列車之間的安全防護距離假設為固定的常數。在后續研究中,將考慮安全防護距離為非線性形式條件下的虛擬編組列車追蹤控制方法。此外,列車動力學模型參數不確定條件下的控制方法設計問題也應在未來研究中進行考慮。