漫談數域中的一致性

江蘇省無錫市新洲小學 余曉華

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數學課程內容的一大特點就是整體性。如何更好地體現新課標理念的整體性，就是在數的概念的學習和接受過程中，從數形成和發展的角度出發，溝通知識之間的實質性聯系，由淺入深，層層遞進，螺旋上升，建立起框架式的結構性知識鏈，從源頭上讓學生感受到整體性的存在。

一、凸顯通碼——計數單位，感悟數的概念的一致性

在小學階段，學生主要學習自然數、整數、小數和分數，這些數的產生與發展都源于人們的生活實踐。

（一）尋找不同數的同頻點，同聲相應

在最初數系學習中，學生是從自然數開始認識數的。一年級上學期學生在實際情境中感悟并理解數的意義。從圖1中可以看出，單一情境中，有1個滑梯、2個秋千、3個木馬……在抽象到小圓點時，通過相應的方法，讓學生感受到圓點表示與之相等的數量，再過渡到數字表達。還可以給學生創設相關情境：比1多1的是2，比2多1的是3……抽象成一致性的元素單位后，前后之間的關聯性就更明顯了，可明顯看出數與數之間的聯系是如此緊密。計數單位依次累積，一個衍生一個……在十進制的助推下，自然數就這樣產生了，在累積過程中，永遠遵循著同類計數單位的累積，同一個數領域的同類疊加，在一個個往后數的過程中，學生初步體會到了數是對數量的抽象，同時也理解了數的意義，無形中感受到了計數單位的一致性，從而很好地發展了數感這一核心素養。

圖1

在學習數的認識內容后，學生接下來接觸到的是三年級上學期的分數，當把一個蛋糕平均分成兩份，沒法用自然數表示結果的時候，分數就順其自然地出現了。學生在感受意義的過程中，也捕捉到了最基本的分數單位：每份大小一樣，兩個就是1，兩個相同的分數單位可以進行累積。分數單位其實也就是分數這個領域中的計數單位，感悟到了這一點，才能更好地感悟分數的本質。分數的累積與自然數的累積，在本質上是完全一致的。數家族的規則是如此統一，且都是同類生長。

學生認識的第三種不同類型的數是三年級下學期的小數，小數是與眾不同的，但是又與分數有著千絲萬縷的關系。當把“1”平均分成10份，每份是，寫成小數就是0.1；把“1”平均分成100份，每份是，寫成小數就是0.01……在這個平均分的過程中，我們看到了小數產生的全過程，小數就是分數的另一種表達形式，同時發現了小數最根本的元素——計數單位：0.1、0.01、0.001……而且0.1、0.1+0.1=0.2、0.2+0.1=0.3……依次往后數，數的過程就是計數單位在逐步累積的過程，而且是相同計數單位的疊加，產生了不同的小數，小數的衍生與自然數和分數有著彼此相通的感覺。

（二）探測不同數的共振帶，同生共長

在整數、小數和分數的產生中，還有著奇妙的同向性，那就是當計數單位依次累積時數就變大，當計數單位依次遞減時數就相應變小，這個同向性與數的概念的一致性也有著緊密的聯系。雖然不同數位上的數字所對應的計數單位不同，但是都有著這樣的同向性，在這樣統一原則的情況下，數家族穩固而持續地同生共長。

（三）經歷不同數的數學化，同條共貫

認識數的關鍵是理解數的建構過程，在數的產生過程中，我們看到了整數、分數、小數這三種不同類型的數集之間的一致性，這種一致性是由基本元素即計數單位所聯結的。數的發展過程就是計數單位的發展過程，每個數位上的計數單位均不同，但是相互之間卻有著緊密的聯系，而且有著相同的規則——滿十進一。因此，計數單位占據數的認識中的核心地位，這也是整數、分數和小數的共通之處，數的意義、數的大小、數的表達等都是基于此才有了意義。學生在認識計數單位的過程中，感悟到了數的概念本質上的一致性，從而整體把握數的概念的本質，發展了持續的數感，更學會了用數學的思維思考問題。

建立數之間的聯系，就要以計數單位為核心要素來統領數的概念。感悟數的概念的本質，帶領學生經歷由數量到數、由整數到分數再到小數的形成過程。這個過程是知識的發生、發展過程，也是數學化的過程。學生經歷了這個過程，才能夠體會知識的本源性與一致性。

二、通碼衍生——運算規則，理解加減法運算的一致性

在整數、分數和小數的學習中，學生有了整體認識和關聯性思考，打破了知識間的壁壘，這對學習運算是有幫助的，很多問題都會迎刃而解。因此，用聯系的眼光、整體的方向、全方位的視角學習知識，不僅能夠加深理解，更能達到有效的正遷移，使學生基于數的概念的一致性進而順理成章地理解數的運算一致性的合理性。

加、減、乘、除本質上是一體的，所有的運算都可以還原成加法，加法是所有運算的基礎；就算法角度而言，所有運算的根本就是計數單位與計數單位的運算。其中起到潤滑劑作用的還是數的概念中的通碼——計數單位。

在整數的加減法運算中，計算原則是相同計數單位相加減，如：

216+135

=2（百）+1（十）+6（一）+1（百）+3（十）+5（一） （數的組成）

=（2+1）（百）+（1+3）（十）+（6+5）（一）（加法交換律、加法結合律）

=3（百）+4（十）+11（一）

=3（百）+5（十）+1（一）（滿十進一）

=351

數的概念是基于計數單位把數組裝起來，數的運算是基于計數單位把數拆解開來，再進行同類累積，從而得出結果。

在小數的加減法中，計算原則同樣是相同計數單位相加減，如在上面的兩個數字中間任意位置點上小數點，求兩數的和：

2.16+1.35

=2（一）+1（0.1）+6（0.01）+1（一）+3（0.1）+5（0.01）（數的組成）

=（2+1）（一）+（1+3）（0.1）+（6+5）（0.01）（加法交換律、加法結合律）

=3（一）+4（0.1）+11（0.01）

=3（一）+5（0.1）+1（0.01）（滿十進一）

=3.51

雖然上下兩題的數字組成一樣，但是因為小數點的出現，打亂了原來數的平衡，讓數字所在數位上的數值發生了變化，所以得出的結果就不一樣了，但是它們的本質是相通的。在第一步寫數的組成中，將數打回原形，尋找到這個數的緣起，即它是怎么來的。在數的組成中，我們明顯看到了數的組成的分類，幾個百、幾個十、幾個一……不同數位上的數字表示不同的數值，分類的思想已明顯呈現，通過加法交換律和加法結合律，讓同類的“入一家”，也就是遵循著相同計數單位“入同一家”的原則，然后才能相加，在加的過程中，同生共長的感覺已然顯現。

不光整數加法和小數加法遵循著這樣的原則，整數減法和小數減法也遵循著同樣的原則。分數加減法也同樣都遵循相同計數單位相加減的原則，分數中的計數單位就是分數單位，分母相同，表示單位相同，分數在加減的過程中，也是幾個幾分之一加減幾個幾分之一，等同于整數、小數中的幾個百加減幾個百，幾個十加減幾個十……與整數、小數運算保持了一致。這也就意味著單位個體一樣的同類，才能在均等條件前提下進行加減，與整數、小數加減法的計算法則是一致的。

在教學中，學生學習知識的過程是循序漸進的。在這個過程中，教師要揭開數及其運算表面的層層面紗，讓學生的知識串聯成鏈，環環相扣，螺旋上升，自由生長……那么，學生結構性的知識將成為他以后學習的一個生長點。所以學習完小數加減法后，教師可以讓學生主動梳理小數加減法與整數加減法的異同，在梳理中逐漸建立關聯，溝通數的運算的一致性。同時，在學習完分數加減法后，教師可以引導學生思考分數加減法與之前的整數加減法、小數加減法是如何嫁接起來的。整體設計教學，在數的認識、數的運算的每一節課中貫徹上述思想，那么在所有數的概念與運算的學習結束時，就能進行融會貫通的復習，實現算理貫通、算法統整。只有形成結構性的知識，才能更加深化學生對這個知識點的認知。

三、單位創生——穩固共識，培養慣性思維

在數學學習這個漫長的過程中，學生由對數的概念的一致性溝通過渡到對數的運算的一致性的理解，而這種一致性對學生的后續產生的不僅僅是點狀的物理作用，也可以產生有效的“化學反應”，從而使學生對數學中的一致性產生更為穩固的認識。

在“元、角、分”“米、分米、厘米”……這些涉及單位的所有類型的描述中，在進行加減運算時，同樣要遵循相同單位才能相加減的原則，這個原則也是從學生一開始認識這些單位時就形成的固有的認識，元+元、角+角、分+分。在這個過程中，也體現著相同單位相加減，與數的運算的一致性是同向而馳的。同時這個原則解釋了五年級上學期小數加減法運算要將小數點對齊的原因，對學生理解知識起到了畫龍點睛的作用。如4.75元+3.4元，為什么將小數點對齊再計算結果才是正確的？因為4.75元就是4元7角5分，3.4元就是3元4角，元和元是同類的，角和角是同類的，分和分是同類的，這樣相加才是符合規則的。在這個過程中，也滲透著相同單位相加減的原則，讓這個一致性產生了良好的輻射作用，學生的思維得到了拓展。其實，所有相關單位都遵循著這樣的一致性，單位量不斷累積繼而產生更大的數，只是在同類單位中遵循的進率有所不同，所有的同類生長都是一致的，這種一致性也是數學體系中所有元素生長的根。

為了達成上述目標，教師要重視對教學內容的整體分析，明白“數”與“運算”的一致性；抓住統領性概念，深化對數學知識本質的理解，提煉能建立數學知識間的結構與聯系、發揮核心作用的數學概念；揭開籠罩在數及其運算表面的層層面紗，由此建構數學單元學習主題統整下的脈絡清晰、條理分明、相互聯系的數學知識體系；設計合理的教學案例，帶領學生經歷知識的發生、發展過程，建立知識之間的聯系，體會知識的本源性、一致性與整體性；引導學生體會不同數學知識之間數學學習方法的可遷移性，學會用發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，從而有效地發展學生的數學核心素養。