數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)中整合重組的四種策略

浙江省武義縣教育局教研室 陳 力

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)要在單元層級(jí)的整體中有效實(shí)施，主要有兩個(gè)切入口：一個(gè)是在單元整體思想的統(tǒng)率下，仍舊按照數(shù)學(xué)教材的原進(jìn)度安排進(jìn)行單元內(nèi)各課時(shí)的教學(xué)，而它的結(jié)構(gòu)化主要體現(xiàn)為整體思想的統(tǒng)領(lǐng)與共同本質(zhì)的聯(lián)通作用；另一個(gè)是用結(jié)構(gòu)化思想基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)去審視教材的編排，在“吃透”教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，會(huì)發(fā)現(xiàn)制約目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的一些因素，為了尋找教與學(xué)的最優(yōu)發(fā)展路徑，可以對(duì)單元內(nèi)的組成結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，然后根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行一些整合與重組，形成新的單元結(jié)構(gòu)體系，并按照整合重組后的結(jié)構(gòu)組成展開(kāi)教學(xué)。本文著重探討第二個(gè)切入口，由此，建議教師根據(jù)不同類型的特征采取以下相應(yīng)的整合重組措施。

一、內(nèi)容同類與結(jié)構(gòu)相同者：結(jié)構(gòu)化“合并”

小學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識(shí)，屬于同一種類型，特別是后繼型的一些生長(zhǎng)課，只是對(duì)象不同，而其知識(shí)的結(jié)構(gòu)組成形式和運(yùn)用的思想方法卻都是相同的，對(duì)這些同課型的授課對(duì)象如果采取“散狀點(diǎn)”小步子的教學(xué)方式會(huì)有局限性，導(dǎo)致學(xué)生缺乏整體建構(gòu)，既不利于牢固記憶又不利于深度理解，更不利于有效遷移。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中有這樣的現(xiàn)象：學(xué)生單學(xué)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，通過(guò)模仿性學(xué)習(xí)能獲得比較高的正確率，而將整個(gè)單元的知識(shí)進(jìn)行綜合以后，學(xué)生的混淆率就比較高。由此可見(jiàn)，對(duì)這些內(nèi)容同類、結(jié)構(gòu)相同的知識(shí)可以把它放在同一節(jié)課進(jìn)行異同辨析、結(jié)構(gòu)遷移等，以獲得整體關(guān)聯(lián)認(rèn)知，使之由“碎片化”走向“系統(tǒng)性”。對(duì)這些課進(jìn)行結(jié)構(gòu)化合并教學(xué)可采用“長(zhǎng)課（合并教授）+短課（練習(xí)）”的實(shí)施方法。

例如，“正比例與反比例”這一單元，學(xué)生是先學(xué)正比例內(nèi)容，接著再學(xué)反比例內(nèi)容，在學(xué)各自的課時(shí)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生通過(guò)模仿學(xué)習(xí)再進(jìn)行答題的錯(cuò)誤率并不高，但兩個(gè)概念綜合之后，學(xué)生則出現(xiàn)了比較嚴(yán)重的混淆現(xiàn)象，究其原因是對(duì)兩個(gè)概念缺乏整體對(duì)比認(rèn)知。為了突破這一瓶頸，教師可以將這兩個(gè)概念合并在同一堂課上教學(xué)，采取“大概念統(tǒng)領(lǐng)”和“大任務(wù)驅(qū)動(dòng)”的方式，同時(shí)呈現(xiàn)以下結(jié)構(gòu)化辨析的材料：①王明7歲前的年齡和體重；②做一批零件，已完成的個(gè)數(shù)和剩下的個(gè)數(shù)；③圓的周長(zhǎng)與直徑；④圓的面積與半徑；⑤面積是12平方厘米的平行四邊形的底和高；⑥張玲的年齡與她媽媽的年齡。學(xué)生通過(guò)逐層辨析展開(kāi)分類探究，由“變化方向是一致還是相反”→“變化是否有規(guī)律”→“有規(guī)律的變化中有沒(méi)有定量”→“定量中是和一定、差一定還是商一定、積一定”，經(jīng)過(guò)不斷地進(jìn)階對(duì)比，最終同步獲得正反比例的概念，并發(fā)現(xiàn)兩者之間既有相同的結(jié)構(gòu)，也有不同的內(nèi)容。在后續(xù)的短課時(shí)中，教師可以運(yùn)用整體的對(duì)比性練習(xí)進(jìn)一步進(jìn)行辨析和鞏固。

又如，“三角形的面積計(jì)算和梯形的面積計(jì)算”這兩節(jié)課（2課時(shí)），教材對(duì)其的編排結(jié)構(gòu)也完全相同：導(dǎo)入時(shí)由解決現(xiàn)實(shí)生活中的任務(wù)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)→轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的圖形（拼合法、割補(bǔ)法）→找出轉(zhuǎn)化前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系→推導(dǎo)出面積公式并用字母表示→公式應(yīng)用。因此，這兩節(jié)課也完全可以合并成同一節(jié)課來(lái)上，運(yùn)用內(nèi)容的同類性進(jìn)行結(jié)構(gòu)性遷移，在得出計(jì)算公式后還可以進(jìn)行兩者之間的內(nèi)聯(lián)溝通，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示課件，將梯形的下底縮短為0，這樣就將梯形轉(zhuǎn)化成了三角形，其計(jì)算公式也由“（a+b）×h÷2”變成了“（a+0）×h÷2=ah÷2”，從而使學(xué)生獲得融會(huì)貫通的深度整體認(rèn)識(shí)。

二、教材序與認(rèn)知序有偏差：結(jié)構(gòu)化“調(diào)序”

教材的編寫主要以知識(shí)的邏輯為脈絡(luò)，遵循由淺入深的螺旋式上升的思路。而學(xué)生的認(rèn)知也有基本規(guī)律，即由易到難、由形象到抽象、由現(xiàn)象到本質(zhì)等。多數(shù)情況下，學(xué)生的認(rèn)知序列與知識(shí)的發(fā)展路徑是基本吻合的，但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一些偏差。當(dāng)教材序與學(xué)生的認(rèn)知序發(fā)生偏差時(shí)，教師要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可采用結(jié)構(gòu)化“調(diào)序”的策略，對(duì)教材進(jìn)行二次處理或開(kāi)發(fā)，在依據(jù)充分的前提下，調(diào)整學(xué)習(xí)內(nèi)容的先后順序，使知識(shí)的序更符合認(rèn)知的序，從而更有利于學(xué)生開(kāi)展整體建構(gòu)的學(xué)習(xí)，發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維能力。

例如，“除法”單元，教材原順序是先學(xué)“沒(méi)余數(shù)的除法豎式”，再學(xué)“有余數(shù)的除法豎式”。教材這樣安排的用意是“沒(méi)余數(shù)的除法豎式”結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，所以先在“沒(méi)余數(shù)”背景下認(rèn)識(shí)“除法豎式”，可以讓學(xué)生學(xué)得輕松一點(diǎn)，然后小步子地將“豎式”與“余數(shù)”合并成“有余數(shù)的除法豎式”，這樣也遵循了知識(shí)的進(jìn)階規(guī)律。但從“體驗(yàn)性學(xué)習(xí)”和“意義建構(gòu)”角度去審視，用“沒(méi)余數(shù)的豎式”作為學(xué)習(xí)材料，學(xué)生感受不到除法豎式的價(jià)值和必要性，會(huì)有一些困惑：如圖1這樣寫豎式也很好計(jì)算，圖2中為什么要把“商乘除數(shù)的積”寫出來(lái)？豎式中相減都等于0的，不就是把被除數(shù)再抄一遍嗎？這樣寫不是多此一舉嗎？還不如像加、減、乘那樣寫，簡(jiǎn)潔又方便。針對(duì)學(xué)生的這些困惑，如果將“有余數(shù)除法”作為結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，就會(huì)出現(xiàn)以下這些認(rèn)知沖突（思維驅(qū)動(dòng)的素材）：圖3、4中這個(gè)尾巴“3”這樣寫合適嗎？這個(gè)“3”得出的過(guò)程“看”得見(jiàn)嗎？從這種算式中能看出這個(gè)“3” 表示的意思嗎？什么樣的工具能使大家清楚地理解整個(gè)計(jì)算過(guò)程和結(jié)果？……面對(duì)這些疑問(wèn)和沖突，用“有余數(shù)的除法豎式”這一材料就能把除法豎式的工具價(jià)值（計(jì)算過(guò)程與結(jié)果的記錄）凸顯出來(lái)，能使學(xué)生理解除法豎式結(jié)構(gòu)中每一個(gè)“部件”的本質(zhì)內(nèi)涵，并在動(dòng)手操作的輔助下，結(jié)合豎式中每一步的生成過(guò)程理解“余數(shù)”的含義及特征。基于上述分析，本單元可對(duì)教材進(jìn)行結(jié)構(gòu)化“調(diào)序”，第1課時(shí)先學(xué)“有余數(shù)的除法豎式”（在現(xiàn)實(shí)中“有余數(shù)”是常態(tài)），讓學(xué)生對(duì)“除法豎式”和“余數(shù)”進(jìn)行深度體驗(yàn)和結(jié)構(gòu)化理解，第2課時(shí)再將“沒(méi)余數(shù)豎式”作為特例（湊巧除完）納入一般豎式中進(jìn)行溝通，讓學(xué)生進(jìn)行多層次、多形式的鞏固練習(xí)。

圖1

圖2

圖3

圖4

三、與其他學(xué)科有交叉重復(fù)：結(jié)構(gòu)化“增減”

現(xiàn)代教學(xué)強(qiáng)調(diào)多學(xué)科融合，重視綜合性學(xué)習(xí)，因此在數(shù)學(xué)教材中會(huì)和其他學(xué)科有相互交叉的學(xué)習(xí)內(nèi)容。比如，數(shù)學(xué)教材中的“溫度”和科學(xué)教材中的“溫度和溫度計(jì)”，數(shù)學(xué)教材中的“條形統(tǒng)計(jì)圖”和科學(xué)教材中的“柱狀統(tǒng)計(jì)圖”，數(shù)學(xué)教材中的“時(shí)、分的認(rèn)識(shí)”和科學(xué)教材中的“時(shí)間在流逝”，等等。面對(duì)這些情況，如果學(xué)生在科學(xué)課程中已經(jīng)學(xué)過(guò)，在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)去重復(fù)新授“舊知”，學(xué)生會(huì)不感興趣，而且浪費(fèi)時(shí)間。針對(duì)這些內(nèi)容，教師可采取結(jié)構(gòu)化“增減”的整合重組策略，可以讓學(xué)生自學(xué)或加快教學(xué)重復(fù)的部分，并增加拓展深化的內(nèi)容。

例如，北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“溫度”一課，按教材原先安排是本課只學(xué)溫度的知識(shí)，而不出現(xiàn)其他情景素材，也不出現(xiàn)正負(fù)數(shù)的知識(shí)。筆者認(rèn)為，學(xué)生在三年級(jí)的科學(xué)課上已經(jīng)學(xué)過(guò)關(guān)于溫度的知識(shí)，對(duì)溫度計(jì)也已經(jīng)比較熟悉，因此本節(jié)課應(yīng)進(jìn)行整合重組，減少對(duì)溫度內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)間，增加其他素材并與正負(fù)數(shù)有機(jī)結(jié)合進(jìn)行學(xué)習(xí)，在激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)后趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)逐步數(shù)學(xué)化、符號(hào)化，并創(chuàng)設(shè)沖突讓學(xué)生體會(huì)負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性。具體做法：首先將“溫度”與其他生活素材進(jìn)行整合，共同作為正負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的素材，通過(guò)記錄相反意義的數(shù)量，初步了解負(fù)數(shù)的意義，讓學(xué)生在對(duì)生活現(xiàn)象的對(duì)比研究中很自然地引出“正負(fù)數(shù)”；接著讓學(xué)生在對(duì)生活素材的操作感悟（在溫度計(jì)上進(jìn)行）中認(rèn)識(shí)“正負(fù)數(shù)”的特征，理解它們的含義，掌握比較大小的方法；最后進(jìn)一步利用生活中的素材進(jìn)行解釋和應(yīng)用，使學(xué)生通過(guò)鞏固深化完整地建構(gòu)起“正負(fù)數(shù)”的概念。整個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)“問(wèn)題情境—數(shù)學(xué)模型—解釋應(yīng)用”的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，在這一過(guò)程中讓學(xué)生感受“正負(fù)數(shù)”和生活的密切聯(lián)系（數(shù)學(xué)模型與生活原型結(jié)構(gòu)上的對(duì)應(yīng)性），發(fā)展學(xué)生的“數(shù)感”和“符號(hào)意識(shí)”，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的理解。在第2課時(shí)的教學(xué)中，可以進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，如讓學(xué)生體驗(yàn)“負(fù)數(shù)”的相對(duì)性（起點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)變化），還可以安排一些挑戰(zhàn)性練習(xí)等。

四、整體教學(xué)改革思想應(yīng)用：結(jié)構(gòu)化“統(tǒng)整”

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)著力培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維和整體建構(gòu)學(xué)習(xí)能力，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，數(shù)學(xué)教師頭腦中始終要有結(jié)構(gòu)化思想和整體教學(xué)的意識(shí)，并在教學(xué)實(shí)踐中積極地應(yīng)用。應(yīng)用的方法除了前面介紹的“合并”“調(diào)序”“增減”等，有時(shí)還需要將這些方法綜合起來(lái)運(yùn)用，根據(jù)整體教學(xué)改革的需要，對(duì)整個(gè)單元的主要內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整與重構(gòu)，通過(guò)整體規(guī)劃重新“洗牌”，按照有利于學(xué)生開(kāi)展整體建構(gòu)活動(dòng)的宗旨，設(shè)計(jì)新的學(xué)習(xí)路徑，提供結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，引領(lǐng)他們展開(kāi)結(jié)構(gòu)化的探索，最終獲得結(jié)構(gòu)化理解和深度認(rèn)識(shí)。

例如，北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算”內(nèi)容，教材編排體系是第1課時(shí)——兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）；第2課時(shí)——兩位數(shù)乘一位數(shù)（一次進(jìn)位）；第3課時(shí)——兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進(jìn)位）。該單元有兩個(gè)核心目標(biāo)：體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)豎式的簡(jiǎn)潔性；感受從低位算起的必要性（口算是從高位算起）。如果按照教材順序按部就班地展開(kāi)學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)對(duì)這兩個(gè)目標(biāo)缺乏整體認(rèn)知，并對(duì)其必要性和價(jià)值難以獲得深刻體驗(yàn)。如對(duì)于12×4的筆算，學(xué)生會(huì)有以下算法（見(jiàn)圖4）：

圖4

這些算法在“兩位數(shù)乘一位數(shù)的不進(jìn)位筆算”中并不顯得“煩瑣”，但三位數(shù)、四位數(shù)（或更多位數(shù)）乘一位數(shù)，用前兩種方法計(jì)算寫起來(lái)會(huì)很長(zhǎng)。怎樣才能做到既簡(jiǎn)潔又能把計(jì)算過(guò)程表達(dá)清楚呢？這就是標(biāo)準(zhǔn)豎式的價(jià)值，因?yàn)樗腔谖恢档臄?shù)字計(jì)算。另外，如何讓學(xué)生體會(huì)從低位算起的必要性？如果是“不進(jìn)位乘法”，從高位算起也很方便。只有“進(jìn)位乘法”特別是“連續(xù)進(jìn)位”，才能讓學(xué)生體會(huì)到從低位算起的優(yōu)勢(shì)。因此，為了讓學(xué)生獲得深刻的整體體驗(yàn)，要對(duì)本單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整與重構(gòu)：將原來(lái)的3課時(shí)內(nèi)容通過(guò)合并、調(diào)序或增減等手段重新安排內(nèi)容和課時(shí)，把“兩位數(shù)”和“多位數(shù)”“不進(jìn)位”和“進(jìn)位”整合在一起探索，第1課時(shí)是統(tǒng)整內(nèi)容的初步認(rèn)識(shí)，第2課時(shí)進(jìn)行統(tǒng)整內(nèi)容的深入探究，第3課時(shí)開(kāi)展拓展性練習(xí)和綜合應(yīng)用，從而使學(xué)生展開(kāi)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，對(duì)“多位數(shù)乘一位數(shù)”的算理和算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化思考并形成整體性認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

總之，數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要體現(xiàn)單元整體的思想，本文只是從“整合重組”的視角談了常用的四種策略，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中遠(yuǎn)不止這些，應(yīng)用的案例也還有很多。只要數(shù)學(xué)教師積極地開(kāi)展探索與實(shí)踐，一定能尋找到更多有效的單元整體教學(xué)策略，通過(guò)深度實(shí)施培養(yǎng)學(xué)生整體建構(gòu)的學(xué)習(xí)力。