聚焦內容本質的單元教學設計與實踐

張海燕

摘要：單元教學設計強調以單元作為教學設計的主體，在設計中教師要整體化地把握單元的目標、結構、內容與作業等.本文將數學史融入單元教學，以《弧長》與《扇形的面積》為例，聚焦內容本質與內在聯系規劃單元，融入數學史幫助學生理解公式本質，運用一貫的情景引入與課堂活動突顯單元整體.

關鍵詞：單元教學；數學史；弧長；扇形的面積；核心素養

單元教學設計強調教師整體化地把握整個單元的內容，結合多種教學形式和教學策略，在一個單元周期內幫助學生完成對一個知識單元的相對完整的學習.單元教學與常規教學相比較，單元教學在結構上更具連貫性與完整性，以單元為教學設計的著力點，基于學生學情，構建關注知識結構與內在聯系的教學方式，有利于學生整體性地建構知識內容，且能在一定程度上提高課堂教學效率.將數學史融入單元教學可以激發學生對數學的學習興趣，呈現貫穿整個單元的核心與本質，學生可以跟隨著前人的足跡感受數學思想以及數學的價值與魅力.本文以滬教版初中數學六年級上冊第四章《圓與扇形》第2節《弧長》與第4節《扇形的面積》的教學為例，探討如何在單元教學設計中進行單元規劃、融入數學史料、設計整體的教學環節與活動.

1聚焦內容本質與內在聯系規劃單元

本單元是滬教版《數學》六年級第一學期第四章《圓和扇形》.教材中的課序為：4.1 圓的周長（1課時），4.2弧長（1課時），4.3圓的面積（2課時），4.4扇形的面積（2課時）.本單元在第1節第1課時《圓的周長》與第3節第1課時《圓的面積》的研究中，運用化曲為直、無限逼近的極限思想得到圓的周長、面積公式.第2節第1課時《弧長》與第3節第1課時《扇形的面積》運用弧與圓周、扇形面積與圓的面積間部分與整體之比轉化為圓心角與周角之比推出弧長與扇形面積的公式.弧長是圓周長的一部分，扇形的面積是圓面積的一部分.基于這種部分與整體的關系（如圖1所示），本單元將分為兩個專題，專題一《圓的周長與面積》，通過化曲為直、無限逼近的極限思想學習圓周長與面積的公式.專題二《弧長與扇形的面積》，運用弧長與周長之比、扇形的面積與圓面積之比均等于圓心角與周角之比推導弧長與扇形面積公式，感受部分與整體之間的關系.

2本單元相關的史料素材

弧長與扇形的面積公式由圓的周長與面積公式推導得到，在歷史上證明圓的周長與面積公式的方法豐富多樣，核心都是圍繞著微積分方法與極限思想.

古希臘思想家阿基米德（公元前287年—公元前212年）運用無限逼近的極限思想來得到圓的面積公式.我國漢代的《九章算術》中記載了圓的面積公式“半周半徑相乘，得積步”，也就是半周乘以半徑得到圓面積.魏晉時期數學家劉徽（約公元225年—公元295年）在《九章算術注》中提出了“割圓術”的方法，德國數學家開普勒（公元1571年—公元1630年）在思考酒桶體積算法時，想出了圓的面積的計算方法.本次單元教學選擇了開普勒求圓的面積的方法，這個方法可以更好地體現扇形的面積是圓的面積的一部分，也可以從幾何的角度更直觀地闡釋教材中的方法，即由公式恒等變形得到圓的面積公式1/2Cr以及扇形面積公式1/2lr.

3教學過程設計與解析

3.1實際情境貫穿單元，激發學生的學習興趣

《弧長》一課的引入環節，以學生準備迎新年活動中需要為道具扇子準備亮晶晶的毛條彩帶裝飾扇子邊沿的實際情景引出求扇形弧長的問題，從學生的親身經歷創設“情境”，讓他們能夠“觸景生情”.用問題“把扇子抽象成為一個圖形并試著畫出這個圖形”幫助學生用數學的眼光觀察生活，將實物“扇子”抽象為一個扇形，讓學生學會用建模的方法解決生活中的問題.在畫扇形的過程中，教師引導學生體會到弧是圓的一部分，感受弧與圓之間部分與整體的關系，為弧長公式的推導做鋪墊.

在《扇形的面積》一課的最后學習環節中，回歸到《弧長》引入環節的情境中，提出問題“如果我們想為上節課中迎新年活動的這把扇子制作一幅美麗的扇面，那么我們能求出這個扇面的面積嗎？”繼續解決精美扇面的面積問題，幫助學生感受數學源于生活又回歸到生活的應用價值.學生可以運用在《扇形的面積》中學到的圓心角、半徑、弧長及扇形的面積四個量的關系解決相同實際情景下的問題.這樣，學生對四個量之間的依賴關系的本質才會有更深刻的理解.

以學生身邊的實際情景作為引入本專題的問題，同時也是本單元結束的最后一個問題，可以充分調動學生的學習熱情，激發學生的學習興趣，同時也實現了首尾呼應，體現了教學內容的整體感.

3.2公式推導深化理解，感悟內容本質

學生經過第二章分數的學習后已經知道部分與整體的關系可以用分數，也就是幾分之幾表示.在《弧長》的教學中通過問題鏈，能激勵學生自主思考，幫助學生認識到弧是圓的一部分，弧的大小與圓心角的大小有關.學生自然地結合本單元學習圓的面積公式的經驗說出“沿半徑將圓360等分，每一份弧所對應的圓心角是1°，弧長占圓周長的幾分之幾就等于它所對圓心角占圓周角（360°）的幾分之幾”.教師再追問“這樣等分的依據是什么？橢圓可以這樣等分嗎？”讓學生意識到等分的依據是圓的旋轉不變性.在此環節中，學生對弧與圓之間的部分與整體關系的深刻理解是學習扇形的面積的基礎.

在《扇形的面積》的教學中，復習回顧推導弧長公式的方法，類比弧長公式的推導過程，運用扇形的面積與圓的面積之間的關系（部分與整體），學生可以自然地說出“扇形面積占圓面積的幾分之幾等于扇形所對的圓心角占圓周角的幾分之幾”.課堂中扇形的面積公式的自然生成正是對單元教學意義與價值的反饋與印證.

3.3融入數學史，理解公式本質

利用部分與整體的關系，學生在弧長公式推導的基礎上可以直接類比得到扇形的面積公式，推導出扇形的面積公式后再運用弧長與扇形的面積公式變形，學生可以自主推導出扇形的面積還可以等于扇形的弧長與半徑乘積的一半，即S_扇=1/2l_弧r.

歷史上開普勒通過無窮分割法求扇形的面積，可以幫助學生從幾何直觀的角度對代數式恒等變形得到的公式S_扇=1/2l_弧r給予形象的解讀，而這種求扇形的面積的方法正是對本單元第二節無窮分割法求圓的面積的呼應，在課堂中引入這部分數學史，可以更好地闡釋了運用化曲為直、無限逼近思想方法推導扇形面積與圓面積公式的一致性，也再一次讓學生深刻地感受到扇形的面積與圓的面積之間部分與整體關系的本質，更為由公式變形得到扇形的面積公式S_扇=1/2l_弧r提供了直觀的幾何視角.在推導出扇形的面積公式后，一位學生主動舉手分享了他的想法.

教學片段：

生：其實也可以把扇形的面積用S_扇=1/2l_弧r表示，因為在剛剛我們推導出的公式S_扇=n/360πr²中，360是180的2倍，而l弧＝n180πr，所以可以把扇形的面積公式變形為S_扇=1/2·n/180πr·r也就是S扇=12l弧r.

師：這位同學用公式變形的方式得到了用弧長與半徑求扇形面積的公式.像他一樣發現這個結論的同學請舉手.大多數同學通過公式變形已經得到了求扇形的面積的另一個公式，這就是教材第115頁給出的第二個扇形的面積公式.

問題：我們知道第一個公式S_扇=n/360πr²表示扇形的面積與圓的面積的比等于扇形的圓心角與圓周角之比.那么S_扇=1/2l_弧r表示什么呢？

師：17世紀譽滿歐洲的天文學家和數學家開普勒通過幾何的方法得出這個扇形面積公式.當時開普勒正在他自己的婚禮上思考酒桶體積算法，但他卻首先想出了計算圓和扇形的面積的方法，我們來看看他是怎么想的.

將圓從半徑出發，分割成若干等份，在學習圓的面積推導公式過程中，我們知道分割的份數越多，每個小扇形就越接近于一個小三角形.

現在將其展開，如圖2所示，讓圓周拉直接近于一條線段，每個小三角形的頂點到對邊的距離都是圓的半徑，它們的面積和就是圓的面積，陰影部分的面積和就是扇形AOB的面積.

現在讓所有小三角形的頂點與圓心重合，那么這些三角形將轉化為與原三角形等底等高的三角形，它們的面積不改變.圓的面積就等于△OCD的面積，扇形AOB面積等于三角形OA′B′的面積，所以S_扇=1/2l_弧r.

圖2

3.4課堂活動巧銜接，突顯關系本質兩節課的課堂活動互相銜接（如表1），《扇形的面積》中的第1題正是《弧長》中的第1題，這樣的設計讓學生感受弧長與扇形的面積之間的關聯，體會在已知半徑與圓心角的條件下扇形的大小已經被確定，即可以求出弧長也可以求扇形的面積.通過變換已知量、未知量、已知數據的形式，結合學生計算方法的對比及教師的不斷追問，幫助學生體會到圓心角、半徑、弧長和扇形的面積四個量關系的本質，即已知兩個量可求出另外兩個量.在《扇形的面積》課堂活動環節結束時，請一位學生談談有哪些體會？學生很自然地說出這四個量里只要知道兩個就可以求出另外兩個.

4教后感悟與反思

4.1感悟部分與整體的相對關系

滬教版《數學》六年級第一學期除第一章《數的整除》為約分、通分及化簡運算這些奠定知識基礎外，從第二章《分數》、第三章《比和比例》到第四章《圓和扇形》三個章節的核心思想都是在幫助學生建立相對量的概念，也就是部分與整體之間的關系.

雖然學生在小學學習了倍數，但只僅限于兩個數之間的倍數關系，在小學學習了總體與部分的概念，但仍需借助把總體看作單位“1”來理解整體，學生在六年級通過《分數》與《比和比例》兩個章節的學習，基本能夠理解部分與部分、部分與整體之間的關系，會求一個量是另一個量的幾分之幾，并可以將部分與部分、部分與整體的關系用比來表達.以此為基礎，本節課在設計弧長公式推導以及通過類比得到扇形的面積公式推導的教學環節中，著重幫助學生理解并運用相對量的概念將弧長與圓周長之比或扇形的面積與圓的面積之比轉化為圓心角與周角之比，這也是弧長與扇形的面積公式的核心，同時也是貫穿本單元教學設計的主線.

4.2恒等變形與方程思想的運用

代數式及方程的恒等變形是初等數學重要的知識與技能之一，也是解決函數及方程問題的重要前提和手段，還蘊含著代數的思想方法.掌握并靈活運用代數式的恒等變形，能提高學生的運算能力和邏輯思維能力.在弧長公式以及扇形的面積公式的課堂活動環節中引導學生體會圓心角、半徑、弧長、扇形的面積四個量之間的關系時，可以運用恒等變形將未知量用兩個已知量表示，得到“知二求二”的結論，這為未來的方程以及代數學習奠定了基礎.

4.3從直觀感知到理性認識的轉化

本單元建立在學生小學時已經直觀認識圓的基礎上，學生在小學知道圓心、半徑等相關概念，知道圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，對圓有較強的直觀感受與豐富的生活體驗.本單元的教學設計著重幫助學生逐步地從感性認識上升到理性認識，引導學生通過觀察、測量、分析、計算與應用的方式掌握圓的周長、圓的面積、弧長及扇形的面積的計算公式，為進一步學習圖形與幾何的相關內容打下基礎.

4.4古今相融、首尾呼應的育人價值

在本單元主題二《弧長與扇形的面積》部分的教學設計過程中，《4.2弧長》從班級身邊正在發生的實際情景出發，激發學生解決問題的求知欲.《4.4扇形的面積》再次回到相同情景解決藝術節道具扇子的制作問題，此環節既檢驗了教學目標“體會圓心角、半徑、弧長、扇形的面積四個量之間的數量關系”的落實情況，又體現了數學從實際問題中來到生活中去的育人價值.

在扇形的面積的教學中引入開普勒分割酒桶得到扇形的面積的方法，幫助學生體會公式S_扇=1/2l_弧r的幾何含義，再一次引導學生感受在學習本單元上一個主題《圓的周長與面積》中運用的化曲為直、無限逼近的思想方法，體現了本單元的整體性與連貫性.

5結語

單元教學是培養學生核心素養的有效途徑，在《圓與扇形》的單元設計中，筆者將《弧長》與《扇形的面積》整合為一個模塊組織教學，更好地讓學生感受本單元中弧長與圓的周長，扇形的面積與圓的面積之間的內在聯系，體會圓心角、半徑、弧長、扇形的面積四個量之間的關系，感悟單元知識結構與本質，為學生形成良好的數學思維打下堅實的基礎.將數學史融入到本單元的教學，可以在教學中讓學生對化曲為直的思想有初步的感知與理解，也可以從幾何角度更直觀地闡釋公式本質，讓學生體會到數學來源于生活又高于生活，學會用數學的思維思考現實世界，體現“立德樹人”的生命體驗和教育價值.參考文獻：

［1］ 朱宸材.HPM視角下的課時目標設計——以滬教版“圓與扇形”單元教學為例［J］.數學教學研究，2022（2）：3439.

［2］ 莊河.“理解為先”模式下初中數學大單元教學設計的思考與應用［J］.中學教研（數學），2022（8）：14.