非飽和土-結構動力響應的2.5維有限元-完美匹配層法

狄宏規，蘇光北，郭慧吉，周順華，于佳永

(1.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804；2.同濟大學 上海市軌道交通結構耐久與系統安全重點實驗室，上海 201804；3.上海申通地鐵集團有限公司技術中心，上海 201103)

地鐵給城市居民的出行帶來極大便利,但近年來地鐵運行產生的環境振動問題也愈發突出。地下鐵路行車振動經由軌道、隧道以及土體向外傳播,進一步誘發鄰近建(構)筑物的二次振動和噪聲,嚴重影響鄰近建筑物內居民的生活、周邊精密儀器等的正常工作以及鄰近古建筑安全等。因此,地鐵減(隔)振問題正受到越來越多的關注[1-2],為揭示車致振動傳播機理,提出有效減(隔)振措施,首先需要建立可靠的地基-隧道動力響應分析模型。

常見的地基-隧道動力響應預測解析(半解析)模型有嵌入的歐拉梁模型[3-4]、管中管(PiP)模型[5-6]及波面轉化法[7-8]等。解析(半解析)模型計算效率較高,能夠了解振動傳播的一般規律,但無法處理不規則邊界。難以考慮復雜地基結構,不便用于減(隔)振設計。與解析(半解析)模型相比,數值模型的優勢在于可以進行精細化建模,模型適應性更廣。常見的有2維、3維[9-10]、2.5維[11-12]、周期性有限元模型[13]等。然而有限元模型計算效率相對較低,且需要截斷無限域,存在較大計算誤差。為此相關學者基于2.5維動力Green函數,提出邊界元來截斷無限域,構建2.5維有限元-邊界元模型[14-15]、周期性有限元-邊界元模型[16]等。但邊界元由于引入邊界積分處理,損失部分計算效率,所以需要更好的邊界處理方法[17]。Bérenger[18]引入復數坐標下的拉伸函數,構建可以完全吸收各個方向、各種頻率波的完美匹配層(Perfectly Matched Layer, PML)單元。近年來,完美匹配層法被用于結構動力分析的邊界處理當中[19-20],可以兼顧模型計算精度與計算效率。然而,上述既有的數值模型僅將土體視為單相彈性或兩相飽和多孔介質,尚未考慮地基土體的三相特性。

為此,本文基于非飽和土運動微分方程、連續性方程以及滲流運動方程,結合應力、滲流邊界條件,采用 Galerkin法,推導出頻域內ub-pl-pg格式2.5維有限元方程。同時引入拉伸函數構建PML處理邊界,提出非飽和地基-結構動力響應分析的2.5維有限元-完美匹配層方法。基于該方法,研究某工程地鐵盾構隧道并行高鐵路基段隔離樁的減振效果,研究結果可為軌道交通的減振設計提供參考。

1 非飽和地基土-結構動力響應的2.5維有限元

首先定義時間t到頻率ω、軸向坐標z到波數kz的雙重Fourier變換,即

( 1 )

式中:ω為時間t對應的頻率;kz代表坐標z對應的波數;上標“～”、“-”分別為頻域、波數域;i為虛數單位。

將地基土體視為由固、液、氣組成的三相介質,參考文獻[8]中非飽和地基土波動方程求解過程,可得頻域內非飽和地基土運動微分方程、連續性方程、滲流運動方程分別為

( 2 )

( 3 )

( 4 )

整理式( 4 )可得

( 5 )

式中:M1、Mg為計算參數,Ml=iωnSrρlg/kl,Mg=iωn·(1-Sr)ρgg/kg。

將式( 5 )代入式( 2 ),結合式( 3 )可得非飽和土振動控制方程為

( 6 )

引入應力、滲流邊界條件,即

( 7 )

式中:σij為土體單元總應力分量;nj為應力與形式平面法線同方向夾角的余弦值;f、cl、cg分別為邊界處的外力以及邊界處輸入的液體、氣體流速。

結合式( 7 ),利用Galerkin法處理式( 6 )可得

( 8 )

式中:V為計算區域的體積;S為計算區域的外表面。

根據分部積分原理得

( 9 )

將式( 9 )、式( 5 )代入式( 8 )得

(10)

式中:cij為計算參數,i=1,2,3,j=1,2,3,4,5,6。計算式分別為

Mg/(Mg-ω2ρg)

c12=nSrρl(Ml-ω2ρl)-1

c13=n(1-Sr)ρg(Mg-ω2ρg)-1

c21=Sr(1-n-Kb/Ks)c22=nSrMl/(Ml-ω2ρl)

c24=nSr/(Ml-ω2ρl)c26=0

c31=(1-n-Kb/Ks)(1-Sr)

c32=n(1-Sr)Mg/(Mg-ω2ρg)

根據固體位移、液體孔壓性質以及有效應力原理,可得各物理量矩陣表達式

(11)

將式(11)代入式(10),并結合式( 1 )進行z向的Fourier變化,可得到ub-pl-pg格式的非飽和地基2.5維有限元表達式為

(12)

式中:Kij、Lij、Gij分別為剛度矩陣、溶體貢獻矩陣,氣體貢獻矩陣,i=1,2,j=1,2。計算式分別為

K11=-(B*N)TDBN|J|dηdζ

K12=ω2c11NTN|J|dηdζ

對于非飽和地基中的路基和隧道結構,在建模時均簡化為單相彈性介質,求解其2.5維有限元格式時,只需將前述三相介質的波動方程退化為單相彈性介質的波動方程,退化方法參考文獻[21],此處不再贅述。

2 完美匹配層邊界

(13)

彈性波在傳播過程中可分為傳播波(Propagating)與隱逝波(Evanescent),因此定義拉伸函數λ(s)[22]為

(14)

式中:a0為無量綱頻率常數,a0=ωLPML/cs,LPML為PML區間長度,ω為角頻率,cs為剪切波速;fe為主要衰減隱逝波的拉伸函數;fp為主要衰減傳播波的拉伸函數,其定義分別為

(15)

其中,f0e、f0p、q均為拉伸多項式優化參數,f0p為主要衰減彈性波波長,f0e為主要衰減彈性波幅值。因此選取合適的f0e、f0p、q可實現有限單元中彈性波迅速的衰減。

根據式(13)坐標拉伸定義,可得其導數形式為

(16)

將式(16)代入式(12)推導過程中,可得完美匹配層有限元表達式

(17)

式中:

通過Matlab軟件自編代碼求解式(12)、式(17),可得到方程在頻域-波數域內的解,對其進行快速傅里葉逆變換(Fast Fourier Transform)得到時間-空間域的解。Fourier 逆變換點數N=524,步長間隔取1 m。當計算機為AMD R9 3950X 的CPU和64 GB運行內存時,每個波數下計算時間在70 s左右。

3 隔離樁減振效果分析

3.1 模型驗證

為驗證模型的可靠性,將本文模型的計算結果與文獻[21]給出的解析模型進行對比,驗證模型見圖1。圖1中,模型長14 m,寬17 m,隧道外徑D=6 m,襯砌厚度e=0.25 m,隧道中心線距地表距離H0=10 m,PML邊界厚度1 m,f0e=0,f0p=20,q=1[22]。計算中非飽和土以及隧道參數參考文獻[21],見表1。非飽和地基-隧道模型在單位簡諧荷載(f=30 Hz,v0=0 m/s)作用下,隧道底部(x=0,y=-3)豎向動位移沿隧道軸向的分布規律見圖2。由圖2可知,由于有限元網格尺寸選取對計算精度有一定影響,與文獻[21]中的結果相比,本文結果在部分區間存在輕微波動,但總體趨勢和量級一致,驗證了本文模型的可靠性。

圖1 驗證模型平面圖(單位:m)

圖2 隧道底部(x=0,y=-3)豎向動位移沿隧道軸向的分布規律

表1 驗證模型計算參數取值[21]

3.2 算例分析

以某地鐵隧道并行高鐵路基段為工程背景,開展隔離樁隔振效果分析,模型簡化示意見圖3。圖3中,模型總長40 m,高25 m,隧道中心距離地表H0=15 m,隧道外徑11 m,內徑10 m,襯砌厚度0.5 m,隧道埋深9.5 m,路基高度2 m,路基寬度10 m,路基坡度為1∶1,路基坡角與隧道間距9.5 m。PML邊界厚度1 m,相關常數取值:f0e=0,f0p=20,q=1[22]。為保證一個波長內有6個單元以上,每個單元尺寸取為0.5 m×0.5 m,并在靠近隧道處進行網格加密處理。地基土體為砂土,計算參數[23]見表2。隧道襯砌、路基以及隔離樁計算參數見表3。研究隧道仰拱處作用單位移動荷載下(v0=16.7 m/s,f=0 Hz)非飽和地基中隔振樁的隔振效果。

表2 非飽和地基土體計算參數[23]

表3 單相彈性體計算參數

3.3 隔振效果及參數影響

(1)不同隔離樁樁徑d和樁阻尼的隔振效果

在距離隧道L=1.5 m處設置單排隔離樁,樁長24 m,樁徑d依次取0、0.8、1.0、1.2 m。在不同樁徑下,模型上表面沿y方向動位移幅值Uy見圖4。由圖4可知,設置隔離樁可以有效減小地基表面的振動響應,并且樁徑越大,隔離樁的隔振效果越好。增大隔離樁樁徑對樁后側(隧道側)土體的隔振效果要優于樁前側(路基側)。此外發現隔離樁的存在會使得隧道右側(無隔離樁側)的土體響應增強。

圖4 不同樁徑下地基上表面的振動響應

在距離隧道L=1.5 m處設置樁徑d=1 m,樁長24 m的單排隔離樁。隔離樁阻尼β依次取0.015、0.030、0.045,同時設置附加工況d=0 m(無隔離樁)。在不同隔離樁阻尼下,模型上表面沿y方向動位移幅值Uy見圖5。由圖5可知,隨著樁阻尼的增大,地基表面振動響應變化較小。可見該移動荷載作用下,改變阻尼對隔離樁的隔振效果影響較小。

圖5 不同樁阻尼下地基上表面的振動響應

(2)不同間距L(樁與隧道之間的距離)的隔振效果

取隔離樁樁徑d=1 m,樁長24 m,樁與隧道間距L依次取1.5、3.0、4.5 m,附加工況d=0 m(無隔離樁)。在不同樁與隧道間距下,模型上表面沿y方向動位移幅值Uy見圖6。由圖6可知,增大樁與隧道間距L可以降低地基上表面的振動響應。且L越大,樁前側(路基側)的振動響應越小,樁后側(隧道側)的振動響應變化較為復雜,不同樁與隧道間距均能減小樁后側的土體振動響應,但與L=3.0 m相比,L=4.5 m時樁后側振動響應反而更大。說明增大的L能夠減小樁前側的振動響應,但是對于樁后側(隧道側)的振動響應,較大的L并不能取得更好的隔振效果。改變L,隧道右側(無隔離樁側)的土體響應增強現象發生變化,L越大,增強區的增強效應越明顯,增強區范圍越大。

圖6 不同樁與隧道間距下地基上表面的振動響應

(3)不同隔離樁排數與排樁之間的距離S的隔振效果

在距離隧道L=1.5 m處設置樁徑d=1 m,樁長24 m的隔離樁。隔離樁取單排(S=0 m)和雙排,在雙排樁情況下,兩排樁之間的距離S依次取3 、5 m,附加工況d=0 m(無隔離樁)。在不同隔離樁排數與排樁之間的距離S下,模型上表面沿y方向動位移幅值Uy見圖7。由圖7可知,雙排樁的隔振效果要優于單排樁,且S越大,雙排樁的整體隔振效果越好,樁間土體振動響應會略有增加,但仍小于單排樁情況下該區域的振動響應。

圖7 不同隔離樁排數下地基上表面的振動響應

4 結論

(1)基于非飽和土實用波動方程,推導ub-pl-pg格式的非飽和地基2.5維有限元表達式,結合拉伸函數構建PML邊界單元,提出非飽和地基-結構動力響應的2.5維有限元-完美匹配層法。將該方法的計算結果與既有解析法的計算結果相對比,驗證該算法的可靠性。

(2)通過參數退化,本文算法中的三相介質(非飽和地基土)可退化為兩相介質(飽和地基土)或單相介質(單相彈性地基土)。因此,本文算法也可用于非飽和土、飽和土、單相彈性地基土共存時層狀地基地鐵隧道系統的動力響應分析。

(3)算例分析表明,隔離樁具有良好的減振效果,并且樁徑越大、距離隧道越遠,隔離樁的減振效果越好,雙排樁的減振效果要優于單排樁。但受本文算法縱向幾何尺寸不變性假設的限制,隔離樁只能視作咬合樁,無法考慮樁間距,即本文算法無法考慮地基土體和結構沿線路縱向的變化特性。