素養導向下的“多邊形的面積”單元整合教學實踐

文|韓夢婷

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。”而單元教學可以聚焦學習困惑，并利用整合的方式，調整教學序列，將碎片化的知識連點成線、織線成網，讓學生對知識內涵能有一個整體認知和深度把握，并發展學生的學習能力，拓展數學思維。接下來筆者就以“多邊形的面積”單元為例，闡述一下自己的思考。

一、聚焦困惑，明確單元教學內容

學生在學習“多邊形的面積”過程中會有怎樣的困惑呢？教師如何基于學情展開適合的單元整合教學呢？基于以上思考，筆者進行了相關的教學實踐研究。

（一）“多邊形的面積”的單元起始課該從何開啟？

在“多邊形的面積”單元教學時，人教版的教材是按照“平行四邊形的面積——三角形的面積——梯形的面積”的順序進行推導學習的?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”因其教學起點低，轉化方便的特點常常作為本單元的起始課。但在長期的教學實踐中我們發現，平行四邊形的面積轉化用的是剪拼法，而三角形的面積轉化用的是倍拼法，這兩種方法切換跨度大，經常讓學生難以理解。并且平行四邊形的面積轉化方法單一，反而不利于學生體驗多樣的轉化方法，容易造成學生思維上的定勢?；谝陨?，筆者思考“平行四邊形的面積”作為單元起始課是否真的利于學生對于面積的理解呢？

對比不同版本的教材我們發現，蘇教版和北師大版都不約而同地將“方格圖中的圖形”作為單元起始課，之后再進行其他基本圖形的學習。這樣的呈現給了筆者新的啟發。方格圖作為面積度量媒介，不僅能讓學生體會面積單位的密鋪，更能從不同圖形中揭示面積的本質就是面積單位的累加，實現直觀到抽象的轉化。學生可以通過不同圖形的轉化，體驗多樣的轉化方法，積累不同的轉化經驗，讓思維更開放，為后續的學習奠定基礎。因此，筆者認為將“面積單位的度量”作為單元起始課是可行的。

（二）平面圖形的面積公式需要相互聯通嗎？

以往的教學實踐中，我們發現學生對于面積公式的運用總是會有搞錯搞混的現象。當然通過一定程度的記憶和背誦，這樣的現象會逐漸減少，但學生是否真的明白這些面積公式間的聯系呢？其實面積的教學是有很多共通之處的。從學習本質上，所有圖形面積的本質都是面積單位的累加。從思想方式上，這三種圖形都運用了轉化的思想，可以將未知的圖形轉化成已知的圖形。比如，平行四邊形可以轉化為長方形，三角形可以轉化為長方形、平行四邊形，梯形也可以轉化為長方形、平行四邊形。甚至，這三種圖形都可以以長方形為依托進行面積轉化。從學習方法上，它們都可以用切割、拼貼的方法進行探究。從教學工具上，都可以選擇方格圖，因為方格圖不僅是學生們熟悉的面積度量工具，更是聯通不同圖形面積關系的重要媒介。在擁有如此多共同性的情況下，學生如果要準確把握平面圖形的面積本質，形成結構化的認知，面積公式間的聯通非常有必要。有了這樣的思考，筆者將五年級下冊“多邊形的面積”單元進行了結構化整合（如下表）。

整合前整合后教學內容調整后的教學目標平行四邊形的面積面積單位的度量利用方格圖，掌握不同的轉化方法，積累轉化經驗，并通過探索、歸納，深入理解面積的本質，培養空間觀念。三角形的面積自主探索平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，理解面積公式的含義。體會圖形間的聯系，進一步發展推理能力和空間觀念。梯形的面積平行四邊形、三角形、梯形的面積三角形、平行四邊形、梯形的面積練習溝通三角形、平行四邊形、梯形的面積公式間的聯系，加深理解面積公式，并能靈活運用公式，解決相關的實際問題。

筆者通過重組序列，調整了教學內容，但總課時依然不變。筆者希望能在結構化整合后進一步優化學習路徑，提升學生在探索面積公式時的自主性和進階性，讓學生在激活轉化、提煉面積公式后溝通平面圖形面積間的聯系，讓學生能夠深入面積的本質，達到學生知識和技能方面的提升，更培養學生的推理能力、探究能力，形成系統性、深刻性、靈活性的多元思維，發展學生的核心素養。接下來就以“多邊形的面積”為例具體闡述筆者是如何實施單元教學的。

二、調整序列，定位教學實施策略

（一）激活：探索中積累轉化經驗

1.等積變形，感悟面積度量本質

數學上常常會用任務驅動，結合結構化的學習素材驅動學生展開想象，使學習能力不同的學生能有不同的學習收獲。以“面積單位的度量”為例，為了達成“深入理解面積本質”“掌握不同轉化方法”的學習目標，筆者作了如下設計（如下表）。

結構化學習素材目標指向下面圖形的面積哪個最大？哪個最小？請說明你的理由。（每個小方格的面積是1cm2）②①④③⑥⑤⑧⑦⑨①不規則圖形的面積計算，將不完整方格轉化成完整方格，并進行疊加。②割補法，感悟面積是面積單位的累加。③⑥等底同高，可以重看比較。且底和高都為奇數，體現割補法的局限性，突顯倍拼法。④與③⑥同為等底的直角三角形，但高是偶數。⑤是圖形比較的基礎。⑦⑧⑨割補法和倍拼法，實現靈活轉化。

這些圖形之間既有關聯又有區別，有利于學生的對比和分析。通過一個開放性和挑戰性的任務，有些學生會犯難不規則的圖形面積怎么比；看上去差不多大的面積如何比；怎樣比才最方便；割補完之后發現面積不準確又怎么辦？在完成任務時，不斷的疑惑驅動學生主動思考，引發了學生的求知欲，并在不斷的“問題——解決”中，讓學生感悟到面積的本質，優化了面積單位的數法。

2.化零為整，體驗多樣轉化方法

學生的生成資源是寶貴的財富，教師只有用好這些學習素材，才能讓學生更易理解、更易接受。就如“面積單位的度量”的任務中，學生的反饋也是有層次的。從觀察法到重疊法，當兩種方法都沒法比的時候，就出現了數格法。又從一個一個拼這樣零散的數，到之后學生認為這樣的方法太麻煩，產生了學習沖突，從而優化到整塊的割補。再到直角三角形，學生發現不論零散的拼、割補的拼都不夠精確時，感受到割補法也是有局限的，迫使學生創造出翻倍的拼。這樣的優化、創造正是學生在不斷地認知矛盾中，化零為整，逐步完善的過程。而之后的每個圖形，學生通過類比、推理等方式，出現了多樣的轉化方法。甚至學生在理解之后發現等底不同高也能比，出現了更多的比法。這是學生在積累之后的應用，更是學生思路開闊的體現。

3.問題驅動，領悟面積關鍵要素

“轉化之后的圖形與原來的圖形有什么區別和聯系嗎？”這一問題驅動了學生對面積的深入思考，讓學生帶著目的重新去看這些圖形，會給學生不一樣的感受。通過交流思辨，學生發現轉化方法是不同的，一開始是一個一個拼，又因為“拼起來麻煩”，變成了“整塊割整塊補”，之后發現整塊割補不夠準確，出現了“倍拼”。但在不同中又有相同，首先轉化前后的面積是相同的，并且不論如何轉化都是為了將“不完整的格子”變成“完整的格子”，方便數數。這里的指向就是面積的本質——面積單位的累加。其次學生發現不論如何轉化，轉化為長方形是最方便數的。之后再追問，“變成長方形后，什么沒變？”學生通過一一對比知道，長方形的長就是底，而寬就是高。學生還發現了直角三角形等底不同高的秘密，有了新的感悟。至此，面積計算的關鍵要素——底和高，也在交流與思辨中被學生領悟。

（二）內化：化歸中提煉面積公式

1.選取，基于思辨之后的取舍

方格圖是學生測量面積的重要依托，但是脫離方格圖之后，學生能否選擇合適的度量工具以及合適的數據進行面積的計算，這對于學生來講又是一個挑戰。因此，筆者設計了以下學習任務。

面對這樣的任務，學生的第一反應就是量。那么量什么呢？有些學生將每條邊的邊長量了出來，有些學生量了所有的底和高，有些學生只量了一組底和高。對比不同的量法，引導學生針對以下問題進行思考：計算面積需要量出所有的邊嗎？為什么要量出底和高呢？每一組的底和高都要量嗎？學生們的回答令人欣喜，在這樣的思辨當中他們將如何選取數據、如何轉化、轉化前后的關系越辨越明了。選取背后是學生對于面積的理解。通過思辨，明晰了面積轉化的過程，加深了底和高對于面積計算的重要性，正確地取舍更是學生在深入理解后產生的自然結果。

2.規范，基于分析之后的明晰

面積公式是數學上的規定，我們常常需要告知學生這些規定，但有時規定是在自然而然中形成的。就像特級教師俞正強曾說：“數學上有許多規定，這些規定似乎是硬邦邦的，需要被重復、被強化。事實上，數學的許多規定是有道理的，而且道理是十分有意思的?！蔽覀冎灰o足時間讓學生充分探索、互相交流，明晰其中的道理，規定自然會出現在學生的心里。

在知道底和高的重要性之后，學生需要的就是根據圖形的特征和轉化的過程進行面積的計算。而三角形和梯形的面積計算中出現了“÷2”，根據不同的轉化方法，學生知道了，有時除以2 是高折半，有時除以2是底折半，有時除以2 是面積折半，但不管是哪種情況造成的結果都是“底×高÷2”。在如此分析之后，學生對于面積公式的產生有了深刻的感悟，面積公式的規范就是對數學內涵的明晰。

（三）聯通：比較中聯通內在聯系

1.在橫向聯系中完善認知結構

經歷多種圖形的轉化后，學生需要利用多個素材的異同對比，激發深層次的思考。通過幾個面積公式比較，學生發現“面積都與底和高相關”“面積都可以通過翻倍和割補將原圖形轉化成長方形”“三角形和梯形的面積要除以2，而平行四邊形的面積不需要除以2”。其實不管怎么拼，都是為了方便面積單位的“數”。既然有這么多關聯，這些面積公式能否用同一個公式來替代呢？學生的選擇是（上底+下底）×高÷2，因為長方形、正方形、平行四邊形的上底和下底是相等的，三角形的上底為0。

教師的對比質疑、反思總結是互聯的手段，用聯系的觀點進行分析思考、引領點撥，可以加深學生對面積公式的理解，促進學生主動思考、深入研究，幫助學生找到知識間的關聯，明晰知識背后的內在規律，建立起結構化的知識體系。

2.在拓展延伸中打破思維定勢

知識間的聯系不僅在反思總結中存在，也可以在練習拓展中進行延伸，因此筆者設計了以下練習。

練習拓展：佩奇一家要去采桃子，有下面四塊菜地，怎樣才能最快找出最大的菜地呢？

這個練習的關鍵在于“比”。如何比？以往學生會選擇“算”，因為算最簡單，只需機械重復的應用公式就可以了。但是這里的比是需要學生進行分析與思考的，在理解知識的本質與關聯后才能找到同高的“秘密”，且下底也是相同的，那只要比較上底就好了，而上底最大是6，最小是0，這就是對于面積同一公式的靈活運用。練習的意義在于提升和拓展，學生從“算”到“不算”其實就是打破思維的慣性，明晰內在的規律，學會應用的體現。

綜上所述，單元教學是在充分考慮學生的學習困惑后，利用知識間的關聯重新整合，調整教學序列，通過激活學生的原有經驗，內化學生的度量方法，聯通知識的內在結構，使學生形成系統化、結構化的認知體系，讓數學變得更有道理！

【本文為“第十五屆全國小學教學特色設計論文大賽”獲獎作品】