巧用學習材料 賦能數學建模
——《倍的認識》教學設計與評析

執教 嚴慶 評析 倪芳華

【教學內容】

蘇教版三年級上冊第4～6 頁例3 和“想想做做”第1～4 題。

【教學過程】

一、復習鋪墊，回憶算法

口答下面填空題

3 個5 是（）

8 里面有（）個2

【評析：口答填空題，從學生已有認知出發，旨在銜接舊知，對接經驗，引發學生對“求幾個幾相加用乘法計算”和“求一個數里面有幾個另一個數，用除法計算”的回憶和思考，為新知的學習做好鋪墊。】

二、自主探究，構建新知

1.出示主題圖

（1）自主探究

學生匯報：一號花壇里有2朵藍花，6 朵紅花。紅花比藍花多4 朵，還可以說藍花比紅花少4朵。算式：6-2=4（朵）。

（2）引入新課

師：我們已經學過用多或少來表示數量之間的關系，其實數量之間還可以用“倍”來表示，想知道怎么表示嗎？我們一起來研究。（板書課題：倍的認識）

2.初步建立“倍”的概念

（1）初步感知

師：如果把2 朵藍花圈起來表示1 份，紅花有這樣的幾份呢？

①在《作業紙》上圈一圈、數一數、畫一畫。

②交流：是怎樣圈的？幾朵一圈？紅花圈了這樣的幾份？

指出：把2 朵藍花看作1 份，紅花有這樣的3 份；也就是說紅花有3 個2 朵，可以說成紅花的朵數是藍花的3 倍。

（2）自主構建

出示：藍花2 朵，紅花8 朵。

提問：藍花2 朵。紅花比原來的多了2 朵，現在紅花是藍花的幾倍呢？

請大家在《作業紙》上圈一圈、填一填。紅花有（ ）個2 朵，紅花的朵數是藍花的（ ）倍。

（3）探索算法

師：如果分別用○和△表示藍花和紅花的朵數，你能在《作業紙》上表示紅花是藍花的6 倍嗎？

師：藍花有2 朵，紅花有12朵，12 里面有幾個2？除了圈一圈，還可以用什么方法計算？

師：12÷2=6。這里的12 表示什么？2 和6 呢？注意“倍”表示兩個數量之間的關系，不是具體的數量，所以得數后面不需要寫“倍”。

比較：這3 道題都是把什么看作一份數？什么沒有變？什么變了？為什么？

小結：剛才我們都是把藍花看作一份，紅花有這樣的幾份就是藍花的幾倍。

【評析：課始，教師創設了兩個量比較的問題情境，從“差比”過渡到“倍比”，構建了新舊知識的關聯。通過圈一圈把藍花圈成1份，紅花有這樣的3 份；紅花有3個2 朵，引出“倍”：紅花的朵數是藍花的3 倍。接著，標準量也就是一份量不變，比較量變成8 朵、12朵，在圈一圈、畫一畫、擺一擺、比一比等數學活動中，讓學生感受到隨著紅花朵數的改變，紅花與藍花的倍數關系也在變。理解“幾倍”與“幾個幾”之間的聯系。初步建立“倍”的認知模型。借助直觀圖，再算一算，將學生的關注點引導到“一個量里包含幾個另一個量就是它的幾倍”，幫助學生建立“倍”的概念意義。】

3.深刻理解“倍”的概念

師：接著我們來研究二號花壇里的數學問題。有3 朵藍花，6 朵紅花。紅花的朵數還是藍花的3 倍嗎？先圈一圈，再和同桌說一說。

提問：為什么是2 倍而不是3倍呢？

學生匯報：這里藍花的一份是3 朵，紅花3 朵一圈，圈了2份，紅花有2 個3 朵，就說紅花是藍花的2 倍。

強調：這里是把3 朵藍花看作一份，紅花有這樣的幾個3，就是幾倍。倍數是以誰為一份，它有這樣的幾份。在圈的時候不能隨意去圈，要根據一份的朵數來圈。

師：紅花不變，如果藍花變成1 朵，紅花是藍花的幾倍？如果藍花變成6 朵，紅花是藍花的幾倍？你能用圓片和三角擺一擺或畫一畫其他倍數嗎？

課件出示：

指出：比較量沒變，一份的量變了，它們之間的倍數關系也就變了。看來，我們在比較的時候，確定一份的量很重要。第4 幅作品，“1 倍”說明兩種花的朵數同樣多。可以說成紅花是藍花的1 倍，也可以說成藍花是紅花的1 倍。

歸納小結：把一個數量看作一份，另一個數量有這樣的幾份，就是它的幾倍，可以用除法計算。

4.在變化中發展“倍”

師：任務二中要想變成紅花的朵數是藍花的3 倍，藍花不變，紅花應該怎么辦？藍花變成1 朵呢？紅花怎么辦？

生1：藍花不變，再增加3 朵紅花，紅花的朵數就是藍花的3 倍。

生2：藍花變成1 朵時，去掉3 朵紅花，紅花的朵數就是藍花的3 倍。

師：現在藍花不變，紅花增加1 朵，還能用整數倍表示嗎？

師：當我們無法用整數倍表示的時候，可以用幾倍多幾或幾倍少幾來表示。

小結：倍數和比多少雖然都是比較關系，但是是有區別的。比多少表示多幾個或少幾個，而倍數是以誰為一份，它有這樣的幾份。

【評析：在研究二號花壇里兩種花的倍數關系時，教師分別呈現了一個正例和一個錯例，在新的矛盾沖突中，促使學生在比較中思考，體會“一份數”與“幾份數”之間的關系。接著，教師設計了三個層次的研學活動，引發學生進行深度學習，學會深度思考。一是比較量不變，標準量改變；二是標準量、比較量都改變，但都是3 倍關系；三是兩個量不是整倍數的關系。學生在做中學、學中思、思中做，進一步明確兩個量比較時，把數量少的看作一份，另一個量有這樣的幾份就是幾倍。讓學生在“變”與“不變”中，深刻理解“倍”的意義，形成“倍”的思維模型。】

三、鞏固練習，拓展延伸

1.填一填

下面帶子的長度是上面帶子的（ ）倍。

（2）先量一量，再填一填。求出第一條線段的長度是第二條的多少倍。（課件演示將帶子直條圖變成線段圖）

2.算一算

（1）看下圖，這里散落擺放的花朵，你能用什么方法很快知道紅花的朵數是藍花的幾倍？（12 里面有幾個3，用除法計算）

（2）月季花7 盆，菊花35 盆，菊花的盆數是月季花的幾倍？（圖略）

3.畫一畫

請設計一個你喜歡的倍數，并說一說。

【評析：鞏固練習的三個層次，運用“倍”的知識進行判斷、操作、運算、創造，深化“倍”的認識，培養學生的應用意識和數學素養。在圖像表征、操作表征、語言表征等多元表征中，凸顯“倍”的本質，“倍”如同比多少一樣，都是比較兩個量時得到的一種關系，但本質是不一樣的。倍數關系是由標準量和比較量共同決定的。抽象的數學概念教學在有趣的情境、豐富的活動、多維的思考中落地生根。】

四、回顧總結，提升認識

師：今天我們學習了什么新知識，你對“倍”有哪些認識？我們通過什么方法來認識“倍”呢？生活中“倍”的現象也很多，請同學們試著找一找、說一說。

【課后總評】

《倍的認識》是學生構建乘法結構的關鍵課，具有重要的研究意義和價值。本節課的起點是學生已經會比較兩個數量之間的相差關系及已有表內乘除法的認識。教學時，教師借助知識遷移從“差比”引入“倍比”，精選鮮活的學習素材，采用動作表征、形象表征、符號表征、言語表征等多元表征，促進概念的意義建構，巧設練習實現概念鞏固和深化。整節課，教師引領著學生較好地經歷了“倍”概念的形成過程，建構了“倍”的數學模型。

一、任務驅動，開啟思維之門

問題是數學的心臟。思維因問題而發動，因問題而深入。“倍”的概念源于比較，課始，教師設計研學任務，激發學生原有的經驗，兩個數量的比較可用“相差關系”表示，還可用“倍數關系”表示，從而引出“倍”的概念。先利用“幾個幾”引出“倍”的含義，再從除法的角度解讀“倍”的概念。當比較量（6 朵紅花）沒變，一份的量（2 朵藍花）變了，倍數會發生怎樣的變化呢？引導學生在錯例辨析和自主操作中，打破思維定勢，讓“倍”的表象在頭腦中更清晰，體會到以一個數為標準，另一個數里有這樣的幾份就是它的幾倍，并在數學學習中學會思維。

二、情境創設，引領思維進階

用真實情境與核心問題引發和驅動數學思維。教師抓住了情境脈絡和認知脈絡兩條線有序組織教學活動。在真實有效的情境中滲透著審美教育和勞動教育，以兩個花壇里的藍花和紅花的朵數為素材，巧設變式訓練，激活學生思維。在變換的現實情境中，讓學生深刻感悟到“倍”是比出來的，“倍”跟“幾個幾”有關系，“倍”可以看作一種運算。教師把準了認知起點，課前，復習舊知，回憶了算法；課始，從“差比”引出“倍比”，在多維表征中，初步建立“倍”的模型；課中，在“變”與“不變”的比較辨析中，在數與形的對應轉換中，深刻理解“倍”概念的本質；課后，在填一填、算一算、畫一畫等多樣性、趣味性的練習中，提升學生持續學習的能力。找一找生活中“倍”的現象，讓學生用數學的眼光去觀察生活，感受數學就在身邊。

三、學習進階，提升數學素養

教師精心設計了相互聯系、步步遞進的學習任務，促進學生的數學認知、思維不斷進階。一是搭建思維支架，讓學習真正發生。先從兩種花的數量比較開始，打通新舊知識跨越進階的節點；再進行靈活的變式學習活動：標準量不變、比較量變化；標準量變化、比較量不變；標準量和比較量都變化。催生學生深度思考、探究，促進學習不斷進階。二是搭建知識支架，讓思維更加有效。教師巧妙選用學習材料，聯通生活經驗，從實物到圖形，從圖形到線段，從操作到計算，實現從直觀思維向抽象思維發展。在實際操作中，讓概念可視化。在辨析異同中，發展推理能力。在“學思行”融合中，把握“倍”概念的本質，“求一個數是另一個數的幾倍”，實際是“求一個數里有幾個另一個數”。逐步感悟比較、抽象、歸納等數學思想，推動學生的認知水平“拾級而上”，實現學生數學思維的有效進階。