整體建構(gòu)，從表象到本質(zhì)
——兼評(píng)《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課

文|劉 松（特級(jí)教師）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）再次明確了數(shù)學(xué)的學(xué)科屬性。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。如何讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念（比如：乘法）產(chǎn)生的全過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)像學(xué)科專家一樣思維，是數(shù)學(xué)教育永恒不變的追求。因?yàn)椋挥薪?jīng)歷了類似數(shù)學(xué)學(xué)科專家式的思維，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能真正形成。

依據(jù)新課標(biāo)，《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課屬于第一學(xué)段“數(shù)與運(yùn)算”主題領(lǐng)域，該主題“內(nèi)容要求”共6 條，與本課有關(guān)是最后兩條：探索乘法的算理與算法，會(huì)簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法；在解決生活情境問題的過程中，體會(huì)數(shù)和運(yùn)算的意義，形成初步的符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、運(yùn)算能力和推理意識(shí)。相應(yīng)的“學(xué)業(yè)要求”是：能描述乘法運(yùn)算的含義，知道乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。“教學(xué)提示”則為：在具體情境中，啟發(fā)學(xué)生理解乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。在教學(xué)活動(dòng)中，始終關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力和推理意識(shí)的形成與發(fā)展。

顯然，新課標(biāo)中已經(jīng)非常明確地說明了《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課所應(yīng)落實(shí)的四個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、運(yùn)算能力和推理意識(shí)，以及應(yīng)該采用的基本教學(xué)方式——在具體情境中，啟發(fā)學(xué)生理解乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。目標(biāo)和方式已然明確，如何才能做得更好呢？

通過文獻(xiàn)查閱會(huì)發(fā)現(xiàn)，《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課，許多名師和專家都有過精彩的演繹，一線教師可以秉承拿來主義，學(xué)習(xí)模仿即可。但此課內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，其實(shí)不然！克萊因說過，“歷史順序通常是正確的順序，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的困難，正是我們的學(xué)生要經(jīng)歷的困難”。從加法到乘法，對(duì)教師來說只一步之遙，對(duì)學(xué)生來說卻是一個(gè)質(zhì)的飛躍。近期，工作室的張聰聰和徐浩兩位年輕教師就此課做了部分探索和嘗試，頗有些啟發(fā)。

一、乘法初步——認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要樞紐

小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生加法結(jié)構(gòu)的構(gòu)建為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了最基本的知識(shí)準(zhǔn)備和心理發(fā)展準(zhǔn)備。乘法結(jié)構(gòu)是心理學(xué)家吉爾德·維格諾德提出的，乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識(shí)乘法，而是一個(gè)概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運(yùn)算規(guī)律甚至面積、體積、表面積、速度等概念和定律。

“乘法的初步認(rèn)識(shí)”是從特殊的加法角度學(xué)習(xí)的，還是“合并”與累加的過程，本質(zhì)上仍是“加法結(jié)構(gòu)”。毋庸置疑，乘法概念的建立，是整個(gè)乘法結(jié)構(gòu)大廈建立的起點(diǎn)和基石。在整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，“乘法的初步認(rèn)識(shí)”處于承上啟下的重要節(jié)點(diǎn)位置。正因如此，張聰聰老師的教學(xué)，定位從“數(shù)數(shù)”開始，感受運(yùn)算的一致性，不可謂視野不大！很像北師大版教材的編排特點(diǎn)——數(shù)一數(shù)與乘法。對(duì)于時(shí)下熱議的整體教學(xué)，江蘇省現(xiàn)任小學(xué)數(shù)學(xué)教研員郭慶松老師有句精彩的解釋：“格局足夠大，就是整體教學(xué)。”筆者特別喜歡這句既通俗又深刻的闡釋。年輕的張老師顯然在努力為之，值得點(diǎn)贊！

但僅僅是從“數(shù)數(shù)”開始，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，更重要的是，必須讓學(xué)生明白乘法與加法的聯(lián)系，經(jīng)歷并體驗(yàn)乘法如何從“特殊加法（加數(shù)相同）”中“生長(zhǎng)”出來的全過程。所以，張老師教學(xué)的核心環(huán)節(jié)是展開“數(shù)數(shù)”，對(duì)比分析理解“幾個(gè)幾”（如下圖）。這幾乎是所有教師在教學(xué)時(shí)都必須濃墨重彩的關(guān)鍵步驟。如此，乘法的認(rèn)識(shí)緊緊圍繞相同加數(shù)加法展開，學(xué)生在看見乘法“生長(zhǎng)”的同時(shí)，可以真切地感悟到乘法的本質(zhì)。

二、結(jié)論優(yōu)化——概念建構(gòu)的重要支撐

對(duì)于乘法概念的建立，現(xiàn)行人教版教材編排與過去沒有多大改變。例1 三幅“等組模型”的情境圖，得出3＋3＋3＋3＋3＝15、6＋6＋6＋6＝24、2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝14 三個(gè)加法算式后，教材直接給出一句話：這種加數(shù)相同的加法，還可以用乘法表示。如此編排，當(dāng)然很好！蘇教版、北師大版等教材也基本都是類似的表述。且一線教師們更是充滿了智慧，很好地彌補(bǔ)了現(xiàn)行教材中限于篇幅所致的共性“不足”，巧妙地解答了來自學(xué)生的疑問：明明可以用加法運(yùn)算解決問題，為什么還要學(xué)習(xí)乘法？而且也并沒有體現(xiàn)出多么簡(jiǎn)便啊？

教師都是怎么做的呢？大部分教師會(huì)運(yùn)用夸張的手法，把相同加數(shù)連加的加法算式寫得很長(zhǎng)，讓學(xué)生真真切切地感覺到這樣寫的確很麻煩，進(jìn)而認(rèn)為還是乘法算式簡(jiǎn)潔。如此經(jīng)典的手法，筆者30 年前初見時(shí)，曾佩服不已。但用新課標(biāo)的要求審視，是否還存有改進(jìn)空間呢？再冷靜地想一想，如此教學(xué)，是否依然浮在表面，不夠深入呢？從落實(shí)核心素養(yǎng)的角度，上述符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、運(yùn)算能力和推理意識(shí)這四個(gè)核心素養(yǎng)都落實(shí)到位了嗎？我們是否還丟失了更為重要的核心素養(yǎng)？

乘法產(chǎn)生的真實(shí)過程，究竟如何？筆者比較贊同徐浩老師在課前思考中的觀點(diǎn)，應(yīng)該是人們?cè)诎l(fā)現(xiàn)了相同加數(shù)連加這一類加法算式的特點(diǎn)，得到“計(jì)算的結(jié)果只與加數(shù)本身和加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)”這一重要結(jié)論（規(guī)律）之后，繼而想到優(yōu)化此類加法算式的算法，從而得到新的運(yùn)算方法——乘法。學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷：探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探討得到結(jié)論，再想到“創(chuàng)造新的運(yùn)算”來解決問題的邏輯過程。經(jīng)歷這樣的探究過程雖然困難，但是非常必要，這才是學(xué)科專家式的思維。今人無法回到當(dāng)初，但我們完全可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷前人曾經(jīng)的思維歷程。

加法不是數(shù)學(xué)運(yùn)算的全部，四則運(yùn)算也不是數(shù)學(xué)運(yùn)算的全部，當(dāng)現(xiàn)實(shí)需求與數(shù)學(xué)自身發(fā)展遇到需要新的運(yùn)算方式時(shí)，我們需要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到，如果現(xiàn)有的運(yùn)算方式相對(duì)麻煩，可以想一想能不能找到某種規(guī)律（特征或結(jié)論），然后創(chuàng)造一種全新的運(yùn)算或方式來解決問題。如果教給學(xué)生加法，是為了讓學(xué)生能夠想到用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來刻畫現(xiàn)實(shí)世界，那么教給學(xué)生乘法，就應(yīng)該是為了讓學(xué)生能夠想到用新的數(shù)學(xué)符號(hào)與形式來優(yōu)化對(duì)數(shù)學(xué)世界的刻畫。教學(xué)到這一層次，學(xué)生才有可能真正理解為什么許多相同加數(shù)連加的加法算式改寫成新的運(yùn)算“乘法”時(shí)，只需要兩個(gè)數(shù)（被乘數(shù)和乘數(shù)）即可，這才是更為深刻的理解。同時(shí)也更能體會(huì)到新的符號(hào)“×”產(chǎn)生的價(jià)值和意義。在此過程中，還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。談到創(chuàng)新意識(shí)，不僅僅是新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，其實(shí)，這是數(shù)學(xué)教育的終極目的所在。

三、矩陣表征——知識(shí)融通的重要手段

前文中寫到被乘數(shù)和乘數(shù)，可能有教師會(huì)提出疑問，現(xiàn)行教材中不是早已不再區(qū)分了嗎？是的！上文的表達(dá)，除了對(duì)應(yīng)相同加數(shù)加法的和只與“加數(shù)本身”及“加數(shù)的個(gè)數(shù)”兩個(gè)因素有關(guān)外，還想表達(dá)的是，現(xiàn)在不區(qū)分了，不代表數(shù)學(xué)事實(shí)不存在。過去教材中強(qiáng)調(diào)被乘數(shù)和乘數(shù)的區(qū)別，的確給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來很大困擾，許多學(xué)生學(xué)了很久后，依然分不清楚，等到好不容易分清楚了，乘法交換律又出現(xiàn)了，教師和學(xué)生會(huì)頓時(shí)感到，兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，費(fèi)了很大的努力，又回到了原點(diǎn)，似乎前面的功夫都白費(fèi)了。所以，現(xiàn)行教材不再?gòu)?qiáng)調(diào)被乘數(shù)和乘數(shù)的區(qū)別，筆者雙手贊成！但是，不區(qū)分，學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)減輕了，是否又帶來了新的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)？

從張聰聰老師的學(xué)情分析中可以看出，下述“錯(cuò)誤”，如果沒有圖示，單看加法算式和乘法算式，其實(shí)是完全正確的。再進(jìn)一步，即便有圖示，學(xué)生若反駁，他就是“兩兩一組（8 條腿）”看的，教師又該如何解釋才能讓學(xué)生心悅誠(chéng)服？

問題出在哪？其實(shí)教師們都明白！當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)不再區(qū)分后，有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)問題擺在學(xué)生面前，就是要理解并清晰分辨一幅圖（如下圖）。

可以列出兩道乘法算式8×4和4×8。反之，一道乘法算式背后對(duì)應(yīng)著兩幅圖。比如8×4，對(duì)應(yīng)的等組模型可以是每組8 個(gè)，有同樣的4 組；也可以是每組4 個(gè)，有同樣的8 組。（如下圖）

這對(duì)部分?jǐn)?shù)理智能較好的學(xué)生而言，理解起來沒有問題。但對(duì)全體學(xué)生而言，掌握起來會(huì)有一定的困難。

如何降低學(xué)生的學(xué)習(xí)困難？比較有效的方法之一，就是把上述兩幅圖整合為一幅圖，通過“橫著看”“豎著看”的引導(dǎo)，讓學(xué)生盡快感悟并理解“矩陣模型”。顯然，兩位年輕教師都意識(shí)到了這一點(diǎn)，在課的最后板塊，都巧妙地呈現(xiàn)出來。

張老師的做法是，通過兩幅圖對(duì)比，而后過渡到矩陣圖（如下圖）。

徐老師則直接出示兩幅矩陣式鴨子圖，分別橫著看和豎著看，學(xué)生可以直觀地發(fā)現(xiàn)，一幅圖可以對(duì)應(yīng)兩道乘法算式。

然后徐老師追問：可否把6＋6＋6＋6＝24 與4＋4＋4＋4＋4＋4＝24 也用一幅圖來表征，學(xué)生即刻得出下圖。

殊途同歸，百慮一致！兩位年輕教師的教學(xué)，雖然具體路徑不同，但最終都走到了一起。

對(duì)《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課的研究，遠(yuǎn)不止這些。以上僅是自己粗淺的一些想法。兩位年輕教師的教學(xué)中，也同樣存在一些瑕疵和不足，懇請(qǐng)各位方家批評(píng)指正！