經(jīng)歷再造過程 體悟算法優(yōu)化
——《乘法的初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)實(shí)踐與思考（二）

文|徐 浩

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版二年級(jí)上冊(cè)第四單元第一課時(shí)。

【課前思考】

在學(xué)習(xí)《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了100 以內(nèi)的加法和減法。乘法與加減法同屬于四則運(yùn)算，在運(yùn)算的意義上與加法非常相似。但若是追溯乘法與加法的產(chǎn)生，意義是完全不同的。加法和減法的產(chǎn)生，是人類對(duì)自然界“分與合”這一類現(xiàn)象的抽象刻畫。乘法的本質(zhì)也是一種“特殊的合”，那么學(xué)生自然而然就會(huì)有“已經(jīng)有加法了為什么還需要乘法”這樣的疑問。通常，教師給與的回答是“為了簡(jiǎn)便”，而且通常是在將乘法算式和夸張的連加算式放在一起做比較之后，理所當(dāng)然地給出“因?yàn)楹?jiǎn)便”這樣容易讓學(xué)生接受的回答。但是筆者認(rèn)為，這樣先揭示乘法再對(duì)比突出優(yōu)越性的方式，似乎在邏輯上是反的。而且往往會(huì)讓學(xué)生忽略一個(gè)至關(guān)重要的問題——“我在什么樣的情況下應(yīng)該想到用這樣創(chuàng)造性的方式解決問題？”

乘法真實(shí)的產(chǎn)生應(yīng)該是在發(fā)現(xiàn)了相同加數(shù)連加這一類加法算式的規(guī)律，得到“計(jì)算的結(jié)果只跟加數(shù)本身和加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)”這一重要結(jié)論之后，繼而想到優(yōu)化此類加法算式的算法，從而得到新的運(yùn)算方法——乘法。學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷：探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探討得到結(jié)論，再想到“創(chuàng)造新的運(yùn)算”來解決問題的邏輯過程。經(jīng)歷這樣的探究過程雖然困難，但是非常有必要。四則運(yùn)算不是運(yùn)算的全部，人類社會(huì)的發(fā)展一定還會(huì)遇到需要新的運(yùn)算方式的時(shí)候。我們需要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到，當(dāng)現(xiàn)有的運(yùn)算方式遇到困難時(shí)，可以想一想能不能找到某種規(guī)律，創(chuàng)造一種全新的運(yùn)算或方式來解決問題。如果說，教給學(xué)生加法，是為了讓學(xué)生能夠想到用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來刻畫現(xiàn)實(shí)世界。那么教給學(xué)生乘法，就應(yīng)該是為了讓學(xué)生能夠想到用新的數(shù)學(xué)符號(hào)來優(yōu)化數(shù)學(xué)世界。這樣的創(chuàng)新意識(shí)，也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》強(qiáng)調(diào)的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.感受乘法的產(chǎn)生歷程，體會(huì)乘法產(chǎn)生的必要性。

2.了解乘法的意義，認(rèn)識(shí)乘號(hào)，會(huì)讀、寫乘法算式，會(huì)把相同加數(shù)連加算式改寫成乘法算式。

3.培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，勇于探索，提出對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的猜想。

【教學(xué)過程】

一、游戲引入，引發(fā)思考

將學(xué)生分為男女兩組進(jìn)行游戲。

游戲規(guī)則：男女兩組分別觀察課件動(dòng)畫中逐個(gè)閃現(xiàn)的數(shù)字，順利寫出相應(yīng)的加法算式，率先算對(duì)結(jié)果的小組獲勝。

回合一：

2+1+7+4+5 vs 2+2+2+2+2

回合二：

5+5+3+9+6 vs 5+5+5+5+5

師：相同加數(shù)的加法算式很有特點(diǎn)，似乎在計(jì)算上都比雜亂無章的加法算式要容易。這節(jié)課就讓我們一起來研究相同加數(shù)加法算式的奧秘！

【思考：采用游戲的方式以及卡通數(shù)字，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在游戲的“不公平”中體會(huì)相同加數(shù)加法算式的特別。同時(shí)通過第二組數(shù)據(jù)，有幾個(gè)加數(shù)相同和全部加數(shù)相同的加法算式做對(duì)比，強(qiáng)化今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容：相同加數(shù)加法的認(rèn)知。自然地引出對(duì)于這類算式的探究，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)做好鋪墊?！?/p>

二、對(duì)比分析，探究“和”的秘密

2+2+2+2+2=10

5+5+5+5+5=25

師：探究奧秘往往是從相同點(diǎn)和不同點(diǎn)入手，上面兩個(gè)算式的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)分別是什么？

生：相同點(diǎn)：都是加數(shù)相同的加法算式、加數(shù)的個(gè)數(shù)都是5 個(gè)；不同點(diǎn)：加數(shù)不同、和不同。

師：它們明明都是“5 個(gè)”加數(shù)，為什么“和”會(huì)不同呢？

生：因?yàn)榧訑?shù)不同，一個(gè)加數(shù)是2，一個(gè)加數(shù)是5。

得到結(jié)論：看來加數(shù)相同的加法算式的和與加數(shù)是多少有關(guān)。

師：加數(shù)相同的加法算式的和是不是只與加數(shù)是多少有關(guān)？

生：不是！還與加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，例如這里5 個(gè)2 相加的和是10，如果改成4 個(gè)2 或者6 個(gè)2，和就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。

優(yōu)化結(jié)論：加數(shù)相同的加法算式的和，與加數(shù)本身是多少有關(guān)，也與加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。

師：除了加數(shù)本身和加數(shù)的個(gè)數(shù)，還有別的因素會(huì)影響到加數(shù)相同的加法算式的和嗎？

生：沒有了。

舉例論證：3 個(gè)3，有沒有哪個(gè)同學(xué)的3 個(gè)3 的和與別人是不一樣的？同理繼續(xù)論證，4 個(gè)6 呢？3 個(gè)7 呢？

完善結(jié)論：加數(shù)相同的加法算式的和，只與加數(shù)本身和加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。

【思考：經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究，嚴(yán)謹(jǐn)推理，得到有關(guān)乘法意義的重要結(jié)論——加數(shù)相同的加法算式的和，只與加數(shù)本身和加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。為后續(xù)乘法自然地產(chǎn)生做好鋪墊。同時(shí)學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)探究中觀察、比較、分析與試驗(yàn)等數(shù)學(xué)方法?！?/p>

三、運(yùn)用結(jié)論，引出乘法

師：得到了一個(gè)非常重要的結(jié)論，可是這個(gè)結(jié)論有什么用呢？

生：可以讓我們讀2+2+2+2+2=10 這樣的加法算式時(shí)，不用再讀二加二加二加二……了，直接讀五個(gè)二相加（連加）就可以。

師：這個(gè)讀法也太方便了！既然讀法（讀法兩個(gè)字加重音）可以變得如此簡(jiǎn)潔，那么——

生1：有沒有可能寫法也變簡(jiǎn)潔一些呢？

生2：可以寫成2+……+2（5個(gè)2）。

師：簡(jiǎn)潔了些，還有沒有更簡(jiǎn)潔的方式？（逐步引導(dǎo)出乘法算式）

生3：5×2=10。

（請(qǐng)?jiān)搶W(xué)生解釋5×2=10 表示的含義，并進(jìn)行相應(yīng)的板書）

師：為什么中間的運(yùn)算符號(hào)要用“×”而不是用“+”，原本不是加法算式嗎？

生：再用“+”就變成5+2 了。

師：是??！如果再用“+”就變成5+2 了，與5 個(gè)2 連加的意義不相符，怎么辦？

生：為了不把“5+2 的和”與“5個(gè)2 連加的和”混淆，所以，需要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)“×”來表示“幾個(gè)幾連加的和”的意思。

師：太棒啦！創(chuàng)造一個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)，真是一種新奇的方式，把相同加數(shù)連加算式書寫變簡(jiǎn)單的同時(shí)，也表達(dá)出了相應(yīng)的含義。誰還能重復(fù)剛剛這位同學(xué)的說法？

（再請(qǐng)2～3 位學(xué)生表述，讓全體同學(xué)一起感悟新的運(yùn)算符號(hào)“×”產(chǎn)生的必要性。及時(shí)進(jìn)行乘法算式的讀、寫以及各部分名稱的教學(xué)，并進(jìn)行相應(yīng)的板書）

板書：

【思考：通過“加數(shù)相同的加法算式的和，只與加數(shù)本身和加數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)”這一重要結(jié)論，逐步引導(dǎo)出乘法。真實(shí)再現(xiàn)乘法為什么是由加數(shù)和加數(shù)的個(gè)數(shù)這兩個(gè)數(shù)相乘組成。再通過乘法與加法的對(duì)比，感受創(chuàng)造“×”及乘法這一種符合數(shù)學(xué)規(guī)律的運(yùn)算的必要性。培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)，初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。同時(shí)，有加法的知識(shí)做支撐，趁熱打鐵進(jìn)行乘法算式的讀、寫以及各部分名稱及含義的教學(xué)，則水到渠成?！?/p>

四、在鞏固中深化乘法的意義

練習(xí)一：把下面的加法算式改寫成乘法算式。6＋6＋6＋6＝24 （ ）個(gè)（ ）

乘法算式：_______________4＋4＋4＋4＋4＋4＝24 （ ）個(gè)（ ）

乘法算式：_______________

練習(xí)二：根據(jù)圖示寫出加法算式和乘法算式。

加法算式：_______________

乘法算式：_______________

加法算式：_______________

乘法算式：_______________

師：大家對(duì)于相同加數(shù)連加的求和運(yùn)算，可以變成新的運(yùn)算——乘法，理解和掌握得不錯(cuò)！仔細(xì)觀察練習(xí)二，有什么特點(diǎn)與發(fā)現(xiàn)？

生：3×5＝15 與5×3＝15，只是乘數(shù)交換了位置，積不變（也就是總和沒變），從意義上理解，區(qū)別是，一個(gè)橫著看圖，橫著數(shù)，然后連加，另一個(gè)是豎著看圖，豎著數(shù)，然后連加。

師：真不錯(cuò)！既然如此，剛剛練習(xí)一中的4 個(gè)6 連加與6 個(gè)4連加的題目，也只是乘數(shù)交換了位置，積不變（也就是總和沒變）。是否可以像練習(xí)二一樣，也變成一幅圖，只是橫著看和豎著看的區(qū)別呢？

（學(xué)生將4×6 與6×4 的意義抽象成數(shù)學(xué)化的圖示表征——矩陣模型）

師：乘法運(yùn)算這樣的特點(diǎn)，在什么運(yùn)算中也遇見過？

生：加法運(yùn)算中。比如，4＋6 和6＋4，結(jié)果都等于10。

師：你真棒！迅速地聯(lián)想到了一年級(jí)學(xué)習(xí)加法時(shí)，一幅圖可以列出兩道加法算式?？磥恚朔ê图臃ㄕ娌焕⑹且粚?duì)“好朋友”呢！

【思考：乘法的本質(zhì)意義是幾個(gè)幾連加，練習(xí)一借助相同加數(shù)連加的加法算式與乘法算式之間的轉(zhuǎn)換，可以鞏固學(xué)生對(duì)于乘法意義的理解與掌握。練習(xí)二借助數(shù)形結(jié)合的方式，不僅鞏固對(duì)乘法意義的理解，更是幫助學(xué)生拓寬了對(duì)乘法的認(rèn)知。同時(shí)這一特征還可以與已經(jīng)學(xué)習(xí)的加法相關(guān)聯(lián)，對(duì)比總結(jié)出乘法與加法都有類似的特征（交換位置，結(jié)果不變），不僅為以后要學(xué)習(xí)的交換律做好鋪墊，還溝通了乘法與加法間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完整?！?/p>

五、總結(jié)與發(fā)散

師：今天學(xué)習(xí)了什么？我們是怎樣學(xué)習(xí)的？大家還有什么疑惑？

（學(xué)生回答略）

師：通過今天的學(xué)習(xí)，大家發(fā)現(xiàn)乘法是解決相同加數(shù)連加這類問題的簡(jiǎn)便、好用的方法。難道只有相同加數(shù)這樣的算式，才有簡(jiǎn)便好用的計(jì)算方法嗎？在一年級(jí)就學(xué)過許許多多的數(shù)字規(guī)律，數(shù)字相同只是其中最普通的一種。例如：1、3、5、7、9……這樣的數(shù)字組成連加算式，有沒有簡(jiǎn)便運(yùn)算方法？或者有沒有可以讓乘法運(yùn)算更加簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法？或許你可以找到某種規(guī)律，并創(chuàng)造出屬于你自己的運(yùn)算符號(hào)與方法。

【思考：本課是對(duì)乘法的初步認(rèn)識(shí)，但通過數(shù)學(xué)探究的方式，讓學(xué)生對(duì)于運(yùn)算的理解，不應(yīng)僅僅止步于乘法。】