整體設計 尋求“通法” 關聯本質
——『小數乘除法的復習』教學實踐與思考

文 莊麗君

小數乘法、除法運算類型不同，但算法相通，學法相近。復習時溝通兩個板塊的算法、學法，系統整理其中的計算方法和計算道理，有利于學生從整體上把握知識結構，形成轉化思想，感受計算的一致性，發展學生的數學思維。

一、課前思考

“小數乘除法的復習”是人教版五年級上冊第一單元“小數乘法”、第三單元“小數除法”的教學內容。按常見教材編排方式，往往是一單元一復習，教材卻打破常規，將兩個單元放在一起復習，這樣編排，絕不是單純的量的累積。那么，這兩個單元內容之間有著怎樣的聯系？又該如何組織教學展開復習，幫助學生理清聯系和建構知識呢？

1.抓住小數乘法與小數除法算法相通之處，體現知識結構的整體性。

橫向對比“小數乘法”和“小數除法”兩個單元，兩者學習內容顯然不同，但它們的算法和學法都有相通之處，都是轉化成整數乘除法來進行計算，再運用乘除法的運算規律處理積或商的小數點位置。

復習時，可以有意識地抓住這一相通之處做文章，合理選用素材，設計題組練習，整體推進教學。教材以9 道一般的小數乘除法習題為素材，要求學生先計算，再給出整理要點對知識進行梳理。我們對習題素材加以改變，以題組方式呈現，如326×14 和3.26×1.4，798÷57 和7.98÷0.57，這樣的題組對比性很強，練習指向明確，學生通過觀察、計算，能主動發現題組的數據特點，快速捕捉到小數乘法與除法在算法上的共性———“轉化”，從而引導學生整體系統地整理小數乘除法的計算內容，總結轉化的數學思想方法，使知識和思想方法都得以結構化。

2.溝通整數乘除法與小數乘除法的內在聯系，體會運算本質的一致性。

縱向思考整數乘除法和小數乘除法的關系，前者為后者算理算法的遷移學習提供了重要基礎，后者是前者的延伸和拓展。從整數運算到小數運算，僅僅是數范疇的變化嗎？在這個過程中，計數單位進行了擴充，運算意義也得以拓展。這時，如果能抓住這一關鍵聯接點有效設計教學，學生就能從根本上體會到乘除法運算的本質就是計數單位的疊加和細分。

其實，從整數乘除法跨越到小數乘除法，很多變化學生是有直觀感受的。比如低年級時，10÷3=3……1，學生對有余數的除法已經熟練掌握，學習小數除法后，原來不能再除的可以繼續除下去了，原來得數是3……1，現在變成了3.3˙，這是一個非常直觀的視覺沖擊。有這樣的變化其根本原因為何？因為數的領域從整數擴展到了小數，計數單位進行了擴充，1 個一就可以繼續細分轉化為10個十分之一，計數單位化小，個數增多，得以實現再一次的平均分，所以表象看似不同，但本質指向一致。抓住這一關鍵變化，恰恰是打通整數除法與小數除法知識脈絡，讓學生體會運算本質的一致性的絕佳時機。教學時，可以設計一個開放式的問題，啟迪學生深度思考——在小數乘除法的學習中，有沒有一個算式讓你覺得與整數乘除法比有很大差異的、很特別的或是有困惑的？讓學生寫一寫、說一說，抓住源于學生的重要素材，暴露來自學生的真實感受，通過辨析討論，深度挖掘表象背后的根本原因，直擊數學本質。

二、教學實踐

（一）巧設計，找共性，梳理知識結構，感悟轉化思想

1.對比練習，梳理知識。

學生完成題組練習：326×14，3.26×1.4，798÷57，7.98÷0.57。

（1）反饋普通筆算方法，校對答案。

（2）反饋利用推算得出得數的方法，引發思考。

師：（選取學生作品展示）觀察這位同學的做法，你想說什么？

生：他先筆算第一題乘法，第二題不用筆算，只要添小數點就行了。第三題算完后，第四題也是這樣處理。

師：看來小數乘除法與整數乘除法之間有著緊密聯系。接下去小組合作理一理：小數乘法、除法分別是怎樣計算的？它們與整數乘法、除法有什么相同點和不同點呢？

小組交流，全班匯報，師生一起梳理小數乘除法的計算法則。

2.啟迪思考，溝通聯系。

師：明明是小數乘除法，為什么可以想成整數乘除法去算呢？

生：我們學過積的變化規律，知道因數如果擴大或縮小，積也會跟著擴大或縮小相同的倍數。把3.26×1.4 想成326×14，積就擴大了1000 倍，所以算出得數后，要縮小到原來的

生：小數除法是根據商不變性質，被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變。所以7.98÷0.57 想成798÷57，商是一樣的。

小結：我們在學習小數乘除法時，都是想到了把它們轉化成學過的知識，分別依據積的變化規律、商不變的性質轉化成整數乘除法去算，同時我們還運用這些規律來處理得數小數點的位置。

【思考：筆算習題以題組方式呈現，學生能快速捕捉到數據特點，但礙于日常做題習慣，大部分學生會題題筆算，但個別學生就會“偷個懶”，第二、四題會省略筆算過程。教學時抓住這樣的作品，讓學生對比觀察，有學生表示自己筆算時其實也是這樣思考的，有學生會質疑這樣答題“格式”不對，正是這樣的強烈對比和矛盾沖突才更能直接切中主題，使學生快速地將思考火力集中到“小數乘法、除法分別是怎樣計算的？為什么可以這樣算？”并能夠從整體的視角對兩個單元的計算內容進行結構化的梳理和總結。】

（二）引深思，抓特性，分析背后原因，凸顯運算本質

1.提出要求。

師：在小數乘除法的學習中，有沒有一個算式讓你覺得與整數乘除法有很大差異的、很特別的或是有困惑的？寫一寫，并說一說你的想法。

2.分組呈現作品，學生介紹想法。

生1：3÷8=0.375，原來3÷8 不夠除了，學了小數乘除法后，較小的數也可以除以較大的數了。

生2：10÷3=3.3˙，整數乘除法中除后有余數，學了小數乘除法后余數可以繼續除，商還可以是循環小數。

師：10÷3=3……1，余數1 其實和3÷8 一樣，原來在整數除法中不夠除了，但學了小數除法后，還能繼續除。這是為什么？

生：個位上余下的1 可以化成10 個十分之一繼續除，如果還有余數再化為幾個百分之一繼續除，可以不斷除下去，結果可能是有限小數，也可能是無限小數。

小結：小數除法和整數除法一樣，都是把計數單位不斷地轉化、細分。

生1：9×0.1=0.9，整數乘法中，積常常越乘越大，小數乘法卻越乘越小。

生2：8÷0.1=80，小數除法卻相反，以前商越除越小，現在商越除越大。

師：你能說說這背后的原因或藏著的規律嗎？

生：一個數（0 除外）乘比1 小的數，積比原數小，乘比1 大的數，積比原數大；一個數除以比1小的數（0 除外），商比原數大……

小結：小數乘除法有著自己的運算規律和特點。

生：4.2÷0.25，可以用商不變性質變成（4.2×4）÷（0.25×4），轉化成除數是1 的除法算式，這樣方便計算。

小結：利用小數乘除法與整數乘除法的聯系，有時也能幫助我們巧算速算。

【思考：要求學生寫一個小數乘除法與整數乘除法相比有較大差異的算式，由于問題有一定的自主性和開放性，學生很樂于表達，呈現的素材豐富而又真實，也正因為是自己所寫，反饋時，學生說和聽的興趣都很濃厚。不同的算式分組反饋，可以對兩個單元中有關運算意義、運算規律、簡便運算等知識進行有條理的回顧和梳理，達到復習的效果。其中第一組算式是深刻理解運算本質一致性的重要素材，可以重點反饋，抓住學生“從整數除法中算到個位就結束，到小數除法中可以繼續除”的直觀感受，深究其中緣由，通過回顧學習過程，深度辨析討論，感受計數單位的擴充連帶著運算意義的拓展，使學生能站在乘除法計算大領域的高度去重新審讀這些知識，把前后關聯的兩塊計算內容融為一體，初步體會數與運算的一致性。】

（三）優算法，重推理，培養運算能力，發展數學思維

作為計算類復習課，練習設計除了關注學生知識、技能的掌握度，更要關注學生運算能力的提升和數學思維的發展。

課中設計了這樣一組習題：

【思考：練習要求為“計算”，而不是明確要求“用豎式計算”“能簡便的要簡便”。這樣設計，一方面是考查筆算的掌握度；另一方面希望在算法上不限制學生，考查計算方法的靈活性。】

比如6÷0.25，學生出現了兩種方法：

方法1：

方法2：

兩種方法都能得出結果，但思維水平卻不同，前者是常規筆算，后者卻能自覺運用性質進行簡算。

再比如最后一題，學生方法不盡相同，但都想到了運用“轉化”的思想方法。

方法1：

方法2：

兩種方法各有近半數學生，但在計算方法的深刻性上呈現出了一定差異。方法2 更善于從繁雜的表面現象中，抓住事物的本質和核心———即“將除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法”，并能正確移動小數點得出正確結果。

整節課將兩個單元的復習內容合二為一，復習的量看似增加，但基于整合的視角巧妙地設計教學活動，突出復習重點，深化復習目標，更整體地溝通小數乘除法與整數乘除法的內在聯系，使學生建立系統的知識結構；更鮮明地體現將未知轉化為已知的學習過程，使學生形成轉化的思想方法；更深刻地感悟乘除法的本質是計數單位的疊加和細分，使學生體會運算本質的一致性。