直面復雜問題挑戰的數學主題創新活動
——以六年級《圓錐形紙杯面積有多大》主題拓展教學為例

盧 琴 蔣守成

數學主題創新活動，是指引導兒童在直面復雜問題挑戰過程中形成新體驗、獲得新見解的跨學科數學學習活動。主題就是要解決的問題，是學生能夠主動參與的、有真實情境的、具有挑戰性的復雜問題。創新活動就是解決問題的過程，是指圍繞復雜問題的解決，學生綜合運用已有的生活經驗和數學知識以及其他相關學科的知識，通過獨立思考、合作探究等數學學習活動，創造性地解決問題，并在此過程中獲得新經驗、產生新思考、形成新見解。數學主題創新活動的實施主要分為四步：確立項目主題—設計項目方案—進行項目探究—展示活動成果（如圖1）。

（圖1）

下面，筆者以教學蘇教版六下“圓柱與圓錐”單元時自主設計的《圓錐形紙杯面積有多大》一課為例，談談如何設計直面復雜問題挑戰的數學主題創新活動。

一、聚焦生活，確立項目主題

數學主題創新活動的“主題”是種子，來源于學生的真實生活和真實問題，根植于學生的認知和生活經驗。主題的確立基本上決定了主題創新活動的深度和廣度。

師：同學們，老師這兒有一個喝水的紙杯，這個紙杯和我們平時見過的紙杯有什么不一樣？

生：這是一個圓錐形的紙杯，我們平時見到的大多是圓柱形的紙杯。

師：你有沒有在哪里見過或使用過這種圓錐形紙杯？

生1：我在商場購物時，看到飲水機旁邊放著這種圓錐形紙杯。

生2：我在高速公路上的服務區用過。

師：確實，在大商場、服務區、飛機場、火車站等人流密集地可能會用到這種圓錐形紙杯。那你知道為什么要在這些地方使用圓錐形紙杯嗎？大家不妨大膽猜一猜。

生1：圓錐形紙杯更容易拿在手上。

生2：更省材料。

師：我們通過一段視頻來了解一下。

播放視頻《為什么使用圓錐形紙杯》。

師：原因之一確實是“省紙”，那這個圓錐形紙杯的面積有多大呢？到底省不省紙呢？這就是我們今天的研究主題。

上述教學從生活中的紙杯入手，引導學生思考圓錐形紙杯存在的價值，啟發學生聯想“圓錐形紙杯面積有多大”這一研究主題，這既是學生源于生活經驗自然生發的研究內容，也是單元知識內容的補充，有助于學生完善有關立體圖形的認知結構。

二、問題驅動，共生項目設計

在數學主題創新活動中，立足一個或多個問題，以問題解決為驅動力，能有效激活學生主動參與的意識和行為，充分調動學生已有的學習經驗進行方案設計與實踐探究，使問題真正成為其研究和探索的出發點和歸宿。

師：確定研究主題后，我們先討論設計出可行的研究方案。你打算怎樣研究圓錐形紙杯的面積？

生：可以把這個紙杯剪開。

師：剪開后是什么平面圖形？

生：剪開后是扇形，扇形的弧就是圓錐的底面周長，扇形的半徑是圓錐的這條斜邊。

師：扇形的半徑是圓錐頂點到底面圓邊任意一點的距離，這是圓錐的母線，可以用字母l表示。要求紙杯的面積，也就是求這個扇形的面積。但我們沒學過扇形面積的計算方法，怎么辦？

生1：我覺得這個扇形好像是整個大圓面積的三分之一。

師：可以用三個扇形拼成一個大圓。

生1：三個扇形拼成圓還有一些剩余，看來這個扇形面積沒有正好是圓面積的三分之一。

生2：可以將扇形平均分成若干個小扇形，拼成已經學過的長方形、三角形，然后再推導。

師：從圓面積的推導聯想到扇形面積的推導，是否可行？我們可以來嘗試進行實踐探究。

研究方案是在生生、師生共同交流的過程中逐步明晰并完善的。在上述教學中，學生首先調取圓柱側面積的研究經驗，將圓錐的側面展開化曲為直進行研究；然后調取圓面積的推導經驗，將扇形平均分成若干份，并剪拼轉化成學過的圖形進行推導。

三、項目探究，共享優勢資源

數學主題創新活動能為學生提供廣闊的合作探究空間和必要的“腳手架”，并在問題解決的關鍵處給予點撥和引領，促進學生在研究中積累經驗、提升能力。

出示活動要求：（1）試轉化。你想把扇形轉化成哪種圖形？（2）找聯系。轉化后的圖形與圓錐有怎樣的聯系？（3）推公式。根據已學圖形的面積計算公式，推導出圓錐側面積的計算公式。

生1：我們組將扇形對折，平均分成四個小扇形，然后拼成近似的平行四邊形。平行四邊形的底是圓錐底面周長的一半（即πr），平行四邊形的高是圓錐的母線（l）。因為平行四邊形的面積=底×高，所以扇形的面積是圓錐底面周長的一半×母線=πrl。

生2：我們組也是將扇形對折，平均分成四份，但拼成的是近似的三角形。三角形的底是（即πr），三角形的高是2l。因為三角形的面積=底×高÷2，所以扇形的面積=。

生3：我們組將扇形對折，平均分成8 個小扇形，并拼成近似的梯形。梯形的上底是，梯形的下底是，高是2l。因為梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，所以扇形的面積=2l÷2=πrl。

生4：我們組把扇形平均剪成4 個小扇形，再補出4 個小扇形，這樣就想象成一個近似的平行四邊形。平行四邊形的底就是圓錐的底面周長，高是母線，所以扇形的面積＝底面周長×母線÷2=2πr×l÷2=πrl。

師：這四種推導過程有什么相同點？

生：都是將扇形轉化成已經學過的圖形，再根據它們之間的聯系推導出扇形的面積。

師：所以，轉化這種數學思想方法非常重要。不管是哪種轉化，最后都能得出圓錐的側面積=πrl。

學生合作探究后呈現的作品讓人欣喜，既有轉化為近似平行四邊形的推導過程，也有轉化為三角形和梯形的推導過程，甚至有補上相同數量小扇形的想象推導過程。學生思維的火花在分享中碰撞，轉化思想的滲透在比較中得到強化，創新意識的培養在課堂中蓬勃生長。

四、項目發布，推廣實際應用

主題創新活動有助于學生形成一系列的數學學習策略：疑難問題不放過，刨根究底找原因；舉一反三找規律，觸類旁通明原理；小組合作常總結，融會貫通學數學；等等。

師：現在，你能計算出圓錐形紙杯的面積了嗎？

生：還需要測量。

師：直徑7厘米，母線9.5厘米。

生：3.14×3.5×9.5≈104.4（平方厘米）≈1 平方分米，大約手掌大小就能制作一個圓錐形紙杯，視頻中說圓錐形紙杯更省紙，我們用數據證明了確實如此。

師：生活中還有哪些物體是圓錐形的？

生1：生日帽。

生2：冰淇淋甜筒。

師（出示圖2）：你能計算出一個生日帽和一個冰淇淋甜筒的面積各是多少嗎？

（圖2）

…………

生：計算冰淇淋甜筒的面積時要注意用側面積加上底面積。

師：所以，圓錐的表面積=πrl＋πr2。

師：回顧今天的學習過程，我們發現生活中有圓錐形紙杯，確定了研究主題，然后討論設計出了可行的研究方案，接著進行了實踐探究，得出了研究結論，最后將結論在生活中進行了推廣應用，這樣的研究過程你學會了嗎？你在這個過程中有什么體會？

…………

師：但是，圓在生活中，圓錐形紙杯還是比較少見的，常見的是這種圓臺形紙杯。聯想一下，你還可以確定什么研究主題？

生：圓臺形紙杯的面積有多大？

師：如果是這個主題，你打算怎樣來研究？今天這節課能給你帶來啟發嗎？

生1：也要把這個紙杯剪開，應該是一個圓形和一個扇環。

生2：也可以通過轉化成已經認識的圖形來推導出側面積的計算方法。

生3：還可以將這個扇環延長，就能得到一個扇形，用大扇形的面積減掉小扇形的面積就是扇環的面積。

師：大家舉一反三的能力真強！其實，與之相關的研究主題還有很多，如怎樣制作圓錐形紙杯或圓臺形紙杯，圓臺形紙杯的容積有多大，等等。課后，大家可以接著去發現、去探究。

將數學知識和實際生活聯系起來，既使學生完善了對圓錐表面積的認知結構，又讓他們深刻體會到數學在實際生活中的應用價值。將圓錐形紙杯的面積研究推廣到圓臺形紙杯的面積研究，既是學生研究經驗的再積累，也是學生對主題創新活動過程的再強化，更在學生心田埋下了繼續探究的種子。

總之，數學主題創新活動是基于兒童需求開展的探究活動，強調打破學科之間、學校與社會生活之間的壁壘，開發學科育人資源，它承載著兒童創新意識的萌芽、創新思維的開發和創新能力的培養等功能，連接著兒童當下的學習與未來的發展。