整體認知：數學核心知識建構的有效策略*
——以四下“三角形的認識”教學為例

魏光明

在日常教學中，有些教師不注重課程內容的整體觀照和分析，不去從整體上把握所教知識包含的數學事實、符號概念、方法策略、思維邏輯和價值觀念，以及知識之間特別是起點知識與后續知識之間的內在聯系，這樣可能會導致學生所學的知識停留在對符號事實的識記與提取層面且前后割裂，難以體悟知識的多維價值和學科本質，無法形成合理的認知結構和科學的認知圖式，更談不上通過具體知識的學習來發展相關的核心素養。

眾所周知，完整的、結構化的知識才更有力量。從這個意義上來說，核心知識的教學應該重視整體設計探究體驗活動，引導學生多向打開，在發現、提出、分析和解決問題的過程中完整習得數學知識和技能，充分體悟數學思想和方法，逐步形成思考框架和學習策略，慢慢積淀操作和思維經驗，完善知識體系和認知結構，并為后續知識學習預留銜接的通道。

“三角形的認識”是“圖形與幾何”領域的起點型核心知識。雖然三角形是最簡單的多邊形，但其自身具有眾多有價值的特征和性質，而且由三角形的組合與運動可以得到更復雜的多邊形和立體圖形。因此，“三角形的認識”可為后續“圖形與幾何”內容的學習打下基礎。教學“三角形的認識”時，教師要注意引導學生通過觀察想象、抽象表征、操作實驗、比較辨析，整體認識三角形及其特征、性質，了解三角形各要素之間的聯系，學會整體性思考；呈現豐富的變式，打通概念與表征、技能與方法之間的聯系，同時適當連接和提示后續相關知識，幫助學生準確領悟三角形的本質，初步感悟起點型核心知識的價值；結合具體內容的展開過程，引導學生聯系生活，感悟三角形的應用價值，體驗問題解決背后的價值訴求；通過問題探究和質疑思辨，培養學生的理性精神和勇于面對未知的能力，發展其空間觀念、幾何直觀和推理意識。

【教學設計及意圖】

一、觀察操作，建立三角形的概念

1.經歷三角形的抽象過程

（1）談話引入：在日常生活中，人們常常將日用品、玩具、建筑、工業設備等設計成不同的形狀。從這些物體的某一個面看，可以看到長方形、正方形、三角形或者圓。

（2）觀察互動。要求學生獨立觀察后同桌交流，再引導聚焦。

呈現任務1：（出示幾張含有三角形的實物圖）你能從這些實物圖中找到三角形嗎？

追問：在哪些物體的面上也能找到三角形？

（3）學生描圖。要求學生從圖中選擇一個三角形，并把它描出來。

（4）嘗試畫圖。要求學生借助工具，每人畫出一個三角形。

2.感知三角形的基本要素

（1）引導比較。呈現學生畫出的若干個三角形，要求學生觀察、比較它們的不同點和相同點，再根據學生的匯報交流，相機揭示三角形的三個基本要素：這些三角形的邊有長有短，角有大有小，形狀不同，大小不同，但是它們都有3條邊、3個角、3個頂點。

（2）學生指認。要求學生分別指出自己所畫三角形的3個頂點、3條邊、3個角。

3.理解三角形的概念內涵。

（1）判斷說理：下面（如圖1）哪些是三角形，哪些不是三角形？為什么？

（圖1）

教師根據學生的發言，相機強調：三角形的邊是線段（直的）、首尾相接、封閉。

（2）揭示概念。教師先畫出一個三角形，在三個頂點處分別標注字母A、B、C，（如圖2）再進行講解。

（圖2）

師（沿著線段AB、BC、CA 指一周）：三角形是由三條線段首尾相接圍成的圖形。

師：上面的三角形可以表示為“三角形ABC”。

數學概念是構成數學課程內容的骨架。小學階段的數學概念總是與客觀事物相聯系的，它是人腦對客觀事物共同屬性抽象的產物。認識三角形，本質上是對三角形共同屬性的抽象，其教學不能停留在要求學生整體識別三角形的層面，不能停留在讓學生知曉“三角形”這個概念名稱的層面，不能停留在把三角形畫出來即是對三角形概念表征的層面，也不能停留在通過直接下定義的方法揭示概念的層面?；谶@樣的思考，教學伊始，教師就引導學生從整體上認識三角形：首先，引導學生用數學的眼光觀察實物圖中豐富多樣的客觀現象，通過找一找、描一描、畫一畫，根據實際物體的形狀抽象出三角形，用抽象出的三角形來表達現實世界中實際物體的形狀；接著，引導學生比較若干個三角形的相同點，從中感悟、了解三角形的基本要素，學會從要素分析的視角認識三角形；在此基礎上，引導學生判斷指定圖形是不是三角形，幫助學生在豐富的變式辨析中形成清晰、正確的三角形表象，再借助下定義的方法揭示三角形的概念，促使學生感悟三角形的內涵與外延。

二、探究比較，感悟三角形的特性

1.引導猜測

學生獨立思考、同桌討論后，組織交流互動。

師：我們剛才認識了三角形，知道三角形有3 個頂點、3 條邊、3 個角，但是三角形的形狀和大小有可能不同。想一想，你覺得三角形的形狀和大小可能與什么有關？

根據學生的匯報交流，板書三種猜想（預設）：①三角形的形狀和大小可能與邊的長短有關；②三角形的形狀和大小可能與頂點的位置有關；③三角形的形狀和大小可能與角的大小有關。

2.探究驗證

（1）呈現任務。明確探究任務，提供最基本的操作材料。

讓學生想辦法創造出兩個形狀、大小完全一樣的三角形：①想一想。怎樣才能創造出兩個形狀、大小完全一樣的三角形？②試一試。可以畫一畫，也可以搭一搭。先試著做一做，再想辦法驗證。③說一說。和小組里的同學說一說你是怎樣做的。

提供材料：三角尺、方格圖（或點子圖）、扣條（4 組，每組3 根同樣長，任意兩組的長度不同）、直尺、圓規等。

（2）學生探究。學生先獨立思考，選擇材料進行嘗試，再在小組里交流。

（3）展示交流。學生按照不同做法分別進行展示，小組其他同學進行補充。

預設1：用同一個三角尺畫兩次，畫出兩個完全一樣的三角形。

在交流中明確兩種驗證方法：①用三角尺分別和兩個三角形重疊在一起比較，就能看出兩個三角形完全一樣；②把兩個三角形剪下來重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣。

預設2：從3 組扣條中各選2 根，搭建出兩個完全一樣的三角形。

在交流中明確驗證方法和新的發現：①把兩個三角形重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣；②有些扣條無法搭成三角形。

預設3：在方格圖上先確定3組位置對應的點，再分別連成一個三角形。

在交流中明確三種驗證方法：①把兩個三角形剪下來重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣；②把第一個三角形剪下來，和第二個三角形重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣；③先剪一個與第一個三角形完全一樣的三角形，再和畫出的第二個三角形重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣。

預設4：先在方格圖上確定三個點，畫出一個三角形，再通過平移畫出第二個完全一樣的三角形。

在交流中明確驗證或說理的方法：①把第一個三角形剪下來，和第二個三角形重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣；②平移前后的兩個圖形只是位置發生了變化，它們的形狀和大小不變，所以，平移前后的兩個三角形完全一樣。

預設5：用直尺和圓規畫出兩個完全一樣的三角形。

在交流中明確兩種驗證方法：①把一個三角形剪下來，和第二個三角形重疊在一起比較，發現兩個三角形完全一樣；②這兩個三角形的三條邊分別相等，所以，這兩個三角形完全一樣。

（4）突破難點。引導學生用直尺和圓規畫三角形，并說一說操作步驟。

師（指著用扣條圍成的三角形）：如果把三根扣條換成三條線段，你能用直尺和圓規畫出兩個完全一樣的三角形嗎？如果能，怎么畫？先和同學討論一下，再試著畫一畫。

在學生展示、匯報的基礎上，引導學生總結用直尺和圓規畫兩個完全一樣的三角形的步驟：①先用直尺畫一條射線（或直線），再用圓規在上面截取和第一條線段同樣長的線段AB；②把圓規的兩腳打開和第二條線段同樣長，再把一只腳固定在線段左邊的A 點上，畫一條（弧）線；③把圓規的兩腳打開和第三條線段同樣長，再把一只腳固定在線段右邊的B 點上，畫一條（?。┚€，和第二步畫的（?。┚€相交于C點；④分別連接AC、BC，畫出第一個三角形；⑤用同樣的方法，從任意一條邊開始，畫出第二個三角形。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調對教學內容進行結構化整合，其中一個有效的做法，就是以“研究對象+”的框架將與主題相關的知識和方法構成一個整體。南京大學鄭毓信教授在《新數學教育哲學》一書中指出：“數學對象的建構事實上是一種整體性的建構活動。”從這個意義來說，隸屬于“圖形的認識與測量”主題的“三角形的認識”的教學，一方面要引導學生認識三角形的形狀，了解和掌握三角形的特征、性質和關系，感悟三角形的大小，為后續學習三角形的測量預留通道；另一方面，小學階段“圖形與幾何”的內容主要屬于經驗幾何、實驗幾何的范疇，實驗操作是學習相關知識最基本的方式之一。教學時，我們可以借鑒先前認識長方形和正方形等內容的研究框架，圍繞“三角形的形狀和大小可能與什么有關”“怎樣才能創造出兩個形狀、大小完全一樣的三角形”這兩個核心問題，引導學生從邊、角和頂點等三個方面向四面八方打開思路，提出與之相關的猜想，并將尺規作圖方法融入其中，通過操作驗證猜想，或通過圖形平移的特點進行簡單說理，使其學會用整體的眼光、聯系的觀點去分析問題，進而溝通舊知與新知、表征與概念、程序與方法之間的多向聯系，進一步整體感知和認識三角形。

3.討論聚焦

根據學生先前的匯報，教師引導學生聚焦幾個重點問題展開思考與質疑，并適時予以點撥、講解。

問題1：三條邊能不能確定一個三角形？

師：我們用扣條搭兩個完全一樣的三角形，或者用直尺和圓規畫兩個完全一樣的三角形，這兩個三角形三條對應邊的長度有什么特點？

師：反過來想一想，如果確定了三角形三條邊的長度，無論是用扣條去搭，還是用直尺和圓規去畫，得出的三角形有什么特點？

在討論、交流的基礎上，指出：確定了三角形三條邊的長度，就確定了三角形的形狀和大小。這樣的三角形是唯一的，具有穩定性。這是三角形的一個重要性質。

追問：在剛才的活動中，任意選擇三根扣條，都一定能搭成一個三角形嗎？

根據學生的發言指出：并不是任意長度的三條線段都能圍成一個三角形。這個問題我們將會在后面的學習中繼續進行研究。

問題2：三個頂點能不能確定一個三角形？

師：我們在方格圖上先確定3 組對應的點，或者在方格圖上先確定三個點，再進行平移，得出的兩個三角形完全一樣。這說明，確定了三角形的什么的位置，就可以確定三角形的形狀和大??？

在討論、交流的基礎上，指出：確定了三角形三個頂點的位置（不在同一條直線上），三角形就是唯一的，具有穩定性。

師：你能用前面學過的知識解釋一下，為什么確定了三角形三個頂點的位置，就可以確定三角形的形狀和大小嗎？先自己想一想，再和同桌討論一下。

在討論、交流的基礎上，指出：兩點可以確定一條線段。確定了三角形三個頂點的位置，也就確定了三條邊的長度，所以可以確定三角形的形狀和大小。

小結：學會從一些事實出發推出結論，利用已有的知識解釋結論，是一種良好的習慣和重要的能力。

問題3：三個角能不能確定一個三角形？

師：為什么用同一個三角尺畫出的兩個三角形形狀和大小是確定的？你能解釋一下嗎？

根據學生的匯報交流，呈現三種觀點：

①同一個三角尺畫出的兩個三角形，可以看成確定了三條對應邊的長度，所以就確定了三角形的形狀和大小。

②同一個三角尺畫出的兩個三角形，可以看成確定了三個頂點的位置，所以可以確定三角形的形狀和大小。

③同一個三角尺畫出的兩個三角形，還可以看成確定了三個對應角的大小，也可以確定三角形的形狀和大小。

師：前兩種說法直接運用剛學的知識來解釋，相信大家沒有疑問。對于第三種說法，你們同意嗎？

在交流、質疑、爭論的基礎上，指出：老師用的大三角尺和同學們用的小三角尺，三個對應角的大小是相等的，畫出的兩個三角形雖然形狀相同，但是大小不相等。

師：看來，確定了三角形三個角的大小，只能確定三角形的形狀，不能確定它的大小。這個問題我們到六年級和初中還將進一步研究。

知識學習是素養發展的載體。數學知識的學習不僅包括事實識別、概念理解、技能習得，還應該通過方法領悟、問題解決、觀念澄清，在整體感知的基礎上促進學生的思維進階和素養發展。本環節教學，聚焦幾個關鍵問題，引導學生根據基本的數學事實“兩點之間只有一條線段”“等量的等量相等”，以及已有的知識經驗，通過分析、比較、推理、評價、質疑等活動，印證了影響三角形形狀和大小的有關因素，主動對自己或他人的觀點作出合理的解釋與說明，從數學的角度初步感悟三角形的穩定性：確定了三角形三條邊的長度或者三個頂點的位置，就能確定三角形的形狀和大小，此時的三角形是唯一的，領悟三角形的穩定性這一重要性質；確定了三角形三個角的大小，只能確定三角形的形狀，并不能確定三角形的大小，此時的三角形不是唯一的。這樣教學，有助于學生形成用數學的思維思考現實世界的能力，增強理性精神和敢于面對未知的勇氣，發展空間觀念、幾何直觀和推理意識，同時有機滲透所學知識與三角形三邊關系（并不是任意長度的三條線段都能圍成一個三角形）、三角形全等和相似等后續知識的聯系，以發揮起點型核心知識的奠基、生發和啟示作用。

三、聯系生活，了解三角形的應用

1.教師介紹

回應開頭，出示課始情境的實物圖進行講解。

師：在生活中，許多物體上都有三角形的結構。這是因為三角形具有穩定性，也就是當一個三角形三條邊的長度確定，或者三個頂點的位置確定后，這個三角形的形狀和大小就不會改變。

師：你還見過哪些物體上有三角形的結構？

2.遷移應用

師：教室里的一把椅子有一條腿搖晃了，你能運用今天學習的知識和方法讓這條腿不再搖晃嗎？

3.拓展延伸

師（出示圖3）：實驗室有一塊三角形玻璃被打碎了一部分，商店能根據剩下的這部分配一塊和原來一模一樣的玻璃嗎？

（圖3）

師：我們知道，確定了三角形三個角的大小，只能確定三角形的形狀，不能確定它的大小。如果確定了三角形兩個角的大小和一條邊的長度，能確定三角形的形狀和大小嗎？

數學承載著思想和文化，與現實生活緊密相連，具有重要的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。在教學中，要讓學生真正體會到現實生活與今天所認識的三角形之間的聯系，不僅要引導學生學會用數學的眼光觀察現實世界，從客觀現象中發現三角形的結構，抽象出三角形；學會用數學的思維思考現實世界，揭示三角形的本質屬性及其與相關知識的關聯，建立起三角形與現實世界之間的邏輯聯系；還要引導他們學會用數學的語言表達現實世界，構建三角形模型，有意識地利用三角形的性質解決實際問題，感悟問題背后的數學原理，體會三角形的應用價值，并產生新的猜想，獲得新的結論，從另一個視角進一步整體認識三角形。我們應該認識到，從三條邊的長度、三個頂點的位置、三個角的大小等方面研究三角形的穩定性，只是這一個階段的探究過程結束了，后續還將從這里出發，探索與圖形的放大和縮小以及初中的全等和相似有關的結論，從而建構更加廣泛的聯結，溝通未知世界與已知世界的聯系。從這個角度來說，我們要增進學生的整體感知，引導學生主動反思和拓展聯結，將所學知識和方法遷移到新的情境中，解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題，強化生活和數學的雙向轉換，支持學生持續探索和深度思考，有效發展學生的核心素養。