小學數學學與教的結構化：內涵、價值與途徑*

陳六一

課程內容的結構化是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）的基本理念，也是其相對于《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的主要變化之一。于是，以“結構化”為關鍵詞的教學實踐與理論探討，成了近來的教育熱詞。筆者認為，我們需要思考如下問題：第一，結構化是要從純數學的角度對待具體的數學結構嗎？盡管強調結構化體現在將具有一致性學科本質特征的內容整合成一個主題，有助于學生整體把握和理解數學，但波及全球的“新數運動”已經給了我們足夠的教訓，即這條路徑已經超越了小學生的學習程度。第二，結構化是要將學生的認知建構視同課程內容的結構化嗎？盡管學生有無限可能，但“最近發展區”理論啟示我們，教必須跑到學的前面，因為一個人難以獨自學習處在“最近發展區”的系列知識。更何況，從學科發展史可見，數學是按照一定的秩序與內部聯系，對已經積累的經驗、知識進行歸類、整理或加工，組合成的一個有機邏輯體系。可以這樣說，學生要洞見數字，就需要教師的示范、啟發、指導、點撥。因此，筆者從學的結構化與教的結構化兩個維度重新理解教學，以期通過教的結構化更好地促進學的結構化，從而讓學生更好地理解數學，感受數學思維是理解世界的一種重要方式，進而發展學生的核心素養。

一、學的結構化的內涵與價值

學的結構化是指要對學生的學習內容作結構化的分析和設計，從而促進學生形成更好的思維結構，習得數學學習的方法論，這既是為了回應新課標中內容的結構化要求，也是對學習理論的實踐性反思。

1.變革學習方式

學的結構化首先是針對內容結構在學習形式上的分析。當下的基本教學流程是：問題（聚焦某一個知識點）→解題（一種方式主要是教師講解，一種方式主要是少部分學生講解）→練習（基礎練習、變式練習、拓展練習）。反思上述教學流程，由于其具有孤立性與碎片化的特點，使得課時學習仿佛永遠都在解決全新的問題，連續的內容學習卻不能產生連貫的整體認知；縱然后續有大量的練習加以串聯，學生通過熟能生巧也許會舉一反三，但也有可能熟能生“笨”，從而喪失學習的熱情；另外，還會在教師與優秀生介入的共識與大量練習中，失卻面對復雜問題嘗試舉三反一的能力。

為此，筆者試圖革新針對內容學習的課堂進程：問題（開展基于內容單元與素養目標的問題任務群活動）→回溯與喚醒（引導學生進行個性化表達與多元表征，喚醒其已有學習經驗）→識別與歸類（識別模式、辨析比較）→自反抽象（讓概念回到背景意義）。當學生發現每天解決的問題只是“數學樹”上的一根枝條，即數學結構上的一個結點或者結點與結點之間的一條“鏈”，學生便能悟出今天的所學與昨天的所學之間有所關聯，并能想象出未來相關所學。如此，每一次新學便可以退回到舊知之中，或者改造舊知的局限。于是，喚醒學生過往的學習經歷便能作為他們新知學習的支架，繼而在對數學內容變與不變、靜與動的觀察、操作、協商、爭論、建構、變構過程中，將數學經歷凝練為數學經驗，進而指導其未來的自學行為。

為了讓形式上的變化能促進學生的數學理解，還要對學科本質進行分析，如“數與運算”的教學，就要引導學生“感悟數概念本質上的一致性”“體會數的運算本質上的一致性”。當然，學科本質不可能通過一節課（甚至不可能通過一個自然單元、一個年級）的學習就能感悟到，我們要在本質的統領下，分側面、分層級地引導學生以長時間的數學學習通達數學的理想狀態。同時，每一個單元、每一個課時的學習都要分析單元、課時內容的縱向關聯，找到所學知識所處的位置。另外，還要分析單元、課時內容的橫向關聯，以學生的數學經驗、數學學習經驗為基點，將新知、未知納入已知模式，或者暫時不能解決問題，但是可以思考可能抵達問題解決的路徑。如圖1所示的“分數除法”的學習，其中的橢圓內容指向縱向結構，即內容本身的前后關聯；方形內容指向橫向結構，即數學學習經驗的關聯。

圖1 “分數除法”學習內容的縱橫結構

2.設計學習路徑

如果說上述分析試圖在啟迪學生思考什么是數學、數學有什么用、數學為什么是今天這個樣子。教學則要引導學生學會思考怎樣才能更好地學習數學、怎樣在學習中更好地培養理性思維。如“分數除法”的學習，課程目標指向運算能力素養培育。目標對應的學業質量標準是：能進行簡單的分數除法運算，感悟運算的一致性，形成數感和運算能力。具體來說，就是要做到以下幾點：明晰分數除法運算的對象，知道為何用分數除法進行運算，理解分數除法可以用被除數乘除數的倒數來計算這一算法和算理之間的聯系；會選擇合理簡潔的運算策略，有基于自己思維經驗的問題解決方法；形成規范化的思考，養成求實的科學態度。

其教學目標的實現過程，幾乎可以看作學習沿階而行的路徑。也就是說，一旦厘定了教學內容所承載的素養目標，我們便可以將目標細化，同時賦予其可以量化的質量描述，再以此設計教學程序。繼續以“分數除法”為例，為了實現前面所描述的目標與質量要求，課堂可以分三步走，在多個課時的連續學習中實現目標。第一步學習“分數除以整數”；第二步學習“整數除以分數”，含“整數除以幾分之一”“整數除以幾分之幾”；第三步學習“分數除以分數”，如圖2 所示。需要注意的是，在第一步的學習伊始，學生依據情境能夠發現，分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數講述著相同的數學故事，只是解決問題時數字不同而已；辨析不同的解釋，學生能夠發現，盡管每一步都有不同的解題方法，但每一種解題方法都能在乘除法之間建立聯系。

圖2 “分數除法”的學習路徑

二、教的結構化的內涵與價值

教的結構化是指教師以結構化的方式表達自己對教學的思考，建構“從一節課到一類課”的整體教學設計框架。具體而言，即對于數與運算的教學、數量關系的教學、圖形的認識與測量的教學等，都能在框架下進行教學思考。畢竟每一個主題的學習都不是一節課就能完成的，每一個結構也不是靠教師的告知學生就能掌握的。

繼續以“分數除法”的教學為例，在分數范圍內理解除法的意義應該是這幾節課的教學起點，等分模型和包含除模型分別對應理解分數除法的兩種思考過程，估算是運算教學不可分割的一部分。這樣的教學經驗當然來自整數除法、小數除法的課堂，由此就構成了運算教學的基本樣態。具體展開來講，可以從以下四個方面來建構“分數除法”的教學框架。

其一，使用情境任務。有關分數的情境問題有助于加深學生對分數的理解，形成他們自己的解題方法。問題情境不需要太復雜，但必須是學生熟悉的，符合分數在日常生活中的實際運用情況。如用千克、米等為單位進行測量，用語中含有二分之一、四分之一、八分之一這樣的分數，而非三分之一、五分之一這樣的人為刻意規定。

其二，運用多種模型探索。面積、長度和集合模型可以從不同角度刻畫分數，幫助學生深入理解分數除法的意義。特別要強調的是，模型既要與情境建立聯系，也要與除法運算相關聯。

其四，討論計算過程中遇到的挑戰。學生會在新的學習中運用他們已經掌握的知識，如除法運算的意義在整數與分數范圍內相同，看似遷移促進了分數除法的學習，但它們的計算過程不同，也就意味著用整數知識來解決分數除法問題會導致困惑。教師應該把常見的誤解呈現給學生，并組織學生討論：為什么有些方法可以直接推廣，有些方法卻會導致錯誤？

由以上“分數除法”教學的結構化分析，其實可以反推數運算教學的基本框架；或者說，關于數的運算在每個學段（乃至每個具體的教學單元）的教學，都可以從如圖3 所示的框架中得到啟示。

圖3 運算教學的基本框架

三、學與教的結構化的實現途徑

教的結構化，是為了從一類課上構建學習框架；學的結構化，是將框架變成學生課堂學習的具體過程。因為教學的立足點與落腳點都是學生的學，所以教的結構化與學的結構化是讓數學學習成為可能的一體兩面，而這無疑考驗教師對數學及數學學習的理解。為了讓教師的理解更好地支持學生的數學學習，踐行教學相長的理念，筆者在實踐中探尋出以下幾種途徑。

1.建立聯結

在新知和舊知之間建立聯結，可以增進理解。一如學生在學習“分數除法”時，能主動關聯圖1 中縱向結構的上半部分，這無疑可以促進學生對分數除法的意義、算理、算法的全面理解。當然，教師在課堂中還要鼓勵學生根據已有的想法來構建新的想法。如此，想法之間就建立了聯結網絡，聯結越多，理解就越深入。

2.工具探索

工具是指日常生活用品、數學圖形以及學具等。工具不僅可以用來解釋說明概念，也可以具象地表達數學概念，促進大腦建立起數學思維。還是以“分數除法”的教學為例，比如計算，教師不急著揭示標準算法——“被除數乘除數的倒數”，而是要求學生展示自己個性化的理解，在等待中，學生誕生了很多精彩的想法：（1）把15粒豆子看作“1”，對應20粒，便指6 粒，就是算20 里有幾個6，或者20是6 的多少倍，即里有（4×5）個里有（2×3）個÷（2×3）=；（3）把和放到數軸上，將自然數1 平均分成15 份，占有這樣的20 份；占有這樣的6 份，6 份一數，數出了3 次余下2 份，2 份占6份的……

過分強調標準算法，實際上對學生提高運算能力有負面干擾。學生需要構建自己的解決方案，這些屬于自己的方案和標準算法同樣有效，而且對學生而言更有意義。另外需要提醒的是，教師告訴學生跟著我來做，是常見的誤用工具探索，既不能促進學生思考，也不能幫助學生理解概念。當然，我們也要引導學生關注用不同工具探索所體現的共同數學特征。

3.經歷困境

有時候學生想一個人安靜地思考問題，但課堂上有些教師總是會“好心”地給予講解、提醒。雖然教師的初衷是讓學生更快地獲得答案，然而并不能幫助學生學會思考。正如皮亞杰所指出的：學習者在獲取新知時會經歷不平衡，通過順應與同化，讓認知重新平衡，正是構建知識結構不可或缺的。因此，教師要引導學生認識到，錯誤、誤解、思慮不周都是學習的機會。例如，學生計算，發現商遠遠大于被除數，學生陷入了認知困境。教師要注意引導學生理解除數是個單位量，即用來度量。當用來度量1 時，就需要次，由此推理出用小于1 的數度量1，必然要多于1 次。另外，學生經歷了分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數的持久“失衡—平衡”狀態，能漸漸感悟分數除法不管用包含除還是等分除來解釋，分母所表達的都是到底要分成多大的分數單位，反映在算法上就是乘分母；分子表達的是每份是多少，反映在算法上就是除以分子；然后在某個時間節點，突然發現直接用顛倒除數相乘更簡單。需要注意的是，教師一定要表揚學生在問題探索過程中的努力和堅持。

當我們通過教的結構化更好地實現了學的結構化，當我們在課堂上以學的結構化幫助學生感悟到學好數學的方法論，教學也就實現了通過例子學會數學思維，通過數學學會思維，具體表現為：學生會發現和提出問題，能嘗試運用多種策略、借助直觀尋找規律，會在聯系中推理，并能理性地表達與交流。