一類與三直線斜率關聯的定點定值問題的深度探索

廣東省惠州仲愷中學(516229) 陳偉流

解析幾何試題向來以命制背景豐富,呈現形式多樣,結論優美和諧而深受廣大師生及一線學者的熱捧,其中與雙直線斜率和積關聯的定值,定點問題更是高考中的熱門考查內容,同時也是學者們深耕不倦的研究對象,如文[1]闡述了直線過定點與雙弦斜率和積的內在邏輯關系;在此基礎上,文[2]進一步探究了雙弦中點所在直線過定點與斜率和積相互關聯的問題,但在眾多研究成果中,對于三直線斜率關聯的定值,定點問題的內容卻少有涉及.為此,筆者從一道月考試題出發,圍繞試題的命制背景展開深入探索.

一、試題呈現

評析試題以直線與橢圓的位置關系為切入點,以三直線的斜率和積的定值結果為論證目標,著重考查運算求解,邏輯思維等關鍵能力,對數學運算,邏輯推理等核心素養有較高的考核要求.解題后回顧發現,“橢圓右頂點”及“直線過焦點”的前提條件是引發三直線斜率和積為定值的直接原因.基于此,筆者提出如下具有探究意義的問題:

①若將兩前提條件一般化處理,則三直線斜率和積為定值的結論是否仍成立?

②將問題①中的條件與結論上在邏輯關系上進行有序編排,則相關的逆命題是否成立?

③將橢圓載體推廣到圓錐曲線體系,是否仍有相關優美的結論?

二、從特殊載體到一般背景的縱向探索

三、從斜率和積為定值到定點的逆向探索

四、從橢圓載體到圓錐曲線體系的橫向推廣

注雙曲線及拋物線背景中也有類似推論1,2 和命題3,4,5 的相關優美結論,此處不再一一列舉.

五、應用提升,深化認知

高考解析幾何試題多次以經典的高等數學知識為命題依據,極具豐富的研究價值,如2023 年全國高考試題便以經典的帕斯卡定理模型,圓錐曲線的極點極線理論,調和點列(線束)的優美性質等高深背景成為廣大師生愛不釋手,樂于耕耘的一片沃土,具備師生備考上的典范性與指導性.所謂一題一世界,只有明晰每道試題背后的命題背景,師生共同觸摸問題本質,才能實現試題背后的教育價值,幫助學生提升的關鍵能力及核心素養,從而真正地培養好學科思維品質.[3]