約束條件下的柯西不等式:幾何的視角

深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬外國語學(xué)校(518109) 鐘文體

一、命題簡證

二、幾何背景

幾何形式如圖1,已知點(diǎn)O是平面π上的定點(diǎn),點(diǎn)A為另一定點(diǎn)(平面內(nèi)或平面外),點(diǎn)M在平面π上運(yùn)動,求線段OA在直線OM上的投影的最大值.

圖1

圖2

若點(diǎn)A在平面π內(nèi),則當(dāng)點(diǎn)M在直線OA上時(shí),投影最大,最大值為線段OA的長度.以下考慮點(diǎn)A在平面π外的情形.如圖1,作AA′⊥平面π,垂足為A′.作AM′⊥OM,垂足為M′.連接A′,M′,那么,?OAA′,?OAM′,?AA′M′都為直角三角形.因此,

OM′2=OA2?AM′2=OA2?(AA′2+A′M′2)

=(OA2?AA′2)?A′M′2=OA′2?A′M′2≤OA′2,

(也可以通過證明OM′⊥A′M′來說明|OM′|≤|OA′|)于是,當(dāng)點(diǎn)M′與點(diǎn)A′重合,即當(dāng)點(diǎn)M在直線OA′上時(shí),線段OA在直線OM上的投影取最大值,最大值即為線段OA在平面π上的投影的長度.

三、推廣