一道聯賽解析幾何試題的探究與推廣

杭州市教育科研標兵姚翔工作室杭州市交通職業高級中學(310000) 吳江

1.試題與解答

題目(2022 年全國高中數學聯合競賽一試(A1 卷) 第10 題)在平面直角坐標系xOy中,設一條動直線l與拋物線Γ:y2=4x相切,且與雙曲線?:x2?y2=1 交于左、右兩支各一點A、B.求?AOB的面積的最小值.

評注解法的不同主要體現在兩個方面: 一是選擇不同的初始變量,通過運算用單變量表示三角形面積,建立目標函數.二是運用不同的方法,求解函數(面積)的最小值.因此,整個解題過程可分為兩個部分,即表示面積與求解最值.

1.表示面積

無論是設點(切點坐標)還是設線(斜率、截距),都可以由“相切”這一條件建立關聯各變量的等式,從而將其統一變量來表示,進而實現用單變量表示三角形面積,即得到目標函數與變量的對應關系.由“交于左、右兩支各一點”這一條件建立關聯各變量的不等式組,從而得到變量的取值范圍,即目標函數的定義域.

2.求解最值

構造函數和不等式是求解解析幾何最值(范圍)問題的常用方法.在上述解法中,都應用了換元,其目的是化簡形式或構造不等式,以便于進一步轉化處理.解法1 和解法2 應用了基本不等式,技巧性較強,解法3 通過轉化聯系了二次函數模型,需具備敏銳的洞察力,解法4 對目標函數求導的方式思維量小,但運算量大.

該題一共20 分,從評分標準來看,完成用單變量表示面積和求得面積的最小值各占10 分,由此可知,雖然表示面積作為前一部分是總體解題程序中的主體,但是真正的難點卻是后一部分求解面積的最小值,體現出該題對基礎與能力的“并重”考查.

2.拓展推廣

從上述解題過程中不難發現,三角形面積的最小值是由雙曲線和拋物線的方程所決定,因此可以得到下述一般性結論:

3.感悟反思

高中數學的解題教學應“重基礎,講方法”,力求基礎與能力并進.熟悉基本的題型,掌握常規的解題路徑是一件看得見、摸得著的工作,而對于典型問題的難點突破需要講究方法,如上述解題過程中求面積的最小值,解法1 和解法2 對分母整體換元,解法3 將分式拆分后換元,都有著明確的轉化目標,應總結模型的特征,使其有跡可循.另外,對原問題加以推廣及探究相關變式是提煉方法,內化鞏固的有效途徑,教師應引導學生深入思考,追本溯源,在探究中提升能力,落實核心素養的滲透與培養.