同構法在高考解題過程中的應用

福建省德化第一中學(362500) 吳志鵬

同構法是指式子兩邊的結構相似,或是式子局部結構相同,此時可以通過換元,化繁為簡,使得式子的結構特征更加清晰明了,構造出相應的新函數、新方程、新數列等,進而利用函數的單調性、最值、方程根與系數的關系、數列的遞推關系等解決問題.利用同構法解題具有很強的技巧性,對學生創新思維的提升具有很好的促進作用.解題的關鍵在于是否能從題目所給的式子挖掘出同構式,進而構造新函數、方程、數列等,再用其性質求解,獲得結論.下面讓我們來欣賞幾道可用同構法求解的高考試題.

一、指對融合,同構解困惑

解決含有指數與對數函數或方程問題,式子的結構特征有時并不明顯,可通過指數與對數的運算或恒等變換,巧妙地實施同構變換,使得方程兩邊的結構相似,從而構造一個函數,再利用函數的性質進行解題.

例1(2020 年高考新課標Ⅰ卷(理科) 第12 題) 若2a+log2a=4b+2log4b,則()

A.a>2b B.a<2b C.a>b2D.a

解析因為

2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b?1,令f(x)=2x+log2x,則有f(a)=f(2b)?1,所以f(a)

評析本題通過指數與對數運算成功地將題目中的等量關系轉化為一組同構式,從而構造遞增函數f(x)=2x+log2x,結合函數單調性比較大小,獲得結論.

例2(2022 年高考甲卷(理科) 第21 題) 已知函數f(x)=?ln x+x?a.

(1)若f(x)≥0,求a 的取值范圍;

(2)證明: 若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

解析(1)由題意知,函數f(x)的定義域為(0,+∞).函數解析式可化為

二、三角變換,同構巧助力

對于與三角形相關的問題,如果存在式子的結構相同,我們可通過三角恒等變換或誘導公式實施同構變換,并構造相應的三角函數,利用其性質求解問題.

三、數形結合,同構來點睛

數與形是數學中兩個最古老的也是最基本的研究對象,它們在一定的條件下是可以互相轉化的,以數解形,也能很好地啟發我們探究同構式的幾何意義.

四、通項遞歸,同構顯神通

數列通項公式中的前后項實質上是一組可遞推的同構式,通過尋找可遞推的一組關系式獲得解題思路,也具有普適性,這當中,同構思想也體現得“淋漓盡致”.

從而構造出常數列,最終求得數列{an}的通項公式.

結語 同構法應用時,要根據式子的結構特征,或是通過運算、變形等手段,挖掘同構式,并構造函數、遞推數列、以及利用其幾何意義進行求解,同構式使得式子變形之后更加簡潔、美觀,研究同構式的使用,有助于提升學生數學運算、直觀想象、數學建模等核心素養,同構式也是高考命題的一種好思路.