由一道數列?？碱}引發的思考

甘肅省蘭州市第六中學(730060) 焦永垚

一、原題呈現

題目(2023 年天津市南開區高三數學一模第19 題)已知等差數列{an}的首項為1,前n項和為Sn,單調遞增的等比數列{bn}的首項為2,且滿足b2+S2=7,b3+S3=14.

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

(2)證明: 3Sn=anSn+1?(an?1)Sn(n ∈N?);

(3)記{bn}的前n項和為Tn,證明:

二、解法探究

第(1),(2)問考查數列的基礎知識,易得an=n,bn=2n.下面來探究第(3)問的證法.

三、探究延伸

點評上述解答給出了{(an2+bn+c)qn}型數列求和常用的四種方法.事實上,數列{an2+bn+c}(a ?=0)為二階等差數列,因此對于{(an2+bn+c)qn}型數列的前n項和可以由阿貝爾數列求和公式直接得出(可參見文獻[3]),至于其他“高階等差乘等比”型數列的前n項和,有興趣的讀者可利用阿貝爾變換進行探究,本文不再贅述.

四、結語

在數學教學中,時常會遇到一些典型且設置巧妙的問題,這時我們要教導學生不能僅僅滿足于問題的獲解,而是在此基礎上勤于思考,樂于鉆研,從多角度展開嘗試和聯想,力求擴大戰果,逐步培養學生探究數學問題的習慣.在教學中,要不失時機地為學生提供探究的機會,在探究中培養學生數學思維的廣闊性、深刻性、靈活性及獨創性,讓學生在探究中真正體會學習數學的快樂.