變式應用的必要性與實踐分析

李凡

［摘? 要］ 變式在我國數學教學領域有悠久的歷史，其對各種課型的數學教學具有重要的指導意義. 文章從變式應用的必要性出發，談變式在概念教學、定理（公式）教學、例（習）題教學、復習教學、試卷講評課中的應用模式，并以一個例題教學片段為例展開分析，與同行交流.

［關鍵詞］ 變式；教學；變式應用

蘇聯教育家奧加涅相認為：不少習題都有進一步擴展與教育的功能，從解決原題到提出類似問題并解答的過程就是擴大解題武器庫的過程，學生在此過程中可形成良好的概括能力、辯證思維以及創造意識［1］. 該理論與變式應用有著異曲同工之妙. 實踐發現，變式應用能有效拔高學生的思維，能發展學生的解題能力.

變式應用的必要性

1. 機械訓練無法熟能生巧

常聽到教師這樣抱怨：這道題，講了無數遍，也練習了無數遍，學生還是要出錯. 殊不知，教師所言的“無數遍”只是機械地講題，學生一直從事著單一、重復的機械訓練，根本達不到熟能生巧的境界，純粹是“小和尚念經，有口無心”. 想讓學生通過解一道題，掌握解一類題的能力，教師就要讓學生經歷靈活訓練，而變式的應用就是實現觸類旁通的基礎.

2. 題海戰術催生厭學情緒

新課標明確提出，學生才是學習真正的主人，學生對待學習的心理狀態、情緒與態度等對學習成效有著直接影響. 有些教師仍然沿用傳統的“題海戰術”進行教學，希望學生全方位、無死角地通過刷題掌握解題技巧，形成良好的解題能力. 殊不知，在“雙減”背景下，“題海戰術”已經被整個教育界摒棄.

題海戰術的教學模式，會嚴重壓縮學生的睡眠時間，占用其他學科的學習時間，導致學生學習效率低下，思維固化. 長此以往，學生看到習題就會產生抵觸情緒，久而久之就會形成惡性循環. 變式教學可以有效解決“題海戰術”帶來的這些問題，能讓學生通過一類題的研究掌握知識本質，形成以不變應萬變的解題能力.

3. 以題論題違背教育規律

學生的身心發展遵循一定的規律，同樣地，數學教育教學也遵循著由淺入深的規律. 但有些教師在試卷講評環節，習慣性地以題論題，認為學生只要學會解這一道題就可以了. 殊不知，教育的發展要遵循循序漸進的原則，當學生學會解一道題時，并不能“通透”到解一類題，而變式的介入，則能讓學生的思維實現由淺入深螺旋式上升.

變式的模式設計與實踐分析

1. 變式在不同課型中的應用

變式是圍繞母題、教學目標與學生的認知水平等有一定依據地“變”，而非隨心所欲地即興發揮. 進行變式設計時，教師要遵循常規的目標導向與針對性原則，針對不同的課型，采取不同的教學方式.

（1）概念教學

概念是數學的基礎，其在教學中的重要性不言而喻. 新課改背景下的概念課程，基本采用“情境創設—新知探究—抽象概念—變式強化—總結升華”的過程. 其中，“變式強化”環節在整個過程中起著核心作用. 當學生抽象出概念的定義后，教師一般都不能急于帶領學生應用剛剛建構的概念去解決實際問題，而是通過變式的應用，進一步深化學生對概念內涵與外延的理解，讓學生在概念的辨析與等價轉換中形成深刻的認識. 同時，概念變式題組的應用，能讓學生在探索中深化對概念內涵的認識，為建構完整的認知體系服務.

（2）定理（公式）教學

定理、公式等是經過長期大量實踐抽象而來的. 教師教學定理（公式）時，基本采用“情境—猜想—驗證—獲得定理（公式）—變式訓練—總結提升”幾個步驟. 變式訓練是基于學生獲得相應定理（公式）之后，對其進行更深層次的探討，一般是教師將定理（公式）進行變形、推廣或逆向變化等，讓學生從不同的角度對其進行了解，而后通過題組訓練，鼓勵學生自主思考、探索、作答，真正地掌握定理或公式，提高應用能力.

（3）例（習）題教學

學生對數學知識的掌握程度以及各項能力的發展，都通過解題外顯. 例題或習題教學常采用“精選例題—解法變式—問題變式—方法指導—解決問題—提煉升華”的過程. 一題多解的本質是解法變式，學生通過不斷優化解法，思維的靈活性與廣闊性得到有效提升；問題變式是在不改變知識本質的基礎上，變化問題的條件與結論，引發學生從不同的角度去思考問題、剖析問題、解決問題，為更好地完善認知結構奠定基礎.

（4）復習教學

艾賓浩斯遺忘曲線明確地告訴我們，人的記憶有一定的規律，學完的知識過一段時間要進行復習、鞏固，這樣才能在大腦中形成長時記憶. 復習課程常采用“歸納、分析知識—精選范例—解法分析—變式訓練—提煉總結”的教學過程.

一堂復習課，可以是一個知識點的循環，也可以是多個知識點的循環，但每個循環都是一個完整的過程. 是否要減少個別環節，要結合知識點的特點與范例的情況來定. 其中，“變式訓練”是必不可少的一個環節，此“變式”非例（習）題教學過程中的變式，這里的變式一般具有綜合性，容納了多個知識點，使得整個問題具有“新、廣、深”的特征.

（5）試卷講評課

日常大小考試之后都涉及試卷講評，試卷講評是查漏補缺的重要時機，常采用“總評—分類評—變式訓練—回顧—總結提升”的教學模式. “分類評”是指教師結合學生的實際答題情況，將典型錯誤類型進行歸類、評析，或重新選擇其中的1～2項進行重點點評；“變式訓練”則是選擇典型范例編擬變式題，矯正學生容易出錯的問題，這是強化學生數學思想方法的一種訓練，具有鞏固、提煉數學思想，強化解題方法，獲得解題能力的作用.

2. 例析變式應用

由上面的分析可知，變式廣泛地應用在不同的課型中，雖然應用的方法存在一定的差異，但應用的目的都是讓學生進一步掌握知識本質，深化學生對知識的理解，形成舉一反三的解題能力. 接下來，筆者以例題教學中的變式應用為例，展開分析.

【環節一：精選例題】

例題?如圖1所示，△ABC是等邊三角形，在BC邊上取一點D，在AB邊上取一點E，使得BD=AE，AD與EC交于點O，求∠COD的度數.

解法1 因為△ABD≌△CAE，所以∠BAD=∠ACE. 所以∠COD=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=60°.

例題一呈現，學生就輕松地完成了求解，同時進入學習狀態.

【環節二：解法變式】

顯然，會解例題并不是教師教學的主要目的. 等學生順利解題后，教師立即將題目中的條件“△ABC是等邊三角形，在BC邊上取一點D，在AB邊上取一點E”拎出來，讓學生思考有沒有其他解法. 在教師的點撥下，學生很快獲得了下面兩種解題方法.

解法2?如圖2所示，若D，E兩點分別是BC，AB的中點，根據等邊三角形的性質容易求得∠COD=60°.

解法3?如圖3所示，若D，E兩點分別與點B、點A重合，則點O與點A重合，于是能直接獲得結論∠COD=60°.

該環節從低起點出發，先讓學生嘗到解題帶來的成就感，再從題設條件出發，引出解法變式，這樣便深化了學生對此類問題的認識.

【環節三：問題變式】

變式?如圖4所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，AE⊥BC，垂足為E，CD與AE交于點H，AB=CD=6，F為AB的中點，求HD+HF的值.

該變式難度顯然上升了一個臺階，意在讓學生進一步掌握利用極端思想解題.

【環節四：方法指導】

數學教學并不是為了解決教材或練習冊上所呈現的一些問題而服務的，其更重要的任務是幫助學生獲得良好的解題方法. 當學生在解題過程中出現思維障礙時，教師應適時地給予引導. 如對于以上變式的探索，當學生茫然時，教師可作如下引導.

師：我們來觀察問題中的已知條件. AB與CD的長度已經確定，但三角形的形狀卻不能確定，當點H的位置發生變化時，HD與HF的長度也會跟著發生改變，因此……

生1：因此本題的結論是3，對不對？如圖5所示，若點D與點B重合，則點H與點B重合，由此可知HD+HF=0+HF=3.

教師的點撥，成功地啟發了學生的思維，不等教師過多解釋，生1的思路便獲得大部分學生的認可，但也有學生提出質疑. 此時，課堂的探究氛圍異常濃厚. 由此可見，當學生的思維卡殼時，教師可通過適當引導與點撥的方式啟發學生思考，并基于學習方法的指導，讓學生自主獲得解決問題的辦法.

【環節五：解決問題】

生1的解法看似有一定的道理，學生也特別贊賞這種解題策略，但所獲得的結論是否正確，還有待進一步考證. 同時，如何書寫整個求解過程，也是大部分學生的困惑所在.

為了答疑解惑，教師可緊扣題目中存在的明確的線段長度（定量）與圖形形狀（不定量），讓學生探尋特殊情況.

生2：生1說的是點D與點B重合的情況，那是否可以讓點D與點F重合呢？如圖6所示，HD+HF=2HD，那求出HD即可解決問題. 而△AHD∽△CBD，所以=，解得HD=. 所以HD+HF=2HD=3.

師：非常好，這也是特殊情況的一種，但是不是比之前的情況更具一般性呢？據此我們可以得到哪些普遍性的結論？

生3：我發現，不論點D在什么位置，△AHD∽△CBD這個結論始終成立.

師生共同探討后，獲得如下解題過程：

學生在環節四中所獲得的結論屬于猜想，若要完整地寫出解題過程，比較困難. 而本環節的設置，能有效地啟迪學生的思維，能讓學生獲得良好的解題思路.

【環節六：提煉升華】

師：通過以上探索，對于本題，大家還能提出更多的問題嗎？

生4：由△AHD∽△CBD，能得到HD·CD=AD·BD，其中AB為已知條件，若設AD=x，則HD·CD的值就是一個關于x的二次函數.

生5：那就是說題中CD=6這個條件可以忽略.

……

曾子曰：吾日三省吾身. 反思是提煉數學思想方法的重要過程，是促進學生各項能力成長的關鍵途徑. 當學生解決完問題后，教師要帶領學生再次回顧整個解題過程，對解題技巧、方法、經驗等進行總結歸納，從而深化學生對知識的認識，提高學生的解題能力.

對變式應用的思考

1. 教師層面

新課改背景下的數學教學，是能力立意的教學，需要以“雙減”政策為方向，讓學生在有限的時間里獲得最大限度的成長. 就題論題、題海戰術等教學策略不僅違背了新課標的教學理念，還嚴重消減了學生的學習興趣，實屬教學方法的下下之策，更談不上“減負增效”.

日常教學中，教師應做個有心人，養成搜集好題、精題、典型題的習慣，尤其是在各種大型考試中出現的一些好題，教師可將其作為教學的典范，以這些問題為藍本誕生出新的好問題，讓學生通過探索獲得問題的本質，并觸類旁通.

2. 學生層面

變式應用能有效地發散學生的思維，能讓學生學會從不同的角度觀察與分析問題，提高解題能力. 從以上變式應用的教學片段來看，原本需要耗費大量時間的問題，在極端思想的輔助下，能準確、高效地求解.

如上面教學片段中的環節四，在教師的適當引導下，學生順應教師的思維很快便探尋到了解決問題的突破口. 其實，教師在引導學生求解的時候并沒有從自己的思維起點出發，而是基于學生的思維起點，這樣便能讓學生產生認同感，從而順利獲得解題思路，并衍生出新的問題，使解題與新題環環相扣，永不停歇.

3. 評價層面

課堂評價是指在充分尊重學生的基礎上，以激勵為主的評價方式，其以發展學生的科學探索精神為主要目標. 因此，在教學過程中，教師應時刻關注學生的動態，對于學生的討論、交流、合作與思考模式等都要了如指掌，這樣才能針對性地給出客觀評價［2］.

以上教學片段，當學生思維受阻時，教師并沒有直接呈現解題方法，而是通過引導與點撥的方式讓學生自主發現并解決問題，獲得了較好的教學成效. 由此不難看出，教者只有客觀地理解學生存在的問題，才能緊扣問題本質，給予學生科學合理的指導與評價，從而為新問題的生成奠定基礎.

總之，培養學生的思考能力、協作能力與質疑精神是數學課堂教學的重要任務之一. 變式的應用是教育教學發展的大趨勢，是落實新課標、發散學生思維的重要途徑. 實踐證明，將變式靈活地應用在各種課型中，能有效地促進教學相長.

參考文獻：

［1］約翰·杜威. 哲學的改造［M］. 許崇清，譯. 北京：商務印書館，1958.

［2］沈木勇. “雙減”背景下提升初中數學課堂教學效益的策略［J］. 中學數學，2022（02）：91-93.