基于文化回應(yīng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)

程孝麗 張維忠

摘 要：基于文化回應(yīng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)，應(yīng)該設(shè)計文化關(guān)聯(lián)的教學(xué)情境，組織文化適切的課堂活動，引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷“歸納—猜想—證明—運用”的過程，讓學(xué)生在理解與掌握數(shù)學(xué)公式本身的同時，感受數(shù)學(xué)公式背后的文化意蘊。基于此，設(shè)計與實施《平方差公式》一課，主要包括三個環(huán)節(jié)：設(shè)置文化關(guān)聯(lián)的情境背景，初步感受數(shù)學(xué)公式與生活實際的緊密聯(lián)系；開展文化適切的合作探究，體驗數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與證明；指向文化體驗的公式應(yīng)用，生成對數(shù)學(xué)公式的文化性理解。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；文化回應(yīng)；數(shù)學(xué)公式教學(xué)；平方差公式

本文系浙江省教育科學(xué)規(guī)劃2023年度課題“新生代鄉(xiāng)村教師文化回應(yīng)教學(xué)能力結(jié)構(gòu)模型及培養(yǎng)研究”（編號：2023SCG373）的階段性研究成果。】

長期以來，數(shù)學(xué)公式教學(xué)普遍以“解題訓(xùn)練”為主，讓學(xué)生記憶冰冷的公式、進行機械的模仿，忽視知識背后的“來龍去脈”。這不僅難以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也容易造成學(xué)生陷入食而不化的學(xué)習(xí)困境。基于文化回應(yīng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)，應(yīng)該設(shè)計文化關(guān)聯(lián)的教學(xué)情境，組織文化適切的課堂活動，引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷“歸納—猜想—證明—運用”的過程，讓學(xué)生在理解與掌握數(shù)學(xué)公式本身的同時，感受數(shù)學(xué)公式背后的文化意蘊。這對于改善當(dāng)下的數(shù)學(xué)公式教學(xué)，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，具有重要意義。［1］本文展示一節(jié)基于文化回應(yīng)的數(shù)學(xué)公式課的教學(xué)與思考。

一、 教學(xué)思路

“平方差公式”是浙教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第3章《整式的乘除》第4節(jié)《乘法公式》第1課時的內(nèi)容。“整式的乘除”是進一步學(xué)習(xí)因式分解、分式及其運算等代數(shù)知識的重要基礎(chǔ)，且較為廣泛地運用于實際生活和生產(chǎn)中。“平方差公式”作為“乘法公式”的起始內(nèi)容，其“歸納—猜想—證明—運用”等學(xué)習(xí)思路與方法為“完全平方公式”“勾股定理”的學(xué)習(xí)奠定了方法論基礎(chǔ)。基于此，根據(jù)“文化回應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)”理念，《平方差公式》一課的教學(xué)思路如下：在情境導(dǎo)入、引出課題階段，以亞運會期間招待客人的本地特產(chǎn)——金華酥餅的包裝計重問題為背景，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)能夠給生活創(chuàng)造便利；在溫故知新、獲得公式階段，充分運用學(xué)生的已有知識與文化背景，從引入的“數(shù)”到一般化的“式”，以多項式乘法為基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，得出并理解平方差公式，然后引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言抽象概括公式的結(jié)構(gòu)特點并補充、修正，進而揭示平方差公式的本質(zhì)；在拼圖驗證、表征公式階段，通過幾何方法的證明，自然而然地引出中國古代的“出入相補原理”，組織學(xué)生采用小組合作、動手操作等形式加以驗證，從幾何的角度說明平方差公式的推導(dǎo)；在學(xué)以致用、深化理解階段，結(jié)合平方差公式在數(shù)學(xué)中的簡單運用、變式運用和在生產(chǎn)、生活中的實際運用設(shè)計教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生進一步感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

二、 教學(xué)設(shè)計與實施

下面重點對本節(jié)課核心教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計與實施進行說明。

環(huán)節(jié)1：設(shè)置文化關(guān)聯(lián)的情境背景，初步感受數(shù)學(xué)公式與生活實際的緊密聯(lián)系。

任務(wù)1：出示圖1、圖2。浙江金華是2023年杭州亞運會的分會場，作為東道主，你能給客人介紹一下我們金華的特產(chǎn)之一——金華酥餅嗎？

任務(wù)2：熱情的金華人民打算用酥餅招待遠道而來的客人。某酥餅店計劃制作一批禮盒裝。每盒有18個獨立包裝的小酥餅，每個小酥餅大約22克。請問：每個禮盒凈重大概多少克？

該環(huán)節(jié)的設(shè)置旨在通過生活中的數(shù)學(xué)巧算問題引出新課。緊跟“金華是2023年杭州亞運會的分會場，金華人民選取家喻戶曉的特產(chǎn)‘金華酥餅作為東道主的招待美食之一”這一時事，設(shè)置貼近學(xué)生生活的情境任務(wù)，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)能夠帶來生活便利，同時增強學(xué)生對家鄉(xiāng)的自豪感。教學(xué)中，通過“速算王”的“絕招”，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，自然地引出新課。

環(huán)節(jié)2：開展文化適切的合作探究，體驗數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與證明。

1. 發(fā)現(xiàn)公式，揭示本質(zhì)

任務(wù)3：（1） 現(xiàn)有兩個不知道大小的數(shù)，請你隨意用兩個字母表示這兩個數(shù)；（2） 請把這兩個數(shù)的和與差分別用字母表示；（3） 請將所得的和與差相乘并化簡。

學(xué)生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，然后請三名用不同字母表示和計算的學(xué)生上臺板演。結(jié)果如下：（1） （ｍ+ｎ）（m-n）=m2-mn+mn-n2=m2-ｎ2;（2） （x+y）（x-y）=x2-xy+xy-y2=x2-y2;（3） （p+q）（p-q）=p2-pq+pq-q2=p2-q2。

追問：觀察三位同學(xué)的運算結(jié)果，有什么相同之處？請你概括出這三個式子的共同結(jié)構(gòu)特征。

引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出“兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差”。

任務(wù)4：（出示圖3）觀察、思考平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，用自己的語言描述。

師生合作，共同揭示公式的結(jié)構(gòu)特征。

追問：下列變形的平方差公式正確嗎？說明理由。（1） （-a+b）（-a-b）=a2-b2；（2） （a-b）（-a-b）=b2-a2。

師生再次總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特征和字母a、b的代表性。

該環(huán)節(jié)的設(shè)置旨在引導(dǎo)學(xué)生歸納出平方差公式，揭示該公式的本質(zhì)特征。從課前引入的特殊的“數(shù)”到任務(wù)3中學(xué)生選取的不同的字母，符合初中生由數(shù)到式的認知特點；根據(jù)三位學(xué)生給出的式子，再次由特殊到一般，抽象概括出平方差公式。從文化回應(yīng)的角度來看，任務(wù)3使用學(xué)生的知識架構(gòu)與先前經(jīng)驗，使得數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的文化背景、已有經(jīng)驗建立起有意義的聯(lián)系，為后面的學(xué)習(xí)創(chuàng)造更深層次的環(huán)境。任務(wù)4中，學(xué)生的“土味”數(shù)學(xué)闡述表明不同文化背景的學(xué)生對公式特征的歸納存在一定的差異。教師在認可學(xué)生正確的描述后加以完善，用規(guī)范的文字語言和幾何語言高度概括，突破公式字母意義的局限，建立起有效的“條件反射”，而不是機械記憶。注重不同文化背景的學(xué)生數(shù)學(xué)語言的發(fā)展，也是“文化回應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)”的內(nèi)在要求。教師應(yīng)該積極回應(yīng)學(xué)生的對話：一方面給予肯定與鼓勵，一方面及時修正與補充。

2. 幾何驗證，表征公式

任務(wù)5：在邊長a米的大正方形紙板的一角挖掉一個邊長為b米的小正方形（如圖4），經(jīng)裁剪后拼成了一個大長方形（如圖5），問：（1） 你能分別表示出裁剪前后的紙板面積嗎？（2） 你能得到一個怎樣的結(jié)論？

學(xué)生通過圖形的剪拼驗證平方差公式之后，教師介紹中國古代的“出入相補原理”，讓學(xué)生初步體驗運用該原理處理面積問題的方法。

追問：若對圖4所示的紙板只剪一刀，除了裁剪成圖5所示的圖形，是否還可以裁剪成其他圖形來計算面積呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？請以小組為單位，動手操作完成。

學(xué)生小組合作完成之后，教師指名學(xué)生上臺展示，得到能拼出的圖形有矩形、梯形和平行四邊形（分別如圖6—下頁圖8所示），每個拼圖都滿足平方差公式。

該環(huán)節(jié)的設(shè)置旨在從幾何的角度驗證平方差公式，讓學(xué)生對該公式有全面、深入的理解。學(xué)生初次通過拼圖活動來驗證等式，缺乏相關(guān)的活動經(jīng)驗。因此，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生對“割補法”有直觀的感受，進而引入中國古代的“出入相補原理”，讓學(xué)生感知該方法的由來，感受中國古代數(shù)學(xué)的魅力。以此為“腳手架”，讓學(xué)生小組合作探究，以期達到發(fā)展學(xué)生思維，開闊學(xué)生思路的教學(xué)效果。教學(xué)中，學(xué)生探索的過程充分展示了學(xué)生自主建構(gòu)新知的過程，深刻體驗了出入相補原理。其中滲透的面積割、補、拼等重要的思想方法以及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，也為接下來的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

概而言之，以“用自己的語言表達平方差公式的特征”“小組合作、上臺展示幾何方法驗證平方差公式”等活動形式，為不同文化背景的學(xué)生提供了充分的參與和交流的機會；通過師生合作、組內(nèi)合作，讓學(xué)生自然而然地掌握了本節(jié)課的重點，突破了本節(jié)課的難點。

環(huán)節(jié)3：指向文化體驗的公式應(yīng)用，生成對數(shù)學(xué)公式的文化性理解。

任務(wù)6：出示金華體育館外觀照片。作為賽事場館之一的金華體育館為迎接亞運會的到來，對原來邊長為a m的正方形花壇進行改建，使其縱向縮小2 m，橫向擴大2 m，成為長方形花壇（如圖9），問：改建后花壇的面積有沒有變化？如果有變化，變化多少？

任務(wù)7：回顧任務(wù)2，分析能夠快速運算的技巧與方法。

任務(wù)8：已知兩個正數(shù)的和為20，積為96，求這兩個數(shù)。

能回答出來的學(xué)生基本上采用試根法湊答案。教師在認可“湊”的基礎(chǔ)上介紹丟番圖所采用的“和差術(shù)”。

追問：“和差術(shù)”設(shè)元的依據(jù)是什么？

該環(huán)節(jié)的設(shè)置旨在以舉一反三的方式考查學(xué)生對平方差公式的靈活運用。三個任務(wù)環(huán)環(huán)相扣。任務(wù)6和任務(wù)7基于任務(wù)1和任務(wù)2的亞運會情境，考查平方差公式在生產(chǎn)、生活中的實際運用。其中，任務(wù)7是對任務(wù)2的呼應(yīng)，在新知學(xué)習(xí)后再解決學(xué)習(xí)前的問題，能夠加深學(xué)生對平方差公式的印象，也能讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)公式的運用給生產(chǎn)、生活帶來的便利。任務(wù)8的設(shè)計基于任務(wù)7——均是數(shù)字計算中平方差公式的運用。特別地，在此引出丟番圖的“和差術(shù)”：假設(shè)所求兩數(shù)分別是10+x和10-x，則（10+x）（10-x）=96，由平方差公式得100-x2=96，x2=4，x=2，故所求兩數(shù)分別是12和8。讓學(xué)生重溫古人運用平方差公式解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)文化的多元性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一場文化體驗之旅，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)公式背后蘊含的文化意蘊，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)公式的文化性理解。［2］

三、 教學(xué)反思

（一） 設(shè)計文化關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注文化的多樣性

“文化回應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)”主張在文化、學(xué)生與數(shù)學(xué)之間尋找聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生在自身文化基礎(chǔ)上參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)的多元文化樣態(tài)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。因此，基于文化回應(yīng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)，需要設(shè)計文化關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注文化的多樣性。

一方面，重視與學(xué)生所處真實日常生活情境的關(guān)聯(lián)。《平方差公式》一課，任務(wù)1、任務(wù)2和任務(wù)6的素材，都是學(xué)生熟悉且引以為傲的金華特產(chǎn)或標(biāo)志性建筑。從貼近現(xiàn)實生活的情境入手，能拉近數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與學(xué)生之間的距離，改變數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中“冰冷”“乏味”“無用”的印象，有效調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。生活中，“樸素的數(shù)學(xué)”“街頭數(shù)學(xué)”比比皆是。相關(guān)的問題都可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)與生活之間建立有力的聯(lián)系。只有把學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解植根于學(xué)生的文化實踐中，才能真正讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力，成為生活中問題解決的貢獻者。

另一方面，重視與數(shù)學(xué)史的融合。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，若能有效地將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，則不僅能增加教學(xué)的趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且能幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)有更廣、更深的認識與理解。《平方差公式》一課，任務(wù)5引入的“出入相補原理”為學(xué)生從幾何角度驗證平方差公式提供了思考的方向與路徑。在動手操作的過程中，學(xué)生重走古人之路，體驗平方差公式的幾何論證。其中滲透的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想方法，對接下來的學(xué)習(xí)起著引領(lǐng)作用，產(chǎn)生觸類旁通的效果。任務(wù)8引入的“和差術(shù)”讓學(xué)生深刻體會到古人的智慧，理解西方文化熏陶下數(shù)學(xué)家的思維方式：盡管古人沒有用簡潔的字母表達公式，但這并不影響他們對平方差公式結(jié)構(gòu)與算理上的認識。這拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，豐富與完善了學(xué)生對平方差公式的理解。

（二） 創(chuàng)設(shè)權(quán)力共享的課堂模式，關(guān)注文化的再建構(gòu)

“文化回應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)”更加關(guān)注學(xué)生的課堂參與和認知發(fā)展，提倡為不同文化背景的學(xué)生提供公平而有質(zhì)量的學(xué)習(xí)機會，通過教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教材的交流與回應(yīng)，幫助學(xué)生建構(gòu)屬于自身文化的意義空間，以實現(xiàn)對數(shù)學(xué)的深度理解。

因此，基于文化回應(yīng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)，要秉持以學(xué)生為主體的理念設(shè)計各個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生有充分、公平的課堂參與機會。《平方差公式》一課，8個任務(wù)在兩個班的教學(xué)實踐中分別用了32分鐘和34分鐘，特別是任務(wù)4和任務(wù)5，兩個班差不多都用了10分鐘，目的是讓每一位學(xué)生都有較為充分的時間與教材、教師、同伴對話，開展數(shù)學(xué)交流，從而將本節(jié)課的重難點“平方差公式的探索與產(chǎn)生過程”“平方差公式的結(jié)構(gòu)特征”等數(shù)學(xué)知識，轉(zhuǎn)化為與學(xué)生自身文化相關(guān)的個體知識。

此外，在學(xué)生參與的過程中，教師還要積極回應(yīng)學(xué)生的表達。一方面，肯定學(xué)生正確的回答，讓學(xué)生獲得成就感，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心；另一方面，關(guān)注學(xué)生在回答中暴露出來的問題，給予針對性的修正與補充。《平方差公式》一課，完成任務(wù)4的過程中，學(xué)生用自己的語言歸納平方差公式的結(jié)構(gòu)特征時，會存在表達只有自己明白或描述不完整等情況。這表明，學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)語言面臨困難。這時，教師用規(guī)范的文字語言和幾何語言做高度概括，讓學(xué)生通過與自己表述的融合再建構(gòu)，實現(xiàn)對平方差公式的結(jié)構(gòu)特征的深入理解。

參考文獻：

［1］ 孫道斌.例談數(shù)學(xué)公式課的教學(xué)［J］.山東教育，2013（21/22）：62-64.

［2］ 張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化［M］.上海：上海教育出版社，2011：218.