高等數(shù)學教學中學科融合的一些思考
——高等數(shù)學與工程制圖教學的結(jié)合

韓華

(天津理工大學理學院,天津 300382)

隨著科學技術(shù)的迅速發(fā)展和計算機技術(shù)的廣泛應(yīng)用，數(shù)學的思想、方法以及技術(shù)在自然科學、工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且已經(jīng)廣泛深入到經(jīng)濟學、管理學以及社會學等各個相關(guān)領(lǐng)域。大學生也需要在高等數(shù)學的學習中獲得更豐富、更有用的現(xiàn)代數(shù)學知識，提升運用數(shù)學工具和技術(shù)的能力，以適應(yīng)現(xiàn)代社會的發(fā)展。高等數(shù)學是本科生學習階段的一門必修課，高等數(shù)學課程的學習質(zhì)量是本科生學習水平的一個重要標志，也是學生由中學階段向大學階段角色轉(zhuǎn)換過程中遇到的第一塊試金石。所以，教師和學生之間互相配合、教學相長，是提高學生學習的積極性和提升教師的教學水平的雙贏策略。

高等數(shù)學課程中所學習到的微積分知識，是理工科學生的專業(yè)課學習階段的重要工具，也為相關(guān)課程的開展提供了專業(yè)的知識儲備，所以理工科學生的高等數(shù)學學習顯得尤為重要。但是我們始終認為，大學數(shù)學的教育目標不應(yīng)該僅僅是為學生專業(yè)課的學習提供理論基礎(chǔ)，在教學的過程中更重要的是引導學生接受數(shù)學文化的熏陶，學會一種理性的思維模式。在其腦海中搭建一座橋梁，把所學的知識在思想中融合，做到融會貫通，游刃有余。

本科生第二學期的高等數(shù)學教學，涉及重積分的計算以及曲線曲面積分的計算。這是高等數(shù)學教學的重點也是難點，是理工科學生后續(xù)學習必須具備的基本計算能力。但是，大部分的學生并沒有相關(guān)的繪圖基礎(chǔ)，沒有辦法具體地刻畫出相關(guān)的三維圖形。這使得三重積分以及曲面積分的計算中，向相關(guān)平面的投影圖形的形狀難以理解，導致后續(xù)的計算無法進行。所以在教學過程中，我們嘗試利用各種工具來幫助學生畫好三維圖形，這樣可以更直觀、更深刻地理解投影到某個面上的投影區(qū)域的劃定，也能夠幫助學生更好地學習曲面積分的知識。

事實上，在工科專業(yè)學生的教學中，對三維圖形的描繪，學生反而顯得尤為感興趣，在了解到他們上個學期的工程制圖課程也涉及三維制圖后，筆者在教學設(shè)計里，由一道習題引入，將高等數(shù)學和工程制圖的教學相結(jié)合，激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生對相應(yīng)內(nèi)容的理解更加深刻，也體現(xiàn)了當前多學科交叉融合的教學特點。

一、問題的引入

第一類曲面積分的運算，主要涉及以下內(nèi)容，設(shè)積分曲面Σ 由方程z=z(x，y)給出，Σ 在xOy面上的投影區(qū)域為，函數(shù)在上具有連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù)f(x，y，z)在Σ 上連續(xù)。則由分析可得

這樣就把對面積的曲面積分化為了向坐標平面xOy投影下的二重積分。同樣，若曲面Σ 由x=x（y，z）方程或y=y（z，x）給出，我們也可以類似地把對面積的曲面積分化為向坐標平面yOz或者zOx投影下的二重積分進行相應(yīng)計算，公式分別為：

顯然，如何確定向各個平面投影的函數(shù)圖像是曲面積分求解問題的關(guān)鍵，在遇到第一類曲面積分時，如何確定向哪個平面投影也是學生糾結(jié)的問題。

二、問題過程分析

這道題求解并不困難，但是由于錐面被曲面切割部分的具體形狀比較難以想象，學生在具體的求解過程中產(chǎn)生了疑問。對于該問題，課后習題給出的標準答案是向xOy平面做投影，如圖1所示，Σ 在xOy面上的投影區(qū)域為圓形區(qū)域，由計算曲面積分公式：

圖1 投影圖

在教學過程中，學生對這個圖形非常感興趣，經(jīng)過課堂討論，學生產(chǎn)生了以下的疑問：

第一，向xOy平面投影，投影區(qū)域就是一個圓，能否把這個具體的投影過程用3D圖像刻畫出來？

第二，分別向xOz，以及yOz平面投影，對應(yīng)的投影區(qū)域是什么樣子的，又如何計算？計算過程相比較是不是會更簡單？

由于材料工程類專業(yè)的學生在專業(yè)基礎(chǔ)課學習“現(xiàn)代工程圖學”課程中，該課程主要教授學生研究繪制和閱讀工程圖樣的原理和方法，而這些是工科學生必備的表達和交流工程技術(shù)思想的重要工具。該課程對現(xiàn)代流行的經(jīng)典計算機繪圖軟件AutoCAD有了一些了解，學生很快利用CAD制圖將立體圖形畫出，如圖2所示。這個圖形能夠直觀地看到兩個曲面的交線，學生能夠通過自己的相關(guān)專業(yè)知識來解決數(shù)學問題。由于要分別向三個坐標平面投影，如果三維圖形能夠更直觀地演示出投影區(qū)域，將更容易幫助計算。作為課外作業(yè)，學生也饒有興趣地去尋找相關(guān)的作圖軟件，并得到了想要的效果[1-3]。

圖2 Auto 作圖

通過查閱資料，學生發(fā)現(xiàn)了一款非常好用的3D繪圖軟件GeoGebra，這是一款非常實用的數(shù)學作圖軟件。在中小學教學中廣泛使用，可以用來幾何作圖、函數(shù)繪圖、代數(shù)演算等。在課堂演示教學，課后作業(yè)的完成中起到了很好的作用，使得教學過程更立體、更生動并富有啟發(fā)性，讓學生印象深刻，理解更到位，在方便學生的同時，也提升了教師的工作效率。

對我們來說，這款軟件最大的優(yōu)點就是可以動態(tài)地展示各類立體幾何圖像，無論圖像位于哪個平面，都可以直觀地觀看，并且可以逐步展示投影的過程，讓學生的思維豁然開朗。在簡單學習這個軟件的基本應(yīng)用后，學生直觀地得到了曲面Σ 的3D圖像，如圖3所示。

圖3 GeoGebra 繪制的3D 圖形

接下來，通過將該3D圖像進行旋轉(zhuǎn)，我們得到了該曲面分別向三個坐標平面上的投影區(qū)域，如圖4，圖5所示，并利用這些圖形給出了分別向xOz，以及yOz平面投的計算過程。向xOz面投影的計算過程：

圖4 向xOz 面投影圖像

圖5 向yOz 平投影圖像

從這個圖像上很明顯看得出對稱關(guān)系，我們只需要計算在第一象限里的投影，最后取2倍即可（題目只有上半部分的圖像）。計算過程如下：

向yOz面投影的計算過程：

這個計算也涉及到了對稱性，同樣我們可以只求第一象限再取2倍。這個計算主要麻煩在投影區(qū)域邊界方程稍微復雜一點，學生在求解二重積分時需要的計算量大一些。主要計算過程如下：

在分析和演算的過程中，學生也發(fā)現(xiàn)了，向每個平面投影的計算復雜度都有差別。特別是第三個向yOz平面的投影，計算的復雜程度很大，計算也用到了較多的定積分求解技巧，稍有不慎，整個過程就需要從頭演算。對于這道題來說，向xOy平面投影的計算是最簡單的。

在學生對兩個軟件都熟悉后，我們把整節(jié)課的相關(guān)圖形，都用AutoCAD和GeoGebra做了刻畫。特別是GeoGebra的使用，使得學生更加樂意去嘗試向不同的平面去做投影，進一步地發(fā)現(xiàn)向哪個平面的投影計算更加簡單，學會了第一類曲面積分的一個計算技巧，理解了第一類曲面積分的意義。這節(jié)課的教學內(nèi)容本來是高等數(shù)學教學中的一個難點，對于三維圖形的空間想象力的限制，使得學生理解和計算上都存在著困難。但是機緣巧合的我們找到了學生的一個興趣點，將整節(jié)課的教學內(nèi)容加以拓展，使整個課堂對學生的吸引力更大，內(nèi)容更加充實豐富，學生獲益良多。

三、主要思想總結(jié)

這道題目的選取其實非常合適，既讓學生了解了向不同平面投影的區(qū)別，又在整個計算過程中訓練了學生的水平，并且對之前定積分的不同類型的計算做了復習。讓學生直觀了解了曲面積分和二重積分的區(qū)別和聯(lián)系，為進一步地講解第二類曲面積分，以及兩類曲面積分之間的關(guān)系做了很好的鋪墊。

關(guān)于多重積分的學習，一直是高等數(shù)學教學過程中的重點和難點，由于所學知識的限制，學生往往在解答過程中遇到很大的困難。如何在教學設(shè)計上增加學生感興趣的知識點，使學生學習更積極主動，是重積分教學中教師著重考慮的內(nèi)容。我們曾試圖拉長教學時間，增加習題課時，這起到了一定的效果，能夠幫助一部分學生理解。但是這次通過和學生的專業(yè)課內(nèi)容相結(jié)合，讓學生去探討去發(fā)現(xiàn)，顯然收效更好。這也使我們作為教育者更加理解了“因材施教”的意義。通過該問題的分析和講解，學生一方面加深了對曲面積分的理解，對于曲面積分向各個平面投影會遇到的困難和如何選取最優(yōu)解法有了進一步的認識；另一方面，學生一直理解學微積分是為了后續(xù)專業(yè)課的相關(guān)計算做基礎(chǔ)，但是通過這次課程，學生發(fā)現(xiàn)，專業(yè)課學到的知識同樣也可以用到微積分的學習中，幫助他們?nèi)デ蠼庀嚓P(guān)習題，這也使得學生理解了學科之間相輔相成的關(guān)系。

四、教學能力的提升

數(shù)學的學習，對于工科的學生非常重要，但是學生往往不知道所學的專業(yè)知識如何來輔助學習高等數(shù)學。在上述問題的分析過程中，學生對高等數(shù)學的學習有了極大的熱情，利用相關(guān)的工程制圖知識，提高了高等數(shù)學相關(guān)知識的學習高度。這也是高等院校中多學科交叉融合的一個非常好的實例，讓學生學以致用，在日常的學習中提升個人的學習能力。在這節(jié)課之后，我們和學生討論了他們學習的工程制圖課程所學習的內(nèi)容，請學生來幫助我們做教學準備，看有哪些地方是可以和他們所學的專業(yè)課程相結(jié)合。這樣既讓學生有了自主學習的動力，在課堂上又達到了很好的教學效果，這一章結(jié)束的期中階段性水平測驗時，學生的解題能力都有了不同程度的提高。這也使得我們在教學設(shè)計時有了以下的經(jīng)驗總結(jié)，并做了相關(guān)的一些假設(shè)，準備加以實施，進一步地去學習和促進學科融合，讓學生的數(shù)學學習有一些樂趣。

第一，切實做到因材施教，學生的專業(yè)不同，大多數(shù)的理工科學生都有高等數(shù)學、線性代數(shù)以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計等幾門數(shù)學課程，穿插在前兩年的大學學習中去完成。對于不同專業(yè)的學生，我們想在下一步的教學中，適當增加與相關(guān)專業(yè)教師的交流。因為所學專業(yè)不同，不同學院之間的教師之間交流機會比較少，借助于相關(guān)數(shù)學課程的教學，增加和相關(guān)學院教師的交流機會，既能夠了解到這些專業(yè)后續(xù)課程的學習需要哪些知識，又能做到因材施教，在這些內(nèi)容上著重講解，為后續(xù)課程的開展打好基礎(chǔ)[4-5]。

第二，通過和學生以及相關(guān)教師的交流，探討學科融合的一些契機，找到學科交叉的點，既是幫助學生學習水平的提高，也是我們科研交流的一個好的機會。從基礎(chǔ)著手，增加自身的學識水平和專業(yè)知識，拓展專業(yè)內(nèi)容，知識的碰撞總能擦出意想不到的火花，教學相長也為教師教學水平和科研能力的提升提供了好的平臺。

第三，細化學生的學習內(nèi)容，由于高等數(shù)學是理工科學生的必修課，市場上相關(guān)的輔導材料紛繁雜亂，學生做起來沒有頭緒。根據(jù)我校學生的專業(yè)分布，我們準備在教學過程中去尋找適合相關(guān)專業(yè)學生學習的習題，結(jié)合學生的專業(yè)特色以及招收水平，編纂對應(yīng)難度的習題，輔助學生及時復習。我們準備組建教學組，進行分工，集合專業(yè)教師的能力，去推動這項工作的進行，通過實踐實時反饋不斷改進。如果這項工作能夠做到相對滿意的結(jié)果，對學生的培養(yǎng)應(yīng)該是大有益處的。

習近平總書記在黨的二十大報告中指出，要建立全民終身學習的學習型社會，學習型大國。而終身學習是在更好地適應(yīng)經(jīng)濟社會全面發(fā)展的基礎(chǔ)上不斷學習，不斷進步。高等學校的教育更是如此，要做到與時俱進，教師要根據(jù)時代的進步，人民生活環(huán)境的不斷改善來實時地提高自己的教學能力，提升自己的教學水平，不能一成不變，不可故步自封。與不同專業(yè)的人才之間的交流，以及網(wǎng)絡(luò)資源的充分利用，都是實現(xiàn)終身學習的有效途徑。而正如陶行知先生所說，只有好學，才是終身進步之保險，也是常青不老之保證。作為高校教師，我們只有保持終身學習，才能成為一名合格的新時代教育工作者，才能培養(yǎng)好社會主義的建設(shè)者和接班人。