一種多階段對(duì)抗博弈的合成火力分配方法

王春光,許 樂,蔡立言,徐 勇

(1. 31002部隊(duì), 北京 100041; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 廣東 深圳 518055)

0 引言

火力分配[1-4]是交戰(zhàn)對(duì)抗規(guī)劃的經(jīng)典內(nèi)容之一。根據(jù)敵我雙方兵力兵器的相互作戰(zhàn)效能,優(yōu)化兵力分配和火力分配,可以在消滅敵人的同時(shí)最大限度地保存自己。隨著世界各國(guó)的作戰(zhàn)裝備類型增多,部隊(duì)單位的合成化日益增強(qiáng),不同裝備之間的作戰(zhàn)機(jī)理和毀傷效能復(fù)雜多樣,如何智能化地根據(jù)作戰(zhàn)場(chǎng)景進(jìn)行兵力調(diào)度和火力分配,成為各級(jí)指戰(zhàn)員的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。近年來,美國(guó)著名智庫(kù)戰(zhàn)略與預(yù)算評(píng)估中心提出的“決策中心戰(zhàn)”已成為美軍智能化戰(zhàn)爭(zhēng)設(shè)計(jì)的一個(gè)風(fēng)向標(biāo)。俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)已顯現(xiàn)出智能化戰(zhàn)爭(zhēng)的端倪。烏方結(jié)合GIS Arta系統(tǒng)[5],基于火力部署和定位技術(shù),在識(shí)別和定位俄軍目標(biāo)的基礎(chǔ)上,能迅速選擇射程內(nèi)的作戰(zhàn)力量進(jìn)行合成火力分配和打擊,給俄軍造成了較大傷亡。因此,智能化的兵力分配和火力分配對(duì)于戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利至關(guān)重要。

基于以上背景和動(dòng)機(jī),以典型合成作戰(zhàn)為例,開展對(duì)抗策略設(shè)計(jì)及建模,研究合成火力分配算法。合成火力分配的核心是在對(duì)多兵力綜合對(duì)戰(zhàn)能力的基礎(chǔ)上,進(jìn)行合理的火力(兵力)的組合式配置?，F(xiàn)有的合成火力(兵力)分配方法主要包括啟發(fā)式方法和精確算法。啟發(fā)式方法通過簡(jiǎn)單的規(guī)則、經(jīng)驗(yàn)或者啟示,以期望得到一個(gè)近似最優(yōu)解。例如,馬也等[6]提出了一種深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的自適應(yīng)遺傳算法,用于無人機(jī)群兵力分配問題。王君等[7]提出將遺傳算法用于兵力分配問題,實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。潘偉[8]提出了一種面向雷達(dá)干擾系統(tǒng)兵力分配問題的自適應(yīng)遺傳算法。曹鑫等[9]提出了一種免疫遺傳算法,并用于海上編隊(duì)雷達(dá)網(wǎng)干擾問題。溫包謙等[10]提出了一種針對(duì)末端防御兵力分配問題的PSO-GA混合算法,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。路建偉等[11]提出了一種面向空襲兵力分配優(yōu)化問題的遺傳模擬退火算法。總的來說,啟發(fā)式算法可以在一定程度上解決大規(guī)模問題,但其存在早收斂和易陷入局部最優(yōu)等問題,導(dǎo)致兵力分配不合理。

精確方法是一類能求得最優(yōu)解的算法,其將兵力分配中的整數(shù)條件進(jìn)行松弛,改變問題的搜索空間,同時(shí)采用不同的搜索策略以節(jié)省計(jì)算量,并借助線性規(guī)劃理論基礎(chǔ),提升解的質(zhì)量,逐步找到問題的最優(yōu)解。例如,路建偉等[11]使用了多目標(biāo)數(shù)學(xué)線性規(guī)劃方法求解空襲兵力分配問題。陳向勇等[12-13]使用了Lanchester方程理論的非線性整數(shù)規(guī)劃方法求解兵力分配問題。高尚[14]提出了一種關(guān)于兵力分配的線性規(guī)劃方法。王金山等[15]利用了分支定界法求解特拉法爾加海戰(zhàn)案例的兵力分配問題。總的來說,精確方法能給出全局最優(yōu)解,且求出的解質(zhì)量較高,但是時(shí)間復(fù)雜度較高,其時(shí)間開銷為指數(shù)級(jí)。

合成火力分配方法與策略也被廣泛用于戰(zhàn)爭(zhēng)模擬場(chǎng)景。相應(yīng)方法主要分為3類:1)由隨機(jī)算法[16]決定戰(zhàn)斗目標(biāo),雙方隨機(jī)選擇敵方目標(biāo)并派兵力進(jìn)行戰(zhàn)斗;2)集中全部力量去打敗敵方,但僅考慮敵方損失最大化,未考慮自身?yè)p失;3)集中全部力量去打敗敵方并考慮自身?yè)p失,但將敵方單位威脅程度視為均等,并未考慮敵方的優(yōu)先級(jí)程度,導(dǎo)致作戰(zhàn)失敗。因此,僅僅依靠隨機(jī)算法或簡(jiǎn)單判斷雙方兵力損失程度無法最優(yōu)地規(guī)劃作戰(zhàn)方案。正確的模型和算法既應(yīng)考慮最大化敵方損失,還應(yīng)考慮敵方的優(yōu)先級(jí)程度以及最小化自身?yè)p失。此外,實(shí)際的多輪次對(duì)戰(zhàn)中,還應(yīng)考慮到多輪戰(zhàn)斗中戰(zhàn)力的逐次合理化投入。例如,在穩(wěn)中求進(jìn)地消耗對(duì)方戰(zhàn)力的同時(shí),應(yīng)逐漸拉大對(duì)方的戰(zhàn)力差距直至完全消滅對(duì)方,此方法為一個(gè)較優(yōu)的兵力分配方法[17-18]。

綜上所述,通過對(duì)合成單位的火力分配方法和數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)進(jìn)行分析,針對(duì)性地提出了一種新的回合制對(duì)抗策略及博弈模型,并進(jìn)行了求解算法的對(duì)比分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本研究的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:

1) 首先,針對(duì)性地設(shè)計(jì)了一種新的回合制對(duì)抗策略及博弈模型。以回合制戰(zhàn)爭(zhēng)策略為例,考慮特定環(huán)境下的某一戰(zhàn)場(chǎng)中,紅方首先對(duì)兵力進(jìn)行部署,隨后派出兵力對(duì)藍(lán)方進(jìn)攻。在建模過程中考慮到了最大化藍(lán)方損失,且最小化藍(lán)方反擊時(shí)對(duì)紅方造成的損失。同時(shí)還對(duì)藍(lán)方的不同兵力引入了權(quán)重系數(shù)來表示藍(lán)方不同兵力的優(yōu)先打擊程度。其值越高表示該藍(lán)方兵力越應(yīng)該被重點(diǎn)打擊。譬如,藍(lán)方擁有對(duì)紅方威脅大的兵力或者藍(lán)方中殺傷力強(qiáng)的兵力均應(yīng)被列為重點(diǎn)打擊對(duì)象。

2) 其次,由于紅方和藍(lán)方每次交戰(zhàn)時(shí),應(yīng)盡可能最大化藍(lán)方損失并最小化紅方自身的損失。這2個(gè)目標(biāo)互相矛盾,為綜合考慮兩目標(biāo)的重要程度,首次引入超參數(shù)αk(αk≥0)來衡量第k輪交戰(zhàn)中紅方自身的損失敏感程度。超參數(shù)的值越小說明對(duì)自身?yè)p失越不敏感,紅方在戰(zhàn)術(shù)上更加激進(jìn),即派出大量兵力進(jìn)行交戰(zhàn);超參數(shù)的值越大說明對(duì)自身?yè)p失越敏感,紅方在戰(zhàn)術(shù)上更加保守,即派出少量兵力進(jìn)行交戰(zhàn)。

3) 最后,將策略與問題歸納為一個(gè)巧妙的整數(shù)線性規(guī)劃問題模型,并針對(duì)性地設(shè)計(jì)了關(guān)于該NP-Complete 問題的分支定價(jià)方法。實(shí)驗(yàn)測(cè)試中不僅可以得到精確解,而且實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有很好的可解釋性。

1 問題描述與模型的建立

1.1 問題描述

以回合制戰(zhàn)斗對(duì)抗策略為例,考慮在特定環(huán)境下的某一戰(zhàn)場(chǎng),紅方首先進(jìn)行兵力的部署,隨后派出兵力進(jìn)攻藍(lán)方。不同的兵力具有不同的作戰(zhàn)能力,并且存在克制與被克制的關(guān)系。對(duì)抗中不考慮戰(zhàn)爭(zhēng)迷霧,即雙方的配置完全透明。在發(fā)動(dòng)進(jìn)攻時(shí),紅方可以根據(jù)藍(lán)方兵力的權(quán)重值進(jìn)行打擊,權(quán)重值越高代表該藍(lán)方兵力越應(yīng)該被重點(diǎn)打擊。在每一輪進(jìn)攻結(jié)束后,紅方會(huì)對(duì)藍(lán)方造成一定的兵力損失,但也會(huì)受到藍(lán)方的反擊,隨后紅方將根據(jù)實(shí)際情況重新規(guī)劃進(jìn)攻目標(biāo)并再次發(fā)起進(jìn)攻,如此反復(fù)直到藍(lán)方兵力被全部消滅。

1.2 模型建立

假設(shè)紅方擁有m類兵力,記為RG1,RG2,…,RGm,每類兵力對(duì)應(yīng)的數(shù)量分別為X1,X2,…,Xm;藍(lán)方擁有n類兵力,記為BG1,BG2,…,BGn,每類兵力對(duì)應(yīng)的數(shù)量分別為Y1,Y2,…,Yn。定義紅方對(duì)藍(lán)方的戰(zhàn)斗格局為二元組(R,B),滿足:

R=(rij)m×n

(1)

B=(bij)m×n

(2)

式中,rij表示在交戰(zhàn)過程中紅方兵力RGi對(duì)藍(lán)方兵力BGj的殺傷力,即每個(gè)單位的紅方兵力RGi可以造成藍(lán)方rij個(gè)BGj的損失。同理,在交戰(zhàn)過程中紅方兵力受到藍(lán)方的反擊,bij表示在交戰(zhàn)中藍(lán)方兵力BGj對(duì)紅方兵力RGi的殺傷力。在每一輪交戰(zhàn)中,定義戰(zhàn)斗規(guī)劃矩陣:

X=(xij)m×n

(3)

式中,xij表示紅方派出的對(duì)藍(lán)方兵力BGj進(jìn)行攻擊的兵力RGi的單位數(shù)量。紅方派出的兵力個(gè)體不可超過部署后的可用兵力池限制,即有:

同時(shí),為避免紅方派出過量兵力造成資源浪費(fèi),設(shè)定一個(gè)限制最大打擊效能的超參數(shù)β(β>1),限定紅方只能派出比恰好完成打擊目標(biāo)數(shù)量的β倍數(shù)量的兵力進(jìn)行打擊:

如前文所述,紅藍(lán)兩方會(huì)有多次沖突。在確定每次作戰(zhàn)規(guī)劃方案時(shí),應(yīng)盡可能最大化藍(lán)方損失和最小化紅方損失。顯而易見的是,這兩個(gè)目標(biāo)互相矛盾,當(dāng)己方派出的戰(zhàn)力資源更多時(shí),對(duì)方的損失會(huì)更大,但同時(shí)己方遭受的戰(zhàn)斗損失也會(huì)增大。此外,在真實(shí)的戰(zhàn)爭(zhēng)場(chǎng)景中,任務(wù)的執(zhí)行需要一定時(shí)間,當(dāng)派出過多的戰(zhàn)力資源后,在對(duì)方突襲的情況下,己方可能存在所剩戰(zhàn)力資源難以應(yīng)對(duì)的情況。

為了綜合考慮上述情況,紅方引入對(duì)自身的損失敏感程度概念,并用超參數(shù)αk衡量第k輪交戰(zhàn)中紅方對(duì)自身的損失敏感程度。其值越小說明對(duì)損失越不敏感,即在戰(zhàn)術(shù)上更加激進(jìn);其值越大說明對(duì)于損失越敏感,在戰(zhàn)術(shù)上更加保守。

經(jīng)過加權(quán)后,紅方兵力可以針對(duì)不同的藍(lán)方目標(biāo)進(jìn)行不同優(yōu)先度打擊。在計(jì)算藍(lán)方權(quán)重時(shí),應(yīng)當(dāng)考慮該藍(lán)方兵力的殺傷效能,以及紅方使用各種兵力進(jìn)行打擊時(shí)受到的反擊效能。采用如下公式計(jì)算參數(shù)wj:

綜合以上的目標(biāo)函數(shù)和約束條件,可以將回合制戰(zhàn)爭(zhēng)策略場(chǎng)景中單輪戰(zhàn)斗的兵力規(guī)劃模型表述為:

同理,對(duì)于紅方的兵力RGi,其初始數(shù)量為Xi,更新公式為:

更新完畢后,規(guī)劃第二次交戰(zhàn)問題P2的行動(dòng)方案,其數(shù)學(xué)建模與上述建模一致,但相關(guān)參數(shù)Xi,Yj已經(jīng)改變。若第二次交戰(zhàn)發(fā)生前交戰(zhàn)環(huán)境也有所改變,則對(duì)效用參數(shù)rij,bij也進(jìn)行更新。第二次交戰(zhàn)以后,再次更新系數(shù)。后續(xù)交戰(zhàn)中的參數(shù)推演和作戰(zhàn)規(guī)劃以此類推,直到藍(lán)方兵力被全部殲滅或達(dá)到最大沖突次數(shù)K。

2 算法設(shè)計(jì)

所述數(shù)學(xué)模型是一類單目標(biāo)最大化的整數(shù)線性規(guī)劃模型,其目標(biāo)是在線性約束下將一個(gè)線性目標(biāo)最大化,且全部決策變量只能取整數(shù)值。不難證明該問題在復(fù)雜度理論下是一個(gè)NP-Complete問題[19]。針對(duì)這一問題,采用分支定價(jià)法來求解該數(shù)學(xué)模型。在決策變量為萬級(jí)以下時(shí),分支定價(jià)法能在分鐘級(jí)或小時(shí)級(jí)的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出一個(gè)精確解,該算法由分支定界法和列生成法[20]組成,且適用于求解大規(guī)模整數(shù)規(guī)劃問題[21]。分支定價(jià)法的原理:由內(nèi)外兩層組成,首先使用外層的分支定界法將搜索樹上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的整數(shù)規(guī)劃問題松弛為線性規(guī)劃問題,并對(duì)出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)解進(jìn)行分支搜索;其次采用內(nèi)層的列生成法求解定價(jià)子問題,從而生成針對(duì)當(dāng)前線性松弛解主問題的新列,進(jìn)而求解當(dāng)前線性松弛問題。分支定價(jià)法的求解步驟如下:

步驟3：節(jié)點(diǎn)終止條件1 若松弛問題MPk無解,則終止對(duì)節(jié)點(diǎn)Pk搜索,令k←k+1,并轉(zhuǎn)到步驟1。

步驟6：分支選擇分支變量,創(chuàng)建兩個(gè)新的活躍節(jié)點(diǎn)Pj+1和Pj+2,構(gòu)建Pj+1和Pj+2對(duì)應(yīng)的Dantzig-Wolfe分解模型的松弛問題,令

Sk←Sk∪{Pj+1,Pj+2},j←j+1,k←k+1

并轉(zhuǎn)步驟1。分支定價(jià)法的執(zhí)行流程如圖1所示。

圖1 分支定價(jià)法的執(zhí)行流程

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與結(jié)果分析

為驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型和算法的可行性,首先對(duì)超參數(shù)αk進(jìn)行測(cè)試;其次,將遺傳算法和分支定價(jià)法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),還基于紅藍(lán)雙方力量分析對(duì)損失敏感程度進(jìn)行自動(dòng)設(shè)置的測(cè)試;最后,對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行驗(yàn)證分析,進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性。

3.1 數(shù)據(jù)集介紹

表1 紅藍(lán)雙方的兵力類型、數(shù)量及權(quán)重

表2 紅方兵力對(duì)藍(lán)方兵力的殺傷力

表3 藍(lán)方兵力對(duì)紅方兵力的殺傷力

表4 紅藍(lán)雙方的兵力類型、數(shù)量及權(quán)重

表5 紅方兵力對(duì)藍(lán)方兵力的殺傷力

表6 藍(lán)方兵力對(duì)紅方兵力的殺傷力

3.2 超參數(shù)αk的測(cè)試

為對(duì)超參數(shù)αk進(jìn)行測(cè)試,此處將其分為兩組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試:

1) 在戰(zhàn)斗開始時(shí),αk的值較大,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用保守策略,即派出少量兵力進(jìn)行交戰(zhàn);隨著交戰(zhàn)的進(jìn)行,αk的值變小,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用激進(jìn)策略,即派出大量兵力進(jìn)行交戰(zhàn),直至消滅藍(lán)方全部兵力。其更新公式為:αk=αk×0.5(初始值α1=2,也就是第一次交戰(zhàn)時(shí)的初始值,k為交戰(zhàn)次數(shù)),如第1次交戰(zhàn)時(shí),α1=2,其值較大,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用保守策略;第6次交戰(zhàn)時(shí),α6=0.062 5,其值較小,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用激進(jìn)策略。

2) 在戰(zhàn)斗開始時(shí),αk的值較小,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用激進(jìn)策略,即派出大量兵力進(jìn)行交戰(zhàn);隨著交戰(zhàn)的進(jìn)行,αk的值變大,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用保守策略,即派出少量兵力進(jìn)行交戰(zhàn)。其更新公式為:αk=0.3×k(k為交戰(zhàn)次數(shù)),如第1次交戰(zhàn)時(shí),α1=0.3,其值較小,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用激進(jìn)策略;第10次交戰(zhàn)時(shí),α10=3,其值較大,紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用保守策略。

使用分支定價(jià)法結(jié)合數(shù)據(jù)集1對(duì)兩組不同的超參數(shù)αk進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試(最大交戰(zhàn)次數(shù)設(shè)為25次)。圖2和圖3分別為分支定價(jià)法在兩組測(cè)試中紅方和藍(lán)方在每次交戰(zhàn)中的總兵力變化趨勢(shì)。如圖2所示,隨著交戰(zhàn)次數(shù)的增加,此時(shí)超參數(shù)αk逐漸減小,紅方逐漸采取激進(jìn)策略對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊,即紅方逐漸派出大量兵力對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊,當(dāng)進(jìn)行至第4次交戰(zhàn)時(shí),藍(lán)方兵力被全部消滅。故第一組測(cè)試實(shí)現(xiàn)了在戰(zhàn)斗開始時(shí)紅方采用保守策略對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊,隨著交戰(zhàn)的進(jìn)行,紅方采用激進(jìn)策略對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊。如圖3所示,隨著交戰(zhàn)次數(shù)的增加,此時(shí)超參數(shù)αk逐漸增大,紅方逐漸采取保守策略對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊,即紅方派出少量兵力對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊,如在第3次交戰(zhàn)以后,紅藍(lán)雙方的總兵力不在明顯變化,說明紅方采取保守策略,即派出少量兵力對(duì)藍(lán)方進(jìn)行打擊。

圖2 每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)兵力的變化趨勢(shì)(第一組)

圖3 每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)兵力的變化趨勢(shì)(第二組)

3.3 模型與算法的驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證所提出模型和算法的可行性,使用遺傳算法和分支定價(jià)法在數(shù)據(jù)集1和數(shù)據(jù)集2進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試(最大交戰(zhàn)次數(shù)設(shè)為25次,每種算法分別進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn))。實(shí)驗(yàn)參數(shù)c1為1,c2為30。同時(shí),通過第3.2節(jié)對(duì)超參數(shù)αk的測(cè)試,此處采用公式αk=αk×0.5(初始值α1=2)對(duì)超參數(shù)αk進(jìn)行更新,即在戰(zhàn)斗開始時(shí)紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用保守策略,隨著交戰(zhàn)次數(shù)增加,此時(shí)紅方在戰(zhàn)術(shù)上采用激進(jìn)策略。數(shù)據(jù)集1測(cè)試結(jié)果說明:圖2和圖4分別為2種算法在每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)雙方總兵力變化圖。

圖4 在每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)兵力的變化趨勢(shì)(遺傳算法)

圖5—圖8分別為2種算法在每次交戰(zhàn)中藍(lán)方和紅方不同兵力的數(shù)量變化情況。數(shù)據(jù)集2測(cè)試結(jié)果說明:圖9和圖10分別為2種算法在每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)雙方總兵力變化圖。圖11—圖14分別為2種算法在每次交戰(zhàn)中藍(lán)方和紅方不同兵力的數(shù)量變化情況。

圖5 在每次交戰(zhàn)中藍(lán)方兵力變化趨勢(shì)(遺傳算法)

數(shù)據(jù)集1的結(jié)果分析:如圖2和圖4所示,隨著交戰(zhàn)次數(shù)增加,雙方的總兵力呈現(xiàn)遞減趨勢(shì),這是因?yàn)榻粦?zhàn)造成了兵力損失。在第4次交戰(zhàn)時(shí),分支定價(jià)法和遺傳算法的藍(lán)方剩余總兵力均為0,且紅方兵力均有保留,驗(yàn)證了模型的可行性,即最大化藍(lán)方損失,且最大程度減小藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失。從紅方剩余總兵力來看,分支定價(jià)法為37,而遺傳算法為35,表明分支定價(jià)法的尋優(yōu)性能優(yōu)于遺傳算法。

如圖5和圖6所示,隨著雙方交戰(zhàn)次數(shù)的增加,權(quán)重系數(shù)較大的藍(lán)方兵力會(huì)被優(yōu)先打擊。如藍(lán)方BG4兵力的權(quán)重值最高,在接下來的交戰(zhàn)中,其會(huì)被優(yōu)先打擊,且分支定價(jià)法和遺傳算法在第4次戰(zhàn)斗中將其全部殲滅。同時(shí),2種算法都成功將藍(lán)方兵力全部消滅。故模型得以驗(yàn)證,即最大化藍(lán)方的損失、且最大程度減小藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了優(yōu)先打擊權(quán)重系數(shù)較大的藍(lán)方兵力。從圖7和圖8可以看出,遺傳算法的紅方剩余總兵力比分支定價(jià)法少,故分支定價(jià)法的尋優(yōu)性能優(yōu)于遺傳算法。

圖6 在每次交戰(zhàn)中藍(lán)方兵力變化趨勢(shì)(分支定價(jià)法)

圖7 在每次交戰(zhàn)中紅方兵力變化趨勢(shì)(遺傳算法)

圖8 在每次交戰(zhàn)中紅方兵力變化趨勢(shì)(分支定價(jià)法)

數(shù)據(jù)集2的結(jié)果分析:如圖9和圖10所示,隨著紅藍(lán)雙方的交戰(zhàn)次數(shù)增加,雙方的總兵力呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)。其中,圖10中的分支定價(jià)法在第22次交戰(zhàn)時(shí),藍(lán)方剩余總兵力為0,且紅方剩余總兵力為73,驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的可行性,即最大化藍(lán)方損失,且最大程度減小藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失。相反,圖9中的遺傳算法在第12次交戰(zhàn)以后,紅藍(lán)總兵力均沒有顯著變化,說明遺傳算法陷入了局部最優(yōu),并未實(shí)現(xiàn)最大化藍(lán)方損失和最大程度減小藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失,體現(xiàn)了分支定價(jià)法更加優(yōu)越的尋優(yōu)性能。

圖9 在每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)兵力的變化趨勢(shì)(遺傳算法)

圖10 在每次交戰(zhàn)中紅藍(lán)兵力的變化趨勢(shì)(分支定價(jià)法)

如圖11和圖12所示,隨著雙方交戰(zhàn)次數(shù)的增加,權(quán)重系數(shù)較大的藍(lán)方兵力將被優(yōu)先打擊。如藍(lán)方BG4兵力的權(quán)重值最高,在接下來的戰(zhàn)斗中,BG4兵力會(huì)被優(yōu)先打擊,分支定價(jià)法在第15次交戰(zhàn)時(shí)將BG4兵力全部殲滅,且將所有藍(lán)方兵力消滅。相反,遺傳算法在最大交戰(zhàn)次數(shù)結(jié)束以后未完成對(duì)權(quán)重系數(shù)最高的藍(lán)方BG4兵力全部殲滅,且藍(lán)方仍有殘余的兵力。因此,分支定價(jià)法求解所提出模型的合理性和優(yōu)越性得以驗(yàn)證,即最大化藍(lán)方的損失、且最大程度減小藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了優(yōu)先打擊權(quán)重系數(shù)較大的藍(lán)方兵力,而遺傳算法的優(yōu)化效果不如分支定價(jià)法。同時(shí),從圖13和圖14可以看出,雖然遺傳算法的紅方剩余總兵力比分支定價(jià)法多,但其尋優(yōu)性能和打擊效果都低于分支定價(jià)法。

圖11 在每次交戰(zhàn)中藍(lán)方兵力變化趨勢(shì)(遺傳算法)

圖12 在每次交戰(zhàn)中藍(lán)方兵力變化趨勢(shì)(分支定價(jià)法)

圖13 每次交戰(zhàn)中紅方兵力變化趨勢(shì)(遺傳算法)

圖14 在每次交戰(zhàn)中紅方兵力變化趨勢(shì)(分支定價(jià)法)

綜上所述,本文中所提出的數(shù)學(xué)模型在小規(guī)模數(shù)據(jù)集1和大規(guī)模數(shù)據(jù)集2中都得到了有效驗(yàn)證。同時(shí),在交戰(zhàn)結(jié)束以后,綜合紅藍(lán)雙方的剩余總兵力和不同類型兵力的數(shù)量變化來看,分支定價(jià)法在尋優(yōu)性能和打擊效果上明顯優(yōu)于遺傳算法。該新穎的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出了與傳統(tǒng)蘭徹斯特作戰(zhàn)模型的一致性,即最大化敵方損失的同時(shí)最小化自身的損失。

3.4 紅藍(lán)雙方力量分析及對(duì)策優(yōu)化

損失敏感程度的設(shè)置是一個(gè)重要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn),其允許根據(jù)雙方力量對(duì)比,并進(jìn)行最佳戰(zhàn)斗策略的選擇。具體損失敏感程度參數(shù)αk大小的確定,應(yīng)與交戰(zhàn)前雙方兵力力量對(duì)比及殺傷力相關(guān)聯(lián)。紅方的初始總兵力越占優(yōu),越可以對(duì)損失不敏感,αk可設(shè)置為一個(gè)較小的值,此種情況下紅方實(shí)現(xiàn)以較少的交戰(zhàn)輪次消滅對(duì)方全部力量。相反,紅方的初始總兵力處于劣勢(shì)時(shí),紅方對(duì)自身的損失敏感,αk可設(shè)置為一個(gè)較大的值,做到在盡力消耗藍(lán)方的同時(shí)保存自身實(shí)力。據(jù)此設(shè)計(jì)的方案如下:首先計(jì)算出紅方每種類型兵力對(duì)藍(lán)方兵力的殺傷力之和,并將殺傷力之和乘以相應(yīng)類型的紅方初始兵力數(shù)量,記為紅方相應(yīng)類型兵力的戰(zhàn)斗強(qiáng)度RWi;其次,計(jì)算出藍(lán)方每種類型兵力對(duì)紅方兵力的殺傷力之和,并將殺傷力之和乘以相應(yīng)類型的藍(lán)方初始兵力數(shù)量,記為藍(lán)方相應(yīng)類型兵力的戰(zhàn)斗強(qiáng)度BWj。則初始值α1的計(jì)算公式如下所示:

本節(jié)將數(shù)據(jù)集2中的紅方總兵力減少(紅方總兵力為540,藍(lán)方總兵力為570),記為數(shù)據(jù)集3,見表7。為形成實(shí)驗(yàn)對(duì)比,使用分支定價(jià)法在數(shù)據(jù)集2和數(shù)據(jù)集3上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試。如圖15所示,當(dāng)紅方總兵力優(yōu)于藍(lán)方總兵力時(shí),在第28次交戰(zhàn)結(jié)束以后,藍(lán)方剩余總兵力為0,紅方剩余總兵力為55,即實(shí)現(xiàn)了最大化藍(lán)方損失和最大程度減小了藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失。驗(yàn)證了紅方總兵力明顯占優(yōu)時(shí),可以對(duì)損失不敏感,從而可以每次派出更強(qiáng)的戰(zhàn)力并以較少的交戰(zhàn)輪次消滅藍(lán)方全部力量。如圖16所示,當(dāng)紅方總兵力少于藍(lán)方總兵力時(shí),在第42次交戰(zhàn)以后,藍(lán)方剩余總兵力為0,紅方剩余總兵力為36。從而驗(yàn)證了紅方總兵力處于劣勢(shì)時(shí),紅方的損失敏感程度越低,做到了在成功消耗藍(lán)方的同時(shí)保存了自身實(shí)力。

表7 紅藍(lán)雙方的兵力類型、數(shù)量及權(quán)重

圖15 分支定價(jià)法在數(shù)據(jù)集2中的結(jié)果

圖16 分支定價(jià)法在數(shù)據(jù)集3中的結(jié)果

通過測(cè)試分析,當(dāng)紅方總兵力明顯占優(yōu)時(shí),紅方可以派出更強(qiáng)的力量去擊敗藍(lán)方;而當(dāng)紅方總兵力處于劣勢(shì)時(shí),紅方可以在消耗藍(lán)方力量的同時(shí)保存自身實(shí)力。因此,該數(shù)學(xué)模型能夠根據(jù)實(shí)際情況制定靈活的作戰(zhàn)策略,提高作戰(zhàn)效能,且體現(xiàn)出了與傳統(tǒng)蘭徹斯特作戰(zhàn)模型的一致性。

3.5 傳統(tǒng)模型的驗(yàn)證分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性,引入了傳統(tǒng)模型進(jìn)行對(duì)比分析,此處使用引言中戰(zhàn)爭(zhēng)模擬模型的第二類策略,即集中全部力量去打敗敵方,但僅考慮最大化敵方損失,而不考慮自身?yè)p失。同時(shí),使用分支定價(jià)法結(jié)合數(shù)據(jù)集2求解傳統(tǒng)模型。傳統(tǒng)模型的目標(biāo)函數(shù)可描述為:紅方集中兵力去打擊藍(lán)方,僅考慮最大化藍(lán)方損失,不考慮自身?yè)p失。其數(shù)學(xué)模型如下:

如圖17所示,在交戰(zhàn)結(jié)束后,傳統(tǒng)模型中藍(lán)方剩余總兵力為9,并未實(shí)現(xiàn)最大化藍(lán)方損失,且紅方剩余總兵力為60,而圖10中紅方剩余總兵力73,這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)模型僅考慮最大化藍(lán)方損失,而未考慮自身?yè)p失。從測(cè)試結(jié)果來看,所提出的數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)了最大化藍(lán)方損失,且最大程度減小了藍(lán)方對(duì)紅方造成的損失,進(jìn)一步體現(xiàn)了所提出的數(shù)學(xué)模型與傳統(tǒng)蘭徹斯特作戰(zhàn)模型的一致性,且驗(yàn)證了其優(yōu)于傳統(tǒng)模型。

圖17 傳統(tǒng)模型中紅藍(lán)兵力的變化趨勢(shì)

4 結(jié)論

根據(jù)合成火力分配的特點(diǎn),針對(duì)性地提出了一種新的回合制對(duì)抗策略及博弈模型。其具有如下顯著優(yōu)點(diǎn):① 在每一回合交戰(zhàn)中,通過合理的火力分配,實(shí)現(xiàn)了最大化藍(lán)方損失,且最小化紅方損失;② 通過設(shè)置合理的權(quán)重系數(shù),實(shí)現(xiàn)了對(duì)藍(lán)方重要兵力的優(yōu)先打擊和對(duì)紅方重要兵力的優(yōu)先保護(hù);③ 首次引入了“損失敏感程度”的概念,并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的超參數(shù)衡量方案,其更好地反映了紅方在戰(zhàn)斗中對(duì)自身的損失敏感程度;④ 針對(duì)性地設(shè)計(jì)了一種分支定價(jià)法來求解博弈模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,基于多個(gè)數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的數(shù)學(xué)模型和分支定價(jià)法的有效性,且該數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出了與傳統(tǒng)蘭徹斯特作戰(zhàn)模型的一致性。實(shí)驗(yàn)還表明了該數(shù)學(xué)模型優(yōu)于傳統(tǒng)模型。此外,該數(shù)學(xué)模型還具備基于紅藍(lán)雙方力量分析進(jìn)行對(duì)策優(yōu)化的能力,因此在實(shí)際應(yīng)用中具有審時(shí)度勢(shì)的決策靈活性的優(yōu)勢(shì)。