六自由度并聯(lián)平臺(tái)的魯棒自適應(yīng)PD控制算法

董林威,高宏力,潘 江

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,四川 成都 610031)

1 引言

由于六自由度并聯(lián)平臺(tái)具有剛度高、承載范圍大等特點(diǎn),使其在航天、數(shù)控等工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-3]。六自由度并聯(lián)平臺(tái)需具備高精度、高實(shí)時(shí)性等性能,也因此并聯(lián)平臺(tái)的高度非線性以及高可靠性的控制問題成了近年來的熱難點(diǎn)。

自Gough在20世紀(jì)40年代設(shè)計(jì)了第一種六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于輪胎檢測(cè)[4]以來,該裝置就被廣泛應(yīng)用在運(yùn)動(dòng)模擬以及其它輔助機(jī)械上。國(guó)內(nèi)對(duì)該裝置的研究也越來越廣泛,在航天空間對(duì)接技術(shù)以及“蛟龍?zhí)枴钡难兄埔捕枷嗬^應(yīng)用。但是伴隨著應(yīng)用場(chǎng)合越來越苛刻以及并聯(lián)結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的耦合性和非線性[5],該機(jī)構(gòu)的控制要求也越來越高。如今比較成熟的控制算法如PID控制,模糊技術(shù),魯棒控制等,但由于該結(jié)構(gòu)存在的動(dòng)力學(xué)不確定性和模型的強(qiáng)耦合性[6-8],單純利用上述算法很難滿足工業(yè)控制需求,且運(yùn)動(dòng)響應(yīng)特性差。

本文就目前六自由度并聯(lián)平臺(tái)存在的控制問題,提出基于魯棒自適應(yīng)PD控制的應(yīng)用算法,用以修正補(bǔ)償并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)不確定性及模型內(nèi)存在的參數(shù)擾動(dòng),在MATLAB中采用聯(lián)合仿真技術(shù),得到平臺(tái)期望軌跡的跟蹤誤差[9],并在SimMechanics中導(dǎo)入三維模型將仿真結(jié)果可視化。

2 六自由度平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

目前針對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的典型應(yīng)用如圖1所示。

圖1 并聯(lián)六自由度裝置

為滿足應(yīng)用性能要求,需要對(duì)裝置的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行充分分析。首先六自由度并聯(lián)平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖2所示,其中上平臺(tái)通過六個(gè)分支作動(dòng)器與穩(wěn)定不動(dòng)的下平臺(tái)連接,通過六個(gè)作動(dòng)器的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)變化,從而實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)的任意姿態(tài)。六個(gè)分支桿上下分別通過球鉸和虎克鉸與上下平臺(tái)相連接,中間則是可進(jìn)行伸縮變化的作動(dòng)器,一般為電動(dòng)缸或者液壓缸[10-12]。

圖2 六自由度并聯(lián)平臺(tái)模型

針對(duì)六自由度并聯(lián)平臺(tái),可將其動(dòng)力學(xué)分析分為作動(dòng)器和上平臺(tái)兩大部分分別求解建模。

在搭建完整動(dòng)力學(xué)模型之前,規(guī)定如下符號(hào):

1) 桿長(zhǎng)向量L=[l1,l2,l3,l4,l5,l6];

2) 上平臺(tái)P=[x,y,z,α,β,γ]表示,其中的x、y、z表示上平臺(tái)機(jī)構(gòu)中心沿x軸、y軸、z軸的平移量,α,β,γ為繞x軸、y軸、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

由于目前六自由度并聯(lián)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型方程已比較成熟,本文建立的動(dòng)力學(xué)模型方程采用文獻(xiàn)[17]。首先利用拉格朗日法求解作動(dòng)器在鉸點(diǎn)處和連接平臺(tái)間的約束力,并得到上平臺(tái)相對(duì)靜坐標(biāo)系廣義速度之間的關(guān)系。

(1)

式中

Qf=nf;

mt、mb—作動(dòng)器上下兩部分的質(zhì)量;

It、Ib—作動(dòng)器上下兩部分的慣性張量;

R—上平臺(tái)位姿的旋轉(zhuǎn)變換矩陣;

I—3×3的單位矩陣;

得到式(1)后,再利用Newton-Euler方法求解上平臺(tái)與作動(dòng)器伸縮桿相對(duì)靜坐標(biāo)系下驅(qū)動(dòng)力之間的約束關(guān)系,從而得到在不考慮摩擦的理想情況下,并聯(lián)機(jī)構(gòu)上平臺(tái)完整動(dòng)力學(xué)方程如下

(2)

3 魯棒自適應(yīng)PD控制器

六自由度并聯(lián)平臺(tái)存在高度非線性,控制難點(diǎn)突出,鑒于魯棒自適應(yīng)PD控制算法的特性,本文將兩者結(jié)合,從而提高系統(tǒng)對(duì)不確定性的魯棒穩(wěn)定性,控制器設(shè)計(jì)過程如下。

針對(duì)動(dòng)力學(xué)模型式(2),考慮到六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中存在誤差和擾動(dòng),在設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)PD控制器前,做以下假設(shè):

1)將系統(tǒng)中存在的誤差和擾動(dòng)記為φ,且滿足下式:

(3)

2)期望的作動(dòng)器伸縮桿位移表示為qd,且qd的一、二階導(dǎo)數(shù)存在。

在考慮擾動(dòng)和建模誤差等影響因素情況下,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程應(yīng)改寫為

(4)

上式為考慮了不確定因素的動(dòng)力學(xué)方程,具有以下特性:

特性2:存在正數(shù)m1、m2滿足以下關(guān)系式:

(5)

在此引入兩個(gè)變量:y、qr,表達(dá)式為

(6)

(7)

對(duì)于式(6)和(7),γ為常數(shù)且γ>0,可得

(8)

(9)

再將式(8)代入式(9),可得

則對(duì)于式(2),可采用如下控制器和自適應(yīng)律以提高系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性[18]。

(10)

(11)

式中

KP=KP1+KP2BP(e)

KV=KV1+KV2BP(e)

KP1=diag(kp11,kp12,…,kp1n)

KP2=diag(kp21,kp22,…,kp2n)

KV1=diag(kv11,kv12,…,kv1n)

KV2=diag(kv21,kv22,…,kv2n)

其中,kp1n、kp2n、kv1n、kv2n、αn、βn均為正值;Γ為正定對(duì)稱矩陣;而μ滿足

至此完成對(duì)六自由度并聯(lián)平臺(tái)的魯棒自適應(yīng)PD控制器的設(shè)計(jì),將設(shè)計(jì)完成的控制器同六自由度并聯(lián)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模塊、動(dòng)力學(xué)模塊相結(jié)合,整體控制框圖如圖3所示,將理想期望上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡通過前述已建立完畢的動(dòng)力學(xué)模型當(dāng)中得到桿長(zhǎng)值,將此作為理想桿長(zhǎng),輸入本文所設(shè)計(jì)的魯棒自適應(yīng)PD控制器,再將所求解的伸縮力輸入并聯(lián)平臺(tái)模型當(dāng)中,求解得到實(shí)際桿長(zhǎng)并反饋給控制器,并同時(shí)將實(shí)際桿長(zhǎng)計(jì)算值輸入運(yùn)動(dòng)學(xué)正解中,從而最終得到軌跡跟隨誤差以及位姿誤差。

圖3 并聯(lián)平臺(tái)控制框圖

4 仿真研究

4.1 SimMechanics可視化模型

SimMechanics是Matlab/Simulink中的一個(gè)子模塊[19]。主要用于三維機(jī)械動(dòng)力模型運(yùn)動(dòng)仿真,主要通過定義局部坐標(biāo)系以及建立完整的運(yùn)動(dòng)約束來實(shí)現(xiàn)既定的模型運(yùn)動(dòng)。在實(shí)際應(yīng)用中,將六自由度并聯(lián)平臺(tái)的三維模型導(dǎo)入到SimMechanics中初步建立可視化模型,通過調(diào)整其中的移動(dòng)副和位移速度傳感器即可實(shí)現(xiàn)對(duì)并聯(lián)平臺(tái)的位姿和速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的實(shí)時(shí)監(jiān)控和跟蹤。

根據(jù)上述,如圖4所示為建立的六自由度并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的SimMechanics三維動(dòng)力模型框架,相應(yīng)地可視化圖像模型如圖5所示。

圖4 并聯(lián)平臺(tái)的SimMechanics模型

圖5 SimMechanics可視化圖像

4.2 Simulink仿真

如前所述,將建立完成的魯棒自適應(yīng)PD控制器同運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模塊在MATLAB/Simulink中進(jìn)行建模仿真。聯(lián)合仿真的Simulink模型框圖如圖6所示。

圖6 聯(lián)合仿真的Simulink模型框圖

仿真中并聯(lián)平臺(tái)的物理參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

給定的理想位姿信號(hào):

各伸縮桿初始狀態(tài)皆在原始位置,且初始速度都為0m/s。各伸縮桿控制參數(shù)取值如下:

KP1=diag(200,200,200,200,200,200)

KP2=diag(150,150,150,150,150,150)

KV1=diag(300,300,300,300,300,300)

KV2=diag(150,150,150,150,150,150)

αi=βi=1(i=1,2,…,n),γ=2

在Simulink中配置相關(guān)控制參數(shù),根據(jù)所建立完整的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)魯棒自適應(yīng)PD控制模型來仿真運(yùn)行,圖7中藍(lán)色實(shí)線是期望上平臺(tái)位置軌跡,紅色虛線為實(shí)際跟蹤的輸出軌跡。

圖7 伸縮桿軌跡跟隨

從軌跡跟隨和位姿誤差中可以看出,在并聯(lián)結(jié)構(gòu)的起始運(yùn)動(dòng)階段,由于存在加速度過程,平臺(tái)有輕微擾動(dòng),但是該擾動(dòng)量也較小,大約在0.01mm以內(nèi),實(shí)際運(yùn)動(dòng)中該階段對(duì)整體運(yùn)動(dòng)影響較小。待并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定響應(yīng)后,各伸縮桿位置姿態(tài)軌跡的跟蹤效果良好,運(yùn)動(dòng)過程穩(wěn)定。從圖8中可以看出上平臺(tái)各方向上的位姿誤差較小且都在0附近波動(dòng),位置誤差范圍在±3×10-3mm內(nèi),姿態(tài)誤差在±8×10-3rad內(nèi)。整體上表明在本文所構(gòu)造的控制器作用下,六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)可準(zhǔn)確輸出平臺(tái)期望軌跡。

圖8 上平臺(tái)位姿誤差

5 結(jié)論

本文主要開展了基于魯棒自適應(yīng)PD控制的六自由度并聯(lián)平臺(tái)算法研究,首先利用Lagrang和Newton-Euler法建立平臺(tái)和作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型,利用SimMechanics進(jìn)行可視化仿真,分析仿真結(jié)果,可以得出在所提出的控制器下系統(tǒng)跟蹤效果穩(wěn)定,期望軌跡跟隨誤差小,且上平臺(tái)位置和姿態(tài)誤差分別在±3×10-3mm及±8×10-3rad以內(nèi),穩(wěn)定性強(qiáng)。綜上所述,魯棒自適應(yīng)PD控制算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的準(zhǔn)確跟蹤。