基于差分進化算法的四旋翼自適應滑模控制

成利梅,張春美,郭紅戈

(太原科技大學電子信息工程學院,山西太原030024)

1 引言

四旋翼飛行器具有四個呈十字交叉結構的旋翼,通過調節與螺旋槳固連的電機轉速可控制四旋翼實現垂直起降以及各種姿態的飛行。由于其較強的機動性,靈活性,廣泛應用于電力巡檢,農業植保等領域[1,2]。

針對四旋翼飛行器的控制問題,國內外許多學者進行了深入的研究,提出了許多的控制策略。當前的控制策略根據其所依賴模型主要分為2類。第一種控制策略基于由歐拉角的導數近似角速度的模型而設計[3,4],由于模型的近似,該種控制策略僅適用于歐拉角較小的飛行狀態。第二種控制策略直接基于SO(3)動力學模型設計[5-7],因此適用于更為復雜的飛行狀態。同時,四旋翼在飛行過程不可避免地會受到環境擾動,滑模變結構控制對參數的不確定性以及有界干擾都具有良好的魯棒性[8],因此滑模控制被應用于四旋翼的控制[9,10]。但是,滑模控制器的參數是難以確定的。

隨著智能優化算法的發展,智能優化算法逐漸被應用于控制器參數的整定,并進一步應用于四旋翼控制器參數的整定。粒子群算法[11,12]、灰狼優化算法[13]、差分進化算法[14]等智能優化算法均被應用于四旋翼控制器參數的整定,其中差分進化算法具有較好的全局搜索能力和魯棒性[15]。

本文基于四旋翼飛行器的SO(3)動力學模型設計滑模變結構控制與自適應控制相結合的自適應滑模控制器,并采用差分進化算法整定滑模控制器參數,最后通過仿真驗證差分進化算法的性能以及自適應滑模控制器的魯棒性。

2 動力學建模

位置和姿態是四旋翼飛行過程中最為重要的信息。為了描述四旋翼飛行器的位置和姿態,首先建立參考坐標系W系{xwywzw}和載體坐標系B系{xbybzb},所定義的坐標系如圖1所示。

圖1 四旋翼結構及對應坐標系

基于所建立的坐標系并假設四旋翼飛行器可看作機械結構對稱的剛體,四旋翼的位置可由其質心在參考坐標系下的位置描述,姿態可由載體坐標系相對于參考坐標系的旋轉矩陣R∈SO(3)描述。

四旋翼飛行器的運動可分為平移運動和旋轉運動,其平移運動可用牛頓方程來描述,旋轉運動可用歐拉方程描述,其平移運動的動力學方程為

(1)

其中m為飛行器的質量,g為重力加速度,T為四個電機產生的升力。zw=(0,0,1)T為參考坐標系的Z軸,p=(x,y,z)T為四旋翼飛行器質心在參考坐標系的位置。

旋轉運動的動力學方程為

(2)

其中J=diag(Jxx,Jyy,Jzz)為轉動慣量,M=(M1,M2,M3)T為四個電機產生的控制力矩。ω為四旋翼飛行器的角速度。其中旋轉矩陣與角速度的關系為

(3)

3 控制器設計

由式(1)可知,四旋翼的平移運動與旋轉矩陣相關,而旋轉矩陣反映四旋翼的旋轉運動,綜上可知,四旋翼飛行器為耦合系統。基于此,本文設計基于內外環的控制結構,整體的控制結構框圖如圖2所示。

圖2 控制結構框圖

外環對位置進行控制并給出控制升力的大小T和方向zb,該方向向量與期望偏航角向量xf=(cosψd,sinψd,0)T經式(4)運算后可得到內環的期望輸入Rd[16],內環通過控制角速度間接對旋轉矩陣進行控制。

(4)

考慮到模型的不確定和外界干擾,本文將采用自適應滑模算法對內外環的控制器進行設計。

3.1 自適應滑模控制器設計

3.1.1 位置控制器設計

(5)

為了便于表示,取u=RTzw,位置控制器的設計目的為通過控制u使得系統(5)穩定,根據滑模控制器的設計流程首先定義如下滑模面

s=cep+ev

(6)

接著,基于一階滑模控制律設計如下控制律u

(7)

其中c,k,η均為正常數。將式(7)代入式(5)并結合式(6)可知

(8)

接著定義如下李亞普諾夫函數

(9)

其中Ψ為正定的對角陣。將式(9)求導并將式(8)代入可得

(10)

(11)

當所設計的控制律為式(7)時,期望升力的大小為

(12)

期望升力的方向為

(13)

同時在實際使用過程中,為了減少抖振,用飽和函數sat(s)代替符號函數sgn(s)。

(14)

其中,Δ為邊界層。

3.1.2 姿態控制器設計

姿態控制器的設計目的為通過控制輸入力矩使得實際旋轉矩陣R收斂于輸入的期望旋轉矩陣Rd。首先定義旋轉矩陣誤差

(15)

(16)

式中ε為正定的對角陣。在旋轉矩陣誤差的基礎上,定義角速度誤差

(17)

(18)

根據滑模控制器的設計流程首先定義如下滑模面

s=βeR+eω

(19)

由文獻[5]可知

(20)

接著,基于一階滑模控制律設計控制律M

(21)

(22)

其中Γ為正定的對角陣,將式(22)求導可得

(23)

取中間列向量

(24)

并取矩陣

(25)

此時

(26)

(27)

上述所設計的位置控制器和姿態控制器僅可以保證位置環路和姿態環路的穩定,并不能保證整個系統的穩定性,因此,對整個系統的穩定性證明尤為重要。本文采用文獻[18]的定理證明整個系統的穩定性。

由定理可知,對于由式(5)和式(18)構成的四旋翼誤差模型,只要滿足下列三個條件,系統便全局穩定。

①控制輸入T和Rd使得外環指數穩定。

②控制輸入M使得內環指數穩定。

基于該定理下面證明整個系統的穩定性。

證明:由位置控制器與姿態控制器的穩定性證明可知,控制輸入T和Rd可以使得位置環路指數穩定,控制輸入M使得姿態環路指數穩定,同時由式(12)和式(13)可知

(28)

由向量范數的性質可知

(29)

(30)

兩邊同時取平方且放大不等式的右側可得

(31)

放大不等式右側同時左右兩邊開方可得

(32)

3.2 差分進化算法概述

差分進化算法是由Storn和Price提出的基于種群的智能優化算法。該算法通過進化機制搜索群體最優解,其流程包括種群初始化,變異,交叉,選擇四步。

每個種群由多個個體組成,個體數目即為種群規模,每個個體為待優化參數組成的向量,若種群規模為n,待優化參數個數為g,則第k代種群可以表示為

(33)

種群的初始化即對初代種群的每個個體進行初始化賦值,對第i個個體的第j個元素初始化可通過式(34)隨機產生

(34)

變異是利用個體之間的差分信息對個體進行變異,本文選擇DE/rand/1策略,其表達式為

vi,k=xr1,k+F(xr2,k-xr3,k)

(35)

其中r1,r2,r3為第k代種群內互不相等的三個個體,F為縮放因子,影響種群的多樣性和收斂速度。增大F的值可以提高種群多樣性,減小F的值可以加速算法的收斂速度,因此,算法初期時F值應該較大,以便尋找全局最優解,隨著迭次次數的增加,F值應該減小使得算法盡快收斂,基于此本文選擇如下函數作為變異因子[19]

(36)

其中Fmax為縮放因子的最大值,Fmin為縮放因子的最小值,k為當前迭代次數,kmax為最大迭代次數。

交叉是利用目標個體與變異形成的個體形成新個體,本文選擇基于二項式的交叉,其表達式為

(37)

其中CR為交叉概率因子,影響種群的多樣性,增大CR的值可以增加種群個體更新的概率,減小CR的值有利于算法的穩定搜索,本文選擇如下函數作為交叉概率因子[19]

(38)

其中CRmax為縮放因子的最大值,CRmin為縮放因子的最小值。

選擇是在目標個體與交叉形成的個體之間選擇使得適應度值更優的個體,其表達式為

(39)

其中f(·)為適應度函數。

當迭代次數小于最大迭代次數,重復執行交叉、變異、選擇操作,當迭代次數等于最大迭代次數時,算法輸出尋優結果。

3.3 基于差分進化算法的控制系統設計

在控制器的設計過程中,僅定性給出控制參數對系統性能的影響。在實際的使用過程中,需要經過大量的仿真來確定控制參數。本文采用差分進化算法對滑模控制器的參數c,k,η,β,λ,γ進行離線尋優,所以選取xi=(c,k,η,β,λ,γ)T。

對控制器參數尋優實質上為尋找使得控制系統具有良好性能的參數,控制系統的性能需綜合考慮時域的動態特性以及控制輸入的能耗,其中絕對誤差積分(IAE)可反映動態響應,絕對控制輸入積分可反映系統的能耗,因此,本文選取如下性能指標函數作為適應度函數。

(40)

其中W1,W2為權重系數,j代表位置的三個方向,q代表控制量的個數。

基于差分進化算法的控制系統框圖如圖3所示。

圖3 基于差分進化算法的控制系統框圖

4 仿真驗證

4.1 控制參數選擇

本文在Matlab/Simulink環境下仿真驗證所設計算法,仿真過程中采用的結構參數m=4.34kg,J=diag(0.082,0.0845,0.1377)。設四旋翼飛行器的期望位置pd=(1,1,1)T,期望偏航角ψd=π/3,初始位置p=(0,0,0)T,初始偏航角ψ=0。

由xi的選取可知待優化參數個數g=6,由文獻[23]可知,種群個數n應為5g～10g,因此設置種群規模n=50。同時設置c和β的變化范圍為[1,50],k和λ的變化范圍為[0.1,20],η和γ的變化范圍[0.1,20],差分進化算法的參數見表1。

表1 差分進化參數設定

經仿真可得最優適應值與迭代次數的關系如圖4所示。

圖4 迭代收斂圖

由圖可知,適應度函數在經過20次的迭代之后收斂到最優值2.1676×104,此時得到的控制器參數c=3.2982,k=1.9674,η=0.4597,β=7.0874,λ=0.1,γ=3.2413。當所選控制參數為該組最優參數時位置誤差與控制輸入如圖5和圖6所示。

圖5 最優控制參數下的位置誤差

圖6 最優控制參數下的控制輸入

由圖5可知,在經差分進化算法整定的控制參數的作用下位置誤差約3s內收斂到0。圖6為最優控制參數下的控制輸入,由圖可知,控制升力T很快收斂到穩定,控制力矩M在經過小幅度波動之后收斂到0。綜合位置誤差和控制輸入可知經差分進化算法得出的控制器參數可使得系統具有較好的控制性能。

4.2 魯棒性驗證

為了驗證所設計控制器的魯棒性,分別仿真系統在參數不確定以及有干擾情況下跟蹤螺旋線的性能。設四旋翼飛行器的期望軌跡pd=(cost,sint,1+t/5)T,期望偏航角ψd=πt,初始位置p=(0,0,0)T,初始偏航角ψ=0。控制器的參數為優化之后的參數。

在實驗一中,假設轉動慣量未知,此時采用式(21)和式(27)設計控制律以及自適應律,位置誤差如圖7所示,轉動慣量的估計曲線如圖8所示。

圖7 轉動慣量未知時的位置誤差

圖8 轉動慣量的估計量

圖7描述了跟蹤軌跡時的位置誤差,由圖可知,三個方向的位置誤差均較快收斂到0。圖8中實線表示真實的轉動慣量,虛線表示估計的轉動慣量,對比可知,所設計的自適應律可以較好地估計轉動慣量的真實值。

在實驗二中,假設位置環路存在干擾d=(0.1cos(t),0.1cos(t),0.1cos(t))T,姿態環路存在干擾dM=(0.1sin(t),0.1sin(t),0.1sin(t))T,仿真結果圖9所示。

圖9 干擾存在的位置誤差

圖9為干擾存在時的位置誤差。由圖可知,位置誤差能在5s內收斂到0,即實際軌跡可以較好地跟蹤期望軌跡。

通過仿真驗證了所設計的自適應滑模控制器能夠克服模型不確定和干擾實現期望軌跡的跟蹤。

5 結論

本文基于非線性群建立了四旋翼飛行器的動力學模型,在考慮模型不確定性和外部干擾的情況下設計了基于內外環結構的自適應滑模控制器,并采用差分進化算法離線尋優滑模控制器的參數。仿真實驗驗證了差分進化算法在控制器參數整定的有效性以及自適應滑模控制器的魯棒性。