基于改進復合形法的平流層飛艇外形優化設計

曹勝鴻,楊燕初,張天曉,張航悅

(1. 中國科學院空天信息創新研究院,北京100094;2. 中國科學院大學,北京100190)

1 引言

臨近空間(NearSpace)通常是指20～100km的空域,在地球大氣中處于平流層和中層,其在環境監測、區域通信、實時監視、預警與導彈防御等領域有很大的應用價值[1]。飛艇是一種輕于空氣的航空器,具有垂直起降、長航時、載重大、低能耗、噪聲及排放小等特點[2],在臨近空間的探測方面具有廣泛的應用價值。平流層飛艇是臨近空間飛行器的一種,近幾十年來,隨著航空技術的發展,采用新材料和新技術的大型飛艇得到飛速發展。

因此,有針對性地對平流層飛艇進行優化設計,即多方面考慮飛艇的設計因素就顯得尤為重要。平流層飛艇總體設計與優化技術作為方案設計的關鍵,將會直接決定飛艇系統的整體性能和操控[3]。國內多家研究機構開展了大量的飛艇設計優化工作,例如,中航通飛研究所的秦何軍針對飛艇的氣動外形進行優化設計[4],中國特種飛行研究所的張超針對重在飛艇低阻囊體進行外形優化[5]。但上述優化設計僅以阻力系數作為優化對象,缺少對飛艇結構因素的考慮。

通過對比分析發現,在改變長細比時,體面比與長細比成正相關,阻力系數與長細比呈現負相關,因此,本文保留阻力、體面比兩個飛艇設計因素,建立數學模型,結合實際需求分配兩者權重,結合改進的復合形法,構建優化設計框架,通過Matlab軟件運算得出艇體長度與艇體最大截面直徑,依照實際需求,提供三種合理的飛艇外形設計方案,并結合實際算例仿真分析,驗證優化艇形和優化算法的可行性。

2 算法介紹

2.1 飛艇優化程序框架

本文在進行飛艇優化設計過程中,結合最優化設計中的復合形法進行改進,進行目標函數的最優值求解,首先輸入原始艇形數據,結合多學科優化設計理念,建立飛艇優化目標函數,并根據實際需求,合理分配各項函數模型的權重,利用Matlab軟件結合改進復合形法探索優化值,依照實際需求,有側重的針對算法所得飛艇長度、飛艇最大截面直徑、飛艇長細比進行定向飛艇優化,并提供后期仿真分析的艇形數據,其飛艇優化流程框架如圖1所示。需要指出的是,本文所提出的改進復合形算法也可與其它最優值求解方法相結合使用,推廣至其它最優值求解問題。

圖1 飛艇優化流程框架

2.2 改進復合形法

在約束問題的最優化求解過程中,往往會出現導數和梯度較難求得的情況,尤其是多元函數,甚至會沒有明確的工程函數[6]。因此常常采用直接求解的方式,復合形法的基本求解思想是基于無約束最優化問題直接求解方式的單純形法,僅需在每次擴張、收縮之后驗證新得到的點是否在可行域內即可。

單純形法最早由Spendley、Hext和Himsworth提出[7],后由Nelder和Mead改進成為變型的單純形法[8],其基本思想是:三點構造單純形,沿最差點至剩余點所構中心點的方向尋找最差點的替代點,從而構造新的單純形,其探索過程如圖2所示。

圖2 單純形法探索過程

取三個點并計算其函數值,分析三個點的函數值進行排列得到最差點Xh,次差點Xg最好點Xl,取次差點Xg與最好點Xl的形心Xc,連接最差點Xh與形心點Xc做第一次等步長的擴張得到反射點Xr,若反射點的函數值優于最差點Xh則再進一步擴張,否則,將步長減半,如果新得到的點函數值依舊差于最差點函數值,則直接改變探索方向,其中單純形法的探索過程,還需要將新得到的點與次差點進行比較,從而考慮新得到點的刪減。

經典單純形法需要計算剩余點所構中心點,并將新得到的點與最差點、次差點進行比較,且隨著探索迭代次數的增加,在最優值附近的探索速度較慢,探索步驟緩慢、繁瑣,極大地降低了約束問題的求解效率。

單純形法求解最優化工程函數問題的關鍵在于單純形的構建,而在單純形構建的過程中,選點將會直接影響探索方向的準確性,經典單純性法求解時需要計算次差點與最好點的形心,并與最差點相連,構成新的探索方向,楊晉提出可以直接連接最差點與最好點構成新的探索方向[9],李慶高在非線性約束問題同樣提出直接在最好點與最差點的方向探索得到最差點的替代點[10]。

本文在楊晉單純形法的基礎上進一步改進,提出雙向探索的求解思想,即沿著最差點和最好點的方向探索最差點的替代點的同時,沿著次差點和最好點的方向探索次差點的替代點,在兩個收斂方向同時求得第二次單純形的構造點,精簡單純形構造的計算步驟,提高約束問題的求解效率,其探索步驟如圖3所示。

圖3 改進算法探索過程示意圖

改進單純形法的計算過程如下:

1)取三個點并計算其函數值,分析三個點的函數值并進行排列,從而得到最差點Xh,次差點Xg,最好點Xl,連接次差點Xg與最好點Xl做第一次等步長的擴張,同時連接最差點Xh與最好點Xl做第一次等步長的擴張,如式(1)所示

(1)

α：反射系數,單純形法中通常取為1,復合形法中常取1.3;

Xhr：最差點Xh相對于最好點Xl的反射點;

Xgr：次差點Xg相對于最好點Xl的反射點;

2)分別比較兩個反射點與最差點、次差點的函數值,如果反射點函數值小于最差點、次差點的函數值,則說明探索正確,進一步擴張,如式(2)所示

(2)

γ：擴張系數,一般取為2;

Xh4：反射點Xhr相對于最好點Xl的擴張點;

Xg4：反射點Xgr相對于最好點Xl的擴張點;

3)如果反射點函數值比最差點、次差點函數值要大,則減少擴張步長,即收縮。如式(3)所示

(3)

β：收縮系數,一般取為0.5;

Xh2：反射點Xhr相對于最好點Xl的收縮點;

Xg2：反射點Xgr相對于最好點Xl的收縮點;

4)如若收縮點的函數值仍舊大于最差點、次差點的函數值,則說明探索方向有誤,改變探索方向,即縮小單純形,如式(4)所示

(4)

Xh3：最差點Xh相對于最好點Xl的壓縮點;

Xg3：次差點Xg相對于最好點Xl的壓縮點;

5)探索所得點與第一次單純形的最好點構成第二次探索單純形的三個點,圖3所示藍色線即為第二次單純形的可能情況。單純形構造完成后,逐次迭代,直到最好點與形心點幾乎為一個點,終止迭代的判據如式(5)所示

(5)

針對收斂性判據,除上述判斷形心點與最好點是否幾近重合之外,也可以判斷最后一次所構單純形是否幾近為一點,其收斂性判斷的主體思想都是一樣的,即判斷最終構造點幾乎為一點。

其改進復合形法的算法流程圖如圖4所示。

圖4 改進算法程序框圖

上述單純形法的改進,省略了經典單純形法中對于形心點的計算,同時對楊晉算法[9]單一方向的探索進行改進,在次差點與最好點、最差點與最好點兩個方向進行計算和探索,以此求得新的單純形探索構建點,省略了反射點與次差點的比較過程,算法簡單,探索速度快。本文借用一個案例函數對改進算法和經典算法進行比較,驗證改進算法的可行性。案例目標函數如式(6)所示,收斂性要求0.01。

(6)

兩種方法單次單純形最優值與迭代次數的關系對比圖,如圖(5)所示。

通過圖5的對比分析,針對式(6)所示案例目標函數,改進算法在第3次迭代過程中,出現大幅度改變,從第6次迭代開始進入函數收斂區域,而經典算法在第13次迭代才有大幅度的轉變,從第20次迭代開始進入函數收斂區域。改進算法的迭代速度相較于經典算法提高了58.33%,由此可得,改進算法的探索速度高于經典單純形法,極大地提高了函數最優值求解的效率。

圖5 經典算法與改進算法單次最優值對比

3 飛艇優化目標函數

以往的飛艇優化設計著重于阻力系數的優化,忽略其它設計因素,本文在進行多次設計優化分析后,針對飛艇初始優化階段,保留阻力系數和體面比兩個重要的設計因素。其中,阻力系數直接決定飛艇推進功率,進而影響能源供給;體面比是艇囊體積與面積的比值,決定著系統浮力的有效利用率[11],其目標函數數學模型如式(7)所示

(7)

w1,w2為阻力和體面比的權重,FCD為阻力,FCD0為初始阻力,λ為體面比,λ0為初始體面比值。

3.1 阻力模型

Hoerner研究了流線型物體的阻力,對于多數飛艇,其艇體的氣流是湍流[12],因此阻力系數關系如式(8)所示

(8)

其中l為艇體長度,d為艇體最大截面直徑。

Hoerner提出對于實際水準的表面光潔度和Re>5×106,表皮摩擦系數Cf如式(9)所示

(9)

綜合式(8),式(9),給出阻力系數公式,如式(10)所示

(10)

其中雷諾數計算參見式(11)

(11)

其中μ為粘性系數,ρa為氣體密度,v為風速。

故阻力模型函數如式(12)所示

(12)

其中kD為整艇與裸艇之間的阻力系數比,由飛艇的實際構型決定,Ve為囊體體積。

3.2 體面比模型

針對飛艇初始化設計階段,王全保[2]僅考慮表面積帶來的影響,忽略優化過程中囊艇體積的變化,故此,本文引入體積模型,建立體面比影響模型,體面比模型可參照式(13)所示,式(14)-(15)為優化前期體積和表面積估算公式,其精確計算公式參照式(16)-(17)

(13)

其中囊體體積估算公式參照式(14)

(14)

對于飛艇優化初始階段,艇體表面積估算公式,可參照式(15)

Se=(2.14+(l-60)·0.08-(d-15)·0.028×

(15)

其中體積精確值的計算公式參照式(16)

(16)

對于飛艇表面積精確值的計算公式,可參照式(17)

(17)

4 算例優化仿真分析

本文選取英國物理實驗室所提出的一種低阻力飛艇形狀,即后期Skyship飛艇形狀的基礎,NPL低阻力系數飛艇形狀[12],作為飛艇前期優化的外形母線函數,其數學表達式如式(18)所示

(18)

l為飛艇長度,d為飛艇直徑,其NPL低阻力系數飛艇外形如圖6所示。

圖6 NPL低阻力系數飛艇外形

本文參照雷諾數Re>5×106,以及實際飛艇設計案例,取初始飛艇長度60m,最大截面直徑20m,長細比3。取飛艇高度為20km高空,大氣壓力5474.8Pa,風速25m/s,空氣密度取0.088kg/m3,根據實際設計經驗,以一定的最佳長細比范圍為約束,此外考慮到飛艇的最大浮力,故以固定的囊體體積為約束,如式(19)所示

(19)

運用改進復合形法進行目標函數的優化探索,借用Matlab軟件生成優化后的飛艇外形,如圖6至圖8所示,其中圖6對應阻力權重為1,體面比權重為0,以此求得以阻力為優化重點時的優化艇形,圖7對應阻力權重為0,體面比權重為1,以此求得以體面比為優化重點時的優化艇形,圖8對應阻力權重為0.5,體面比權重0.5,以此求得阻力與體面比平衡時的優化艇形,需要指出的是,在實際設計優化工作過程中,設計者可以根據實際需求更改調配、本文只給出常用的幾組權重分配比例,此外,也可以針對目標函數增添其它設計影響因素,本文保留兩項隨長細比變化呈現相反變化的阻力和體面比因素項。

圖7 權重為1:0時飛艇優化外形

圖8 權重為0:1時飛艇優化外形

此外,根據所得優化值點,本文給出三個不同側重點的優化結果,分別對應每組圖中的除原始艇形外的三條優化曲線,若設計考慮目標函數值最優,則選擇以優化點的最大直徑為恒定值的優化結果,若設計考慮長細比的范圍,則選擇以優化點的長細比為恒定值的優化結果,若設計考慮飛艇的微小外形優化,則以優化點的艇長為恒定值的優化結果。

權重分配為阻力為1,體面比為0時的優化結果如圖7所示。

從圖7可以看出,當以阻力作為優化目標時,優化后的艇形會變細長,即整體艇體長度變長,最大截面直徑變小,抗阻能力增強,其詳細相關對比數值參見表1。

表1 權重為1:0時優化艇形與原始艇形對比

從表1中可以看出,當權重分配為1:0時,從三個側重點優化所得艇形的阻力得到有效地改善,體面比則會相應的減小。

權重分配為阻力為0,體面比為1時的優化結果如圖8所示。

從圖8可以看出,在以體面比為優化目標時,優化后的艇形會變短胖,即整體艇體長度變短,最大截面直徑變大,更有利于艇體浮力的利用,其詳細相關對比數值參見表2。

表2 權重為0:1時優化艇形與原始艇形對比

從表2可以看出,當權重因子全部分配給體面比時,所得優化艇形的體面比得到顯著提升,相應的截面變大,艇長變短,阻力會增大。

通過圖7與圖8的優化結果可以看出,體面比和阻力是優化過程中兩個呈現相反增量的目標量,所以,在實際的優化過程中,還需要依照實際需求分配阻力與體面比的權重。

本文同時給出權重分配為1:1時的優化艇形結果,如圖9,表3所示。

圖9 權重為1:1時飛艇優化外形

從上述表1、2、3的仿真分析可以看出,優化過程中體面比與阻力呈現相反優化增量關系,故在實際應用中應根據實際需求分配權重因子,此外,本文考慮實際優化設計的三個關鍵變量,最大截面直徑、長細比和飛艇長度,分別有側重地提出優化方案,從優化結果來看,改進算法在飛艇優化中是可行的。

5 結論

本文結合傳統飛艇優化設計過程中單一考慮阻力因素的問題,首先引入體面比,構建優化函數數學模型,構建優化流程框架,其次針對傳統最優值求解的復合形法進行改進,依照雙向同步探索思維,提出最優值求解的改進算法,并將其應用至飛艇外形優化設計中,運用Matlab進行函數的計算和仿真,通過仿真分析驗證了算法的可行性。