基于改進PD的LESO四旋翼控制算法

劉春玲,馮錦龍,張 瑾

(大連大學信息工程學院,遼寧 大連 116622)

1 引言

四旋翼飛行器控制系統是一個非線性、強耦合的復雜系統,給控制設計帶來了巨大的挑戰,針對這一復雜系統,文獻[1,2]用經典PID設計控制器,因實現簡單、有良好的抗干擾能力等,在四旋翼飛行器控制系統的設計中得到廣泛應用,然而其處理耦合問題的能力較差及不能自適應調整參數。文獻[3,4]設計了改進型PID控制器,利用在經典PID控制原理基礎上進行了改進,但未考慮飛行環境中的未知擾動[3]和需要精確的數學模型[4]。文獻[5-7]設計了雙回路PD參數優化控制器,該設計通用性強、易實現,尋優速度快且跟蹤效果良好,然而在四旋翼飛行器建模過程中,忽略了空氣阻力和未知擾動等。文獻[8,9]設計了PID的濾波器控制器,該方法能實現良好的魯棒性,但對強耦合的非線性四旋翼控制系統控制不理想。文獻[10,11]采用模糊PID控制器,該方法有良好的動態性能,但需要更細化的模糊規則,增加了該方法的實現難度。

針對四旋翼非線性、強耦合及易受外界干擾引起姿態不穩定問題,設計了基于改進型PD的LESO(Liner Extended State Observer)飛行控制方法。首先,在反饋回路中設計了LESO,運用LESO原理實現四旋翼姿態的解耦控制,同時對系統的內外部擾動進行估計補償到原系統中,增強系統魯棒性;然后利用改進PD控制,增強系統動態特性,降低外界信號對飛行控制系統的干擾,提高系統的抗干擾能力。

2 四旋翼飛行器數學模型

在四旋翼建模時,假設機體是質量均勻且對稱的剛體,四個旋翼為剛性且不會發生形變,機體坐標和質心坐標重合。

四旋翼飛行器的結構如圖1所示,Mi代表各個旋翼的電機,定義慣性坐標E(XYZ)和機體坐標B(xyz)之間的相對位置可以通過位置坐標確定,飛行器在地面坐標系下的姿態角θ,φ,ψ為機體坐標系下的pitch,roll,yaw,即俯仰角、滾轉角和偏航角,令R(θ,φ,ψ)表示慣性坐標E和機體坐標B之間的轉換矩陣,可以表示為

圖1 四旋翼飛行器坐標及電機示意圖

(1)

四旋翼飛行器非線性運動方程分為平移運動和旋轉運動。由牛頓第二定律得x,y,z方向的平移運動表示為

(2)

其中Fi(i=1,2,3,4)為螺旋槳的升力,m為四旋翼機體的質量。

根據角動量守恒得四旋翼旋轉運動的表示為

其中Ii(i=x,y,z)為軸的轉動慣量,l為機體軸心距,Di(i=θ,φ,ψ)為環境中不確定的干擾分解到坐標軸的分量。

為了簡化四旋翼的平移運動和旋轉運動,定義虛擬控制量U1,U2,U3,U4為四個獨立的輸入,分別以升力F1,F2,F3,F4進行變換,變換公式可表示為

(4)

結合方程式(2)、(3)和(4),四旋翼無人機飛行器系統的動力學模型可表示為:

(5)

3 改進型PD的LESO控制器設計

3.1 改進型PD

常規PD控制器通過對比例系數和微分時間常數的適當調整,可達到較為良好的控制效果,其結構如圖2所示。

圖2 常規PD控制器

PD控制器的控制規律表達式可表示為

(6)

式中kP為比例系數,TD為微分時間常數,e(k)為系統誤差。

對PD控制器的微分項可表示為

(7)

由式(7)可以看出,微分環節的引入,改善了系統的動態特性,但對高頻干擾信號特別敏感,容易引入擾動。同時說明在誤差擾動突變時會顯出微分項的不足,而且長時間系統會積累靜態誤差,導致魯棒性下降,很難達到預期的控制效果。

為克服上述問題,在常規PD算法中加入了一階慣性環節Df=1/(1+Tf(s)),則改進型PD控制器,結構如圖3所示。

圖3 改進型PD控制器

改進型PD控制器的控制規律可表示為

u0(k)=uP(k)+uD(k)+uDf(k)

(8)

式中uP(k)為比例控制,uD(k)加上uDf(k)為微分控制,e(k)為系統誤差。

對于微分環節加入一階慣性后,其微分方程形式可表示為

(9)

將(9)式離散化,可表示為:

(10)

式中Tf為一階慣性常數,T為采樣周期。

對(10)式整理有:

(11)

對(8)～(11)式進行整理可得:

u0(k)=kpe(k)+uD(k)+uDf(k)=kpe(k)+kd(1-α)[e(k)-e(k-1)]+αud(k-1)

(12)

由數學模型知,四旋翼的旋轉運動方程是一個多輸入多輸出非線性耦合系統,此處利用線性自抗擾控制算法中的線性擴張狀態觀測器對系統耦合部分及外部擾動進行實時跟蹤和估計,并結合系統控制律將估計值進行補償并反饋到原系統中,不僅將多輸入多輸出的非線性耦合系統轉變成相對獨立的單輸入單輸出線性子系統;還可以通過LESO有效的剔除系統內外部擾動,減少反饋誤差,增強系統抗外部干擾能力和對自身參數不確定等因素的適應能力,改進型PD的LESO控制器框圖如圖4所示。

3.2 線性擴張狀態觀測器

線性擴張狀態觀測器[12,13]是線性自抗干擾的核心組成部分,其工作原理就是把系統中的各種干擾擴張為一個新的狀態變量,通過系統控制律和輸出動態的估計總擾動,并有效對總擾動項進行反饋補償到原系統中,不僅能解決四旋翼模型不確定部分引起的內部干擾,還能增強控制系統的魯棒性。

以滾動通道φ為例,詳細描述建立四旋翼飛行器單輸入單輸出的線性擴張狀態觀測器的二階數學模型,有

(13)

(14)

然后對系統(14)的LESO進行如下設計

(15)

由(15)式可知,LESO通過適當的觀測器參數[β1,β2,β3]=[3w1,3w2,w3]T來估計狀態變量x1,x2和擴展狀態變量x3,即各個狀態X=(x1,x2,x3)對應估計值Z=(z1,z2,z3),其中w為觀測器帶寬,利用LESO將控制系統中的內外部擾動進行估計并補償到原系統中,不僅能減少系統誤差,根據文獻[14]可知,只需保證w的取值大于零且總和擾動有界便可以保證LESO的穩定性。

為有效剔除四旋翼飛行控制系統中的擾動,其控制率可設計為

(16)

以四旋翼動力學數學模型中翻滾通道為例說明,取方程式(5)做如下變化。

(17)

(18)

式中b0=l/Ix,u=u2。

根據式(17)、(18)處理后,對象的狀態方程可以寫作如(19)所示。

(19)

式中x1=φ,u=u2,由式(19)知,原非線性系統(13)已轉化為線性系統(19),且系統中不確定擾動被實時動態線性化。基于改進PD的LESO控制算法設計步驟如下:

(i) 通過歐拉方程和角動量守恒建立四旋翼的非線性數學模型,選取對象模型的非線性、耦合及未知部分作為擾動項并建立如式所示的“動態線性化”模型。

(ii) 根據線性化模型,設計改進型PD控制器的控制率u0。

(iii) 選取合適的β1,β2,β3,使LESO能對總擾動項z3更好的估計,并動態補償到原系統中,改進型PD控制器輸出u0,得到實時控制量u=uo-z3/b0。

4 仿真結果及分析

為驗證所提出的算法有效性,采用Matlab進行四旋翼飛行器控制系統的仿真。四旋翼飛行器物理參數如表1所示,仿真參數如表2所示。

表1 四旋翼飛行器物理參數

表2 仿真參數

4.1 姿態及軌跡分析

仿真時,為模擬四旋翼飛行過程中環境擾動不確定及飛行軌跡,設定四旋翼飛行器飛行軌跡路線沿(3,2,0)到(0,0,5),在沿軌跡飛行過程中給翻滾角加入擾動,模擬四旋翼器飛行環時的內外擾動,并將擾動設置為0.5(sign(sin(0.5t))+cos(0.6t)+cos(0.7t)+0.5sign(sin(t))),且在3s時加入擾動,仿真如下。

由圖5和圖6可知,在3s時給翻滾角加入擾動后,PID控制仿真圖翻滾通道位置的幅值是改進PD的LESO控制器的幅值的1.6倍,且前者幅值跳變較為陡峭,后者較為平緩;除此之外,由PID控制和改進PD的LESO控制器的俯仰角對比知,后者調節時間較短;由PID控制和改進PD的LESO控制器的偏航角對比知,后者不僅調節時間較短,而且幅值調節也較為平滑。由對比可知,在四旋翼飛行器飛行中受干擾時,改進PD的LESO控制器對位置的調節能力優于經典的PID控制器。

圖5 PID位置調節

圖6 改進PD的LESO位置調節

由圖7和圖8可以看出在3s時加入擾動后,PID控制仿真圖翻滾通道的姿態調節幅值為0.057rad,受到干擾后調節趨勢較為陡峭;俯仰角調節較為平緩,但調節幅值較大;偏航角調節時間為2.5s左右。改進PD的LESO控制器翻滾通道姿態受干擾后調節幅值約為PID控制器的一半,且受到干擾后調節趨勢較為平緩;俯仰角調節較為平緩,且調節幅值遠小于PID控制的俯仰角調節幅值;偏航角調節時間為0.5s左右,響應時間遠小于PID。除此之外,PID控制翻滾角姿態的幅值為0.28rad左右,且較為陡峭;俯仰角在達到平穩前幅值0.4rad左右。改進PD的LESO控制器翻滾角姿態幅值為0.18rad左右,且較為平緩;俯仰角在達到平穩前幅值為0.25rad左右。可見改進PD控制器結合LESO對擾動進行補償后,能夠明顯提高各通道的姿態角解算能力,減少幅值跳變。仿真結果表明,所設計的控制器,可以明顯提高四旋翼旋轉運動的抗干擾能力,增強系統的魯棒性。

圖7 PID姿態調節

圖8 改進PD的LESO姿態調節

5 結論

針對四旋翼飛行器非線性、強耦合和易受外界干擾引起姿態不穩定問題,設計了一種改進PD的線性擴張狀態觀測器(LESO)控制器,并以經典PID作為參考。仿真結果表明,通過改進型PD控制器,利用LESO原理對擾動估計并補償到原系統中,不僅能夠有效抑制系統誤差,還能增強控制系統的抗干擾能力和魯棒性,且具超調量小和控制效果更佳。該控制方法在四旋翼飛行控制領域有著可待的應用前景。此外,進行了對比仿真,表明該控制器實現了令人滿意的跟蹤精度和更優越的控制性能。希望未來通過實際的四旋翼無人機飛行實驗驗證所提出控制器的有效性。