生新知，重育人

劉鳳 魏紹偉

【摘? ?要】“分段計費”廣泛應用于生活，是一種具有現實意義的數學知識。對該類問題的探究，能夠幫助學生鞏固小數乘法的基礎知識，積累解決問題的活動經驗。在數學文化進課堂理念的引領下，以解決“分段計費”問題的三個步驟為線索，從數學文化角度出發，挖掘其中的德育、智育、美育教學資源，遵循“數學思考—數學創造—數學欣賞—數學應用”的探究模式開展教學，引導學生在習得“分段計費”相關知識的過程中，體會勤儉節約、保護環境的美好品德，發現車費與行駛里程間“變與不變”的關系，感悟生活中的函數思想。

【關鍵詞】數學文化教學；分段計費；德育；智育；美育

【教學思考】

“分段計費”是人教版教材五年級上冊“小數乘法”單元的教學內容。本單元教材編排了小數乘整數、小數乘小數、積的近似數、整數乘法運算定律推廣到小數和解決問題等內容。其中，為了培養和提高學生解決實際問題的能力，教材安排了“分段計費”的例題（例9），讓學生在實際背景的問題中，學會收集信息并選擇適合的方法來解決問題，在例題的學習中進一步掌握基礎知識、基本技能，提高小數的四則運算能力以及解決問題的能力，積累解決問題的數學活動經驗。

例9結合本單元的數學知識和學生的生活實際，以“李叔叔乘出租車付費”為情境線索，設計了三個步驟引導學生經歷解決問題的過程。第一步“閱讀與理解”重在理解題意，特別是對計費標準的理解。第二步“分析與解答”結合小數乘整數以及加法進行列式并運算，呈現兩種解決問題的思路和方法：一種是借助線段圖來分段計算；一種是先假設再調整，先都按照每千米1.5元計算，再加上前3km少算的。第三步“回顧與反思”設置了表格，給出了行駛里程取不同整數的情況，讓學生填寫應收取的出租車費用。

基于對數學文化教學資源的理解，依據例9及練習四第7題“某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費”來組織學習素材，從而讓學生在“分段計費”的學習中意識到節約資源的重要性，形成節約資源、不浪費的優良道德品質。解決例9的第一步“閱讀與理解”，擬采用摘錄條件的方法和畫線段圖的方式，將抽象的語言轉化為直觀圖解，彰顯了數學美，歸為美育資源；在滲透數形結合思想的同時探究行駛里程和計費金額之間變與不變的關系，并滲透函數思想，因此將其歸為智育資源。第二步“分析與解答”擬采取用線段圖表示行駛里程來計算車費的數形結合方式明確思維路徑，有利于探究解決問題的不同方法，歸為智育資源。第三步“回顧與反思”在回顧知識形成過程的同時，以表格形式直觀呈現問題與回答，歸為美育資源；進一步呈現行駛里程與出租車費的關系圖（實際為分段函數的圖象），深入滲透函數思想。

五年級學生對生活中水費、電費、打車費等計費方式已有一定的了解，且在本單元的學習中，掌握了小數乘法的基礎知識，積累了解決問題的活動經驗，形成了運用小數乘法解決問題的基本技能。但理解抽象的分段計費標準，對學生來說仍是一個難點。基于上述分析，筆者制訂了本內容的教學目標。

1.德育目標：聯系數學與生活，在解決分段計費問題的過程中培育節約資源的優良道德品質。

2.智育目標：鞏固小數乘法知識，重溫“單價×數量＝總價”的數學模型，在畫線段圖以及觀察計費圖式的實踐活動中，習得解決分段計費問題的一般方法，體悟數形結合思想和函數思想，發展幾何直觀素養。

3.美育目標：將文字表述轉化為圖表，簡潔呈現出租車行駛里程與車費之間的關系，感受數學圖形的美觀，在應用數形結合解決問題的過程中體驗美好，體悟數學應用于現實生活中的“完美”。

【教學過程】

v教學模塊1：數學思考

活用教材中分段計費的生活情境，進一步深挖德育資源，引導學生發現生活中其他分段計費問題，同時結合例9內容展開“閱讀與理解”，圍繞教學目標，使學生體會“數學來源于生活，又應用于生活”，感悟到節約能源的重要性和必要性，初步厘清出租車分段計費的標準，由此制訂任務1和任務2。

任務1：聯系收水電費等生活情境，理解分段計費的實際意義，初步感知模型思想。

師：同學們，你們了解分段計費嗎？生活中，我們在哪些地方見到過分段計費？

生：知道。水費、電費的收取就是分段計費。用水、用電越多，費用越高。

［核心問題1］說一說怎么分段，為什么要進行分段計費。

生：家里的電費超過一定度數，計費標準就不同了，因此我們要節約用電。

生：還有打車費，它分成起步價和超過起步價的部分，兩者的計費方式不同。

師：可見分段計費與我們的生活息息相關，實行分段計費能幫助我們減少浪費。這節課我們一起深入探究分段計費問題。

任務2：剖析題目，厘清計費標準，發現“分段”變與不變的美妙。

教師用課件出示例題：出租車的計價標準是3 km以內7元；超過3 km的部分，每千米1.5元（不足1 km按1 km計算）。李叔叔乘坐出租車行駛了6.3 km，需要付多少車費？

師：題目中有哪些數學信息，怎么理解？

生：題目中說“不足1 km按1 km計算”，以此類推，超過1 km但不超過2 km要按照2 km算……所以題中的6.3 km要按7 km算。

師：車費會有什么樣的變化？舉一個例子詳細說明。

（同桌之間互相舉例說一說，教師巡視指導）

生：路程小于3 km時，無論是1 km、 2 km還是2.3 km，都需要支付7元；若路程超過3 km，每增加1 km，車費會多1.5元，比如行駛了3.1 km或4 km，就需要支付7+1.5=8.5（元）。

實施效果：學生能夠理解生活中的分段計費問題，自主樹立節約資源的意識，明白分段計費的原因與必要性，實現了“培育節約資源的優良道德品質”的德育目標；學生通過分組合作，在交流與表達中分析、理解題目，突破了理解所提煉的關鍵信息的難點，并能舉例子說明對分段計費標準的理解，發現分段計費問題中的變與不變，體會函數思想，初步達到“滲透思想方法”的智育目標。

v教學模塊2：數學創造

繼續探究例9，圍繞教學目標，引導學生將文字語言轉化為圖形語言，以深化對問題的理解，強化數形結合思想，體會創造知識的快樂，由此制訂任務3和任務4。

任務3：數形結合，借助線段圖轉化題目，理解題意。

［核心問題2］用什么方法表達能使題目中的數量關系更清晰？

（學生獨立思考后與小組成員進行交流，選擇用線段圖表示數量關系，如圖1所示）

生：可以用線段將路程分為兩段。第一段表示小于等于3 km的路程，第二段表示超過3 km的路程。線段終點表示7 km，因為“不足1km按1 km計算”。

師：大家采用了文字、線段圖等多種方式來表示題目，其中線段圖是最受歡迎的，為什么？

生：線段圖方便而且清晰。

師：這兩段怎么計算？

生：第一段只付7元，第二段每多1 km加1.5元。

任務4：小組合作探究，解決分段計費問題，體驗成功解決問題的美好。

［核心問題3］根據這個計費標準，李叔叔應該付多少元車費？

（學生獨立思考后和小組成員分享思路和方法）

生：我們結合線段圖知道，6.3 km要按照7 km來算。第一段7元，第二段超出了7-3=4 km，4×1.5=6（元），最后相加，得出應付13元。

師：能給這種方法取個名字嗎？說說你的理由。

生：分段計算法，這個名字可以提醒我們，要根據不同標準分段計算。

師：還有其他方法嗎？

生：首先將6.3 km按照7 km來算，假設按照每千米1.5元計算，7 km共需支付10.5元；由于前面的3千米也是按照每千米1.5元計算的，只收了4.5元，應補收7-4.5=2.5（元）。10.5+2.5=13（元），所以應收13元。

師：假設很關鍵，我們把這種方法叫作假設法。假設法需要注意什么？

生：最后要補上少算的部分。

實施效果：學生基于已有的數學活動經驗采用多種方式表征題目，并踴躍參與討論，將題目的文字表征轉化為圖形表征，強化了對題意的理解，感受到了圖形的簡潔性。學生能夠利用線段圖，結合小數乘法的知識經驗和“單價×數量＝總價”的數學模型，得出解決分段計費問題的不同方法。創造知識后，學生的成就感得到滿足，實現了“習得知識技能”“滲透思想方法”的智育目標和“感受美觀”“體驗美好”的美育目標。

v教學模塊3：數學欣賞

在解決問題后，圍繞教學目標，沿用例9中的出租車價格表，引導學生構建解決分段計費問題的知識體系，并歸納解決此類問題的一般步驟，設計觀察圖象的活動以強化學生的思維，由此制訂任務5和任務6。

任務5：總結分段計費的方法，內化成解決該類問題的數學模型，進一步體悟線段圖解決問題的簡便。

［核心問題4］分段計算法和假設法的步驟分別是什么？

生：分段計算法是先按題意畫出線段圖，再逐段計算，最后相加。假設法是先假設，再找差價，最后調整。

師：你更喜歡哪種方法？說說理由。

生：我喜歡分段計算法，因為它容易理解。

生：我也喜歡分段計算法，它不但容易理解，而且計算簡單。

任務6：列表描述出租車價格和里程間的關系，觀察圖象，發展幾何直觀。

基本練習：

1.完成出租車價格表。

2.根據表格快速地說出行駛4.9 km、4.1 km和9.5 km需要的車費。

3.下面哪幅圖表示了出租車費用和行駛里程的關系？（? ? ?）

（學生獨立完成基本練習，全班交流基本練習3）

師：通過列表，我們能夠快速答出相應里程的出租車費用。此外，圖象也能讓信息直觀化。練習3中哪幅圖正確表示了出租車費用和行駛里程間的關系？

生：我選擇D。因為超過3 km不超過4 km都付8.5元，路程變了，金額不變。同理，路程超過4 km不超過5 km都付10元。

師：大家從“變”和“不變”的角度選出了答案，D選項呈現的圖象正是我們以后會學習的分段函數。那在什么條件下，答案會是A呢？

生：題目去掉“不足1 km按1 km計算”這一條件，那么在3 km之后，費用才會隨著路程的增加而增加。

實施效果：學生能夠用自己的語言表達出分段計算法和假設法的解題步驟，內化新知，在課堂上樂于表達自己的真實感受，體悟到數學問題解決中的簡便性和多樣性。在練習題中，學生能夠獨立完成基本練習1和基本練習2，但對基本練習3存在理解困難。教師放手讓學生觀察圖象，對其進行辨析，并從中體會分段計費的特點與函數思想，發展學生的幾何直觀素養。學生在分析問題的過程中發現變量與變量之間的關系，實現了“習得知識技能”“滲透思想方法”“發展核心素養”的智育目標。

v教學模塊4：數學應用

為了呼應教學模塊1，選用生活中的電費標準表、教材練習四第7題的水費分段計費作為情境，并圍繞教學目標，設計變式練習，意在擴展學生思維，促進學生認知的結構化，由此制訂任務7和任務8。

任務7：通過解決與生活密切聯系的分段計費問題鞏固新知，落實數形結合思想與函數思想。

練習1：某市居民用電階梯電價收費如下表。

王叔叔家本月的用電量為300千瓦時，應繳電費多少元？

練習2：某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內每噸2.5元，超過12噸的部分，每噸4元。（1）小云家上個月的用水量為11噸，應繳水費多少元？（2）小可家上個月的用水量為17噸，應繳水費多少元？（3）小可家這個月繳水費90元，他家用水量為多少噸？

任務8：總結解決分段計費問題的一般方法，實現認知結構化，將數學的簡潔美升華至數學育人價值之美。

師：這節課我們學習了分段計費的問題。我們可以按照標準分段，然后計算各段的總價，最后相加。那如果遇到更復雜的分段計費問題怎么辦？

生：可以根據題目信息畫出對應線段數的線段圖或者表格，再解決問題。

師：根據階梯電費、水費等問題，結合生活想一想，分段計費有什么意義？

生：我國是人口大國，人人節約能夠節省很多資源。水也是一樣，如果我們不節約用水，地球上的最后一滴水就是我們的眼淚。分段計費就是提醒我們要盡最大的努力節約資源。

生：我們要有意識地節約用水，沒有水就不可能有美麗的花草樹木，樹木、村莊和田地就會被沙漠侵蝕，影響我們的生活。

師：一道簡單的數學題里蘊含著深刻的道理。其實生活中處處有數學，仔細觀察，我們還可以發現更多神奇的奧秘。

師：同學們可以嘗試用文字的形式記錄今天的所學、所想、所悟，也可提出自己關于分段計費的疑問，或者其他解決分段計費問題的方法……寫下你的數學小作文，和大家一起分享。

實施效果：學生面對新的問題情境與變式，能夠根據題目進行分段并解決問題。在解決問題后，學生能踴躍分享分段計費的現實意義，培養了節約用電、用水，杜絕浪費的意識。嘗試撰寫數學小作文能夠進一步培養學生數學思考和自我反思的能力。這樣的學習過程能實現“培育節約資源的優良道德品質”的德育目標，“習得知識技能”“滲透思想方法”“發展核心素養”的智育目標和“體悟數學美好”的美育目標，體現了數學文化目標的協同作用。

【教學意蘊解析】

這是一節充滿文化意味的數學課，學生經歷了“數學思考”“數學創造”“數學欣賞”“數學應用”四個探究過程，感受到數學與生活的聯系。在數學文化理念的引領下，學生感受到分段計費的現實意義，體會到運用數形結合解決問題的便利之處，落實了數學的育人價值。在教學中，教師通過挖掘教材中“李叔叔乘出租車付費”的學習素材，引導學生圍繞4個核心問題展開探究，自主嘗試解決分段計費的數學問題，實現知識的數學化和認知的結構化。

教材中的例9是實際應用的問題，呈現的素材和思路蘊含豐富的數學文化元素。例如，從“分析與解答”出租車價格表的素材中能夠深挖智育元素，通過呈現出租車費隨著行駛里程的增加而變化的圖象，直觀感受二者的聯系，體會函數思想。

實踐證明，正是教學素材和數學文化資源的挖掘與整合，催生出了具有育人價值的數學課：（1）在新知生成中培養良好品德，繼承、弘揚中華優秀傳統文化。在數學思考模塊，由學生尋找生活中的分段計費問題，理解其實際意義；在數學應用模塊，在應用新知的同時彰顯分段計費的必要性。隨著數學知識的生成，學生對節約、不浪費的行為有了深刻的認識，自主形成良好品德。（2）遵循教材邏輯，拓展素材，顯化函數思想。在數學思考模塊，引導學生初步感受車費與行駛里程間“變與不變”的關系；在數學創造模塊和數學欣賞模塊，呈現反映二者關系的圖象，顯化行駛里程變化時收費金額的變化，一步步彰顯函數思想。

總而言之，本節課所呈現的魅力正是數學文化智育、美育、德育資源相互依存、交互作用的結果。除此之外，數形結合思想及其體現出的數學簡潔美貫穿本節課始終。三類資源的交織為學生的立德修身、智能發展和美育感知提供了實際支持，并讓學生進一步認同和豐富班級的數學文化內核，使數學課程的育人目標真正落地。

（1.廣東省佛山市順德區鳳翔小學

2.佛山科學技術學院）