中考數學在“知識交匯處命題”的教學思考

張梅秀

摘要：通過對2020年中考數學綜合題評析，教師有意識引導學生中考數學復習要立足教材、夯實基礎，培養用數學的思維分析和解決問題、用數學語言表達和交流問題的習慣，進而切實提高初中數學課堂教學效率.

關鍵詞：中考數學；命題；課堂教學

二次函數的綜合題是中考的重點和難點，在知識網絡交匯處命題，有利于深化知識、提高分析問題與解決問題的能力，同時兼顧基礎、循序漸進、拾級而上. “基礎性、綜合性”是歷年中考的一個命題熱點，因此，教師要吃透學情、掌握考情，學會立足教材，拾級而上，逐步引導學生達到中考能力要求的制高點，這樣才能無往而不勝.如何幫助學生分析、解決這類問題，是初中數學教師應著重關心的問題.

1試題呈現

縱觀全國各地中考數學試題，最后一道大題都是與二次函數相關的綜合題，知識容量大、思維方法靈活，對分析問題和解決問題的能力要求高，具備一定的選拔和區分功能.

0例1（2020年甘肅省定西市中考數學試卷第28題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx－2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA=2OC=8OB.點P是第三象限內拋物線上的一動點.

（1） 求此拋物線的表達式；

（2） 若PC∥AB求點P的坐標；

（3） 連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標.0

2導問結合，分析探究

2.1回歸教材，發揮源題的基礎效力

立足教材是中考命題的一個原則，所以第（1）問都能在教材中找到原型，相對穩定.教學中教師要追根溯源，回歸教材，尋找豐富的源題，給學生一個“鮮活”事例，教學中先讓學生翻開《義務教育教科書九年級上冊》第39頁探究題、第40頁練習第2題、第41頁習題22.1第10（1）—（4）題、第11題等等，學生看得見、摸得著，對學生解答本題有了著力點，然后對照本中考題引導學生再探究.

教師：如何求出二次函數的解析式？學生解答信心倍增，爭先恐后，報出答案.

學生1：題目給出二次函數的解析式y=ax2+bx－2，現用待定系數法求解.

教師：是的，但注意解析式有幾個未知字母，就需要幾個獨立的點代入，才能求解，函數解析式的確定，往往需要根據已知條件列方程（組）解決.運算時力求準確無誤，確保后繼問題解答的正確性.

教學中夯實基礎，建立一個牢固的知識網絡、靈活的思維方法，面對較復雜的綜合題，能發揮克難攻堅效力.

2.2認清載體和“鑲嵌”三角形，抓住關鍵

在教材內容基礎上與平面幾何知識交匯融合，選材上以拋物線為載體，鑲嵌具有一定幾何條件“內接三角形”，然后求點的坐標，考查坐標法，滲透一些解析幾何思想.

教師：若PC∥AB，如何確定點P的坐標？

學生2：因為拋物線恒過點C（0，－2），又因為PC∥AB，所以直線PC的表達式為y=－2.

學生3：點P的坐標就是直線PC與拋物線y=x2+72x－2的交點.

學生4：只需將y=－2代入拋物線的表達式，即－2=x2+72x－2，求解即可.

教師：三位同學回答得很好！解題思路自然，運算也正確，銜接無縫.請同學們繼續思考：如何求這種情況下△PAC的面積？

學生5：因為△PAC一邊的長為PC=0－－72=72，其高OC=2，所以S△=12PC·OC=72.

教師：這位同學對幾何圖形觀察得很對，能夠感知三角形組成元素，找到了三角形的底邊和高.

縱觀近幾年全國各地的中考壓軸題，不出例外的話，一方面可將幾何圖形的性質運用代數方法來研究，另一方面解答某些代數問題又可借助幾何直觀.因此，教學中，培養學生良好的審題習慣，從題干中抓住要素，從直觀圖形找到解決問題的“切入點”，化難為易不在是遙不可及的事.

2.3拾級而上，實現由特殊到一般的推理方法

教師：如果P是第三象限內拋物線上的一動點，那么△PAC是一般的三角形，現在如何求△PAC的面積？

學生6：沒有直接可以利用三角形面積公式的條件時，可以采用分割法.

教師：太好了，曲徑通幽，實現了解題目標.請問：如何分割？

學生7：過點P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AC于點E；過C作CM⊥PE，M為垂足.

教師：是這樣，這個過程結合求解目標，你會想到什么？

學生8：把一個三角分割為兩個三角形△APE和△CPE，它們有同底PE和不同的高.

學生9：S△PAC=S△APE+S△PEC=12PE·AD+12PE·MC=12PE·AO.

教師：棒極了！求解三角形的面積設法把它分割為兩個三角形，發現同底不同高的三角形的高竟然可以轉化AD+CM=AD+DO=AO.想一想：如何求線段PE的長？

學生10：由于P、E分別是直線PA與拋物線、直線AC和直線PE的交點，又PD⊥x軸，所以將x=m分別代入y=x2+72x－2和AC的表達式中就得到P，E兩點的直角坐標.

教師：直線AC的表達式如何求？

學生11：設直線AC的表達式為y=kx－2（k≠0）.把A（－4，0）代入可得k=－12，所以直線AC的表達式為y=－12x－2.

學生12：設點P（m，m2+72m－2）（－4

學生13：點Em，－12m－2.

教師：緊緊抓住學生9給出的面積公式中，布列面積S關于變量m的二次函數.

學生15：S△PAC=12×（－m2－4m）×4=－2m2－8m=－2（m+2）2+8.

教師：很好！數形結合，求解三角形面積，化歸轉化是關鍵.思維受阻是因為化歸轉化方向不對或方法不當，考查目標最終落在對二次函數的最值上.

3真題解析

0解析：（1） 由y=ax2+bx－2可得點C（0，－2）.

因為OA=2OC=8OB，所以A（－4，0），B12，0，把A，B兩點的坐標代入y=ax2+bx－2得a=1，b=7/2，所以拋物線的表達式為y=x2+7/2x－2.

（2） 因為PC∥AB，C（0，－2），所以點P的縱坐標為－2，則－2=x2+72x－2，解得x1=－7/2，x2=0（舍），故P－72，－2.

（3） 設直線AC的表達式為y=kx－2（k≠0），把A（－4，0）代入可得k=－12，所以直線AC的表達式為y=－12x－2.

如圖2，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AC于點E；過C作CM⊥PE，M為垂足. 設點P（m，m2+7/2m－2）（－4

于是，PE=PD－ED=－m2－4m，

所以，S△PAC=S△APE+S△PEC=12PE·AD+12PE·MC=12PE·AO=12×（－m2－4m）×4=－2m2－8m=－2（m+2）2+8，

所以當m=－2時，（S△PAC）max=8. 此時m2+7/2m－2=（－2）2+7/2×（－2）－2=－5，故點P（－2，－5）.

0評注：本題第（1）利用待定系數法可求，其實質是利用已知點A，B布列關于系數a，b的方程組，求解方程組即可.第（2）問當PC∥AB，暗含點P的縱坐標是－2，列方程－2=x2+7/2x－2求解即可；第（3）問是二次函數與幾何最值、動態問題.用分割方法列出面積是點P的橫坐標m函數是關鍵，其次才是熟練掌握二次函數和一次函數的性質，注意利用數形結合思想進行解題.

另外還可以C作CD∥AB，交AP于G，再過P，G作y軸的平行線，交CD于H，GN⊥x軸，垂足為N.這樣同樣將一個三角形的面積分割為兩個三角形面積之和，思路通暢，但運算繁瑣，不作介紹.

4反思體悟

在知識網絡的交匯處精心設計考題，將知識、能力與素質融為一體.中考命題必須以《義務教育數學課程標準（2022年版）》為命題理念及依據，充分落實課程目標，確保復習方向.命題要有利于“教與學”的規律，所以回歸教材，在教材原題上精心設計；同時突出了升學考試的選拔甄別功能，命題要體現出探究性、創新性和綜合性.因此，教學中找出學生存在的問題，吃透學情、考情，設計合理問題梯度，深入剖析，澄清概念，保證絕大多數學生受益；要學會運用知識之間的交叉、滲透和組合.如上述考題，講完后不再就題論題，進行一題多變，我們可以再創設一些問題情境，引領學生在解決復雜的問題情境中，形成可遷移的正確方法、必備品格和關鍵能力，實現認知結構的再攀升.

解答這樣綜合題時，要善于將較復雜的問題分解成若干個子問題，各個擊破，注重通性通法；激發興趣，在打開學生“邏輯通道”上換位思考，緩慢經歷思維的縝密性，有足夠的時間消化，才能消除學生對壓軸題的畏懼感，攻難克艱，最終取得好的教學效果.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.