巧思維切入，妙方法破解

解金雷

摘要：解三角形問題可以巧妙融合初高中的不同知識與思想方法，形成良好的知識交匯與綜合應用.因此歷年來在數學高考中占有重要地位．本文結合一道模擬解三角形題的呈現與解析，深度剖析其思維方法，以期引領并指導解題研究．

關鍵詞：解三角形；最值；平面向量

1問題呈現

在銳角三角形ABC中，D是線段BC上的一點，且滿足AB+AC=2AD，AD=AB，則tanA+tanB+tanC的最小值是．

此題以三角形為問題背景，通過平面向量的創設，以及三角形中線段之間的關系等條件設置，結合三角函數知識來確定對應三角形的三內角的正切值之和的最值問題，形成集解三角形、平面向量以及三角函數等相關知識的交匯與綜合．

2問題破解

0方法1：（消參法）

0解析：由AB+AC=2AD，可知點D是線段BC的中點，

設AD=AB=c，BG=a，AC=b，利用三角形的中線長公式，可得（2AD）2+BC2=2（AB2+AC2），

則有（2c）2+a2=2（c2+b2），即a2=2（b2－c2），

利用正弦定理，可得sin2A=2（sin2B－sin2C），

結合正弦平方差公式，可得sin2（B+C）=2sin（B+C）sin（B－C），

則有sin（B+C）=2sin（B－C），展開并整理有sinBcosC=3sinBcosC，即tanB=3tanC，

而tanA=－tan（B+C）

=－tanB+tanC1-tanBtanC=4tanC3tan2C-1，

所以tanA+tanB+tanC=4tanC3tan2C-1+4tanC

=12tan3C3tan2C-1，

構建函數f（t）=12t33t2-1，tanC=t>0，求導可得f′（t）=36t4-36t2（3t2-1）2，令f′（t）=0，解得t=1，

則知當01時，f′（t）>0，函數f（t）在（1，+∞）上單調遞增，

所以f（t）min=f（1）=6，即tanA+tanB+tanC的最小值是6，此時當tanC=1，tanB=3，tanA=2時等號成立，故填答案：6．

0解后反思：根據題目條件，通過三角形的中線長公式構建三角形的三邊之間的關系，然后結合正弦定理化邊為角，通過正弦平方差公式以及三角恒等變換公式確定對應的三角形的兩內角的正切值之間的關系，再利用三角形的內角和公式、誘導公式以及兩角和的正切公式加以消參處理，從而構建所求三角函數關系式的一元函數．合理的消參為進一步構建一元函數指明方向，也為最值的求解提供條件．

0方法2：（引參法）

0解析：如圖所示，由AB+AC=2AD，可知點D是線段BC的中點，不妨設BD=CD=2，取BD的中點H，結合AD=AB可知AH⊥BC，設AH=h（h>0），

由AD=AB可知BH=HD=1，tanB=h，tanC=h3，

而tanA=－tan（B+C）=－tanB+tanC1-tanBtanC=4hh2-3，

所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=4hh2-3×h×h3=4h33（h2-3），

構建函數f（h）=4h33（h2-3），求導可得f′（h）=4h4-36h23（h2-3）2，令f′（h）=0，解得h=3，

則知當03時，f′（h）>0，函數f（h）在（3，+∞）上單調遞增，

所以f（h）min=f（3）=6，即tanA+tanB+tanC的最小值是6，此時當tanC=1，tanB=3，tanA=2時等號成立，故填答案：6．

0解后反思：根據題目條件引入三角形的高這一參數，通過特殊化對應的邊長，合理構建對應的三角形的三內角的正切值的含參表達式，進而利用三角形中的正切恒等式：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，進行巧妙的化歸與轉化，合理構建函數，通過求導處理來達到確定目標函數式的最值問題．合理的引參的目的就是構建一元函數，進而借助函數與導數的應用來解決相應的最值問題．

0方法3：（坐標法）

0解析：由AB+AC=2

AD，可知點D是線段BC的中點，

圖2

不妨設BD=CD=2，如圖所示，以點D為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xDy，則B（－2，0），C（2，0），設A（－1，y），y>0，

則知tanB=kAB=y-0-1+2=y，tanC=－kAC=－y-0-1-2=y3，

而tanA=－tan（B+C）=－tanB+tanC1-tanBtanC=4yy2-3，

所以tanA+tanB+tanC=4yy2-3+y+y3=4y33（y2-3），

構建函數f（y）=4y33（y2-3），求導可得f′（y）=4y4-36y23（y2-3）2，令f′（y）=0，解得y=3，

則知當03時，f′（y）>0，函數f（y）在（3，+∞）上單調遞增，

所以f（y）min=f（3）=6，即tanA+tanB+tanC的最小值是6，此時當tanC=1，tanB=3，tanA=2時等號成立，故填答案：6．

0解后反思：根據題目條件合理構建平面直線坐標系，通過點的坐標的確定與直線的斜率公式來確定對應的三角形內角的正切值，綜合利用三角恒等變形公式來構建所求三角函數關系式的一元函數問題．坐標法解決解三角形問題，將三角形放置與平面直角坐標系中，通過坐標法的代數運算來化歸與應用．

3變式拓展

保留題目背景與求解結果，改變其中線段長度的給出條件為平面向量的數量積之間的關系，同樣求解對應三角形的三內角的正切值之和tanA+tanB+tanC的最小值問題，得到以下對應的變式問題．

【變式】在銳角三角形ABC中，D是線段BC上的一點，且滿足AB+AC=2AD，2BC·DA=3CB·CA，則tanA+tanB+tanC的最小值是．

4教學啟示

4．1思維方法總結，形成知識體系

對于求解對應三角形的三內角的正切值之和的最小值，式子中含有三個角參，可以從以下幾個方面進行考慮：

（1） 合理消元，通過三角形的內角和定理消去一個角參，再根據題目條件得到剩下兩個角參的關系，然后進一步消去另一個角參，進而得到對應的一元函數，最后，利用函數與導數的關系來進行最值的確定與求解．

（2） 引入參數，通過作高線，設出三角形對應的高，結合題目條件將對應的三角形的三內角的正切值均轉化為涉及此參數的函數關系式，進而通過一元函數的構建，結合函數與導數的關系來進行最值問題的轉化與應用．

（3） 構建坐標，結合平面直角坐標系的構建，將解三角形問題放置于平面解析幾何中，通過確定點的坐標以及直線的斜率，將相應的三角形的三內角的正切值轉化為涉及點的坐標的一元函數問題，進一步利用函數的構建與導數的應用來解決相應的最值問題．

4．2技巧策略歸納，鞏固數學能力

涉及三角函數在平面幾何圖形中求邊角的取值或對應關系式的最值問題，往往需要以角為變量，構造函數來研究，需要學生具備較強的三角恒等變形的能力．當然在具體操作過程中，有時還會需要在平面幾何圖形中做垂直關系進行合理的優化運算，以長度為變量構造函數，也有時還會以某一個三角函數值為變量的，此時便要特別注意有時還有三角函數的有界性的限制．