多選題創設，多思維應用

趙偉華

摘要：含參三次函數的零點問題，是高考數學與模擬卷中常見的一類基本題型.巧妙將高次函數與函數的零點加以交匯，融合導數及其應用，交匯函數與方程、數形結合、分類討論以及化歸與轉化思想方法，是數學基礎知識、數學思想方法與數學能力協同作用的重要場所．本文結合實例在多選題背景下加以應用，引領并指導解題研究．

關鍵詞：三次函數；導數；參數；分類討論；特殊值

利用導數法來分析與解決相關函數的零點個數、結合零點個數來確定參數的值或取值范圍等問題，一直是高考數學中比較常見的一類熱點題型，難度一般也較大．具體解決問題時，方法技巧多樣，但往往都離不開對參數的化歸與轉化，以及參數之間的分類討論，甚至與函數單調性、極值與最值的綜合應用等．

1問題呈現

問題（2022屆廣東省惠州市高三（上）第三次調研數學試卷（1月份））（多選題）已知函數f（x）=x3+ax+b，a，b∈R，則下列選項中的條件使得f（x）僅有一個零點的有（）

A． a＜b，f（x）為奇函數

B． a=ln（b2+1）

C． a=－3，b2－4≥0

D． a＜0，b2+a36＞0

本題是含有兩個參數的三次函數中有關函數的零點問題．根據題目條件，若參數之間有隱藏的等量關系，則可將二元問題變成一元問題來分析與處理；若參數之間有隱藏的不等關系，則可根據該不等關系，借助判斷函數的極值的正負取值情況，從而得以判斷函數的零點個數問題．

2問題解決

方法1：（直接條件翻譯法）

解析：由題函數f（x）=x3+ax+b，求導有f′（x）=3x2+a，

對于選項A，由函數f（x）是奇函數，知b=0，

因為a＜b=0，所以函數f（x）存在兩個極值點，易知函數f（x）有三個零點，故選項A錯誤；

對于選項B，因為b2+1≥1，所以a≥0，則知f′（x）≥0，

所以函數f（x）單調遞增，則函數f（x）僅有一個零點，故選項B正確；

對于選項C，若取b=2，則f（x）的極大值為f（－1）=4，極小值為f（1）=0，此時函數f（x）有兩個零點，故選項C錯誤；

對于選項D，結合a＜0，由f′（x）=3x2+a=0，解得x=±-a3，

則知函數f（x）在－∞，－-a3上單調遞增，在－-a3，-a3上單調遞減，在-a3，+∞上單調遞增，

所以函數f（x）的極大值為f－-a3=b－2a3-a3，極小值為f-a3=b+2a3-a3，

因為a＜0，所以b2+4a327＞b2+a36＞0，所以b2＞－4a327，則b＞－2a3-a3或b＜2a3-a3，

從而f－-a3＜0或f-a3＞0，可知f（x）僅有一個零點，故選項D正確；

所以選擇答案：BD．

解后反思：根據題目條件，結合函數的求導處理，通過直接利用各選項中的條件，結合導函數的解析式并利用參數的取值情況加以“翻譯”，確定各選項所對應的不同條件下是否使得函數f（x）僅有一個零點，進而得以判斷．通過不同條件背景的構建與分析，逐一分析與判斷，是解決問題的關鍵．

方法2：（整體討論法）

解析：由題函數f（x）=x3+ax+b，求導有f′（x）=3x2+a，

（1） 若a≥0，則有f′（x）≥0，函數f（x）在R上單調遞增；

（2） 若a＜0，由f′（x）>0，解得x<－-a3或x>-a3，

則知函數f（x）在－∞，－-a3上單調遞增，在－-a3，-a3上單調遞減，在-a3，+∞上單調遞增，

又當x→－∞時，f（x）→－∞；當x→+∞時，f（x）→+∞.

對于選項A，由函數f（x）是奇函數，知b=0，結合a＜b=0，此時滿足情形（2），

因為f（x）極大>0，f（0）=0，f（x）極小<0，則知函數f（x）有三個零點，不合題意，故選項A錯誤；

對于選項B，因為b2+1≥1，所以a=ln（b2+1）≥0，此時滿足情形（1），函數f（x）僅有一個零點，故選項B正確；

對于選項C，若a=－3，b2－4≥0，則有b≤－2或b≥2，此時滿足情形（2），

當b=2時，f（x）極大=f－-a3=f（－1）=b+2>0，f（x）極小=f-a3=f（1）=b－2=0，此時函數f（x）有兩個零點，

當b>2時，f（x）極大=f－-a3=f（－1）=b+2>0，f（x）極小=f-a3=f（1）=b－2>0，此時函數f（x）有兩個零點，

同理，當b=－2時，函數f（x）有兩個零點；當b<－2時，函數f（x）有一個零點，

綜上分析，故選項C錯誤；

對于選項D，若a＜0，b2+a36＞0，此時滿足情形（2），有f（x）極大=f－-a3，f（x）極小=f-a3，

而f（x）極小·f（x）極大=b2－-a33+a·-a32=b2+4a327> b2+a36>0，則函數f（x）僅有一個零點，故選項D正確；

所以選擇答案：BD．

解后反思：根據題目條件，結合函數的求導處理，利用導函數的結構特征對參數a進行分類討論，剖析在不同情形下函數的單調性，進而通過各選項中條件，分歸不同的參數取值情形，逐一加以分析與判斷．整體把握，分類討論，是解決此類含參高次函數問題中比較常見的思維方式，但過程比較繁雜．

方法3：（特殊值法）

解析：對于選項A，由函數f（x）是奇函數，知b=0，結合a＜b=0，取a=－1，

此時函數f（x）=x3－x=x（x+1）（x－1），其有三個零點0，－1，1，故選項A錯誤；

對于選項C，結合a=－3，b2－4≥0，取b=2，

此時函數f（x）=x3－3x+2=（x+2）（x－1）2，結合函數的結構特征知該函數有兩個零點－2和1，故選項C錯誤；

綜合多選題的基本特點：至少有兩項是正確的，必有選項BD正確，

故選擇答案：BD．

解后反思：根據題目條件，并利用多選題的基本特點，多選題中至少有兩項是正確的，只要能夠明確判斷其中兩個選項是錯誤的，那么剩下的兩個選項必須都是正確的，從而得以“秒殺”處理，簡單快捷．

3教學啟示

3.1導數工具切入，零點問題突破

利用導數法來解決三次函數中的零點問題時，常見的技巧方法主要包括以下幾種：利用三次函數合理求導處理，結合分類討論以及相關的基本性質等，結合函數的單調性、極值與最值等基本性質來分析與處理；巧妙轉化函數關系式，合理構建新函數，特別是一些含有分式、根式等相關問題時，常采用構建新函數再進行求導分析與處理；通過分離參數法加以巧妙轉化與應用等．

3.2高考多選題，特征巧把握

新高考中多選題的引入與設置，給數學試卷帶來了創新的亮點，結合多選題的自身特點（至少有兩選項是正確的）以及得分規律，充分把握一些基本的解題技巧，結合考生自身的情況，可以在確定得分的前提下，合理把握解題技巧與得分策略．