矩陣高次冪的計算方法研究

李小敏 任水利 章培軍 惠小健

摘要：矩陣是高等代數研究的基礎單元，在數學理論以及工業領域中都有著非常重要的作用.矩陣高次冪的計算是矩陣理論一個非常重要的研究內容，本文對不同類型的矩陣，采用特定的方法來求其n次冪，這些計算方法可以達到簡化矩陣高次計算過程和降低計算復雜度的效果.

關鍵詞：矩陣；冪；二項式；特征值；若當標準型

矩陣是從實際問題中抽象出來的一個概念，它是線性代數與高等代數中一個非常重要的部分.在機械工程、自動化、經濟管理等領域有著廣泛的應用.隨著科技的發展，對矩陣計算的復雜度要求越來越高.而在矩陣的各種研究中，矩陣乘法計算的復雜程度較大，矩陣高次冪的計算有很多種方法［1］-［5］，本文根據矩陣所具有的不同特性，在計算過程中采用不同的計算方法，使得計算過程比較簡單，計算復雜度較低，也有助于快速得到計算結果，下面，分別來討論矩陣高次冪的各種計算方法.

1利用數學歸納法計算

矩陣高次冪計算的數學歸納方法，就是通過對所給矩陣二次、三次、四次冪等的計算來發現規律，歸納出其n次冪的結果，再用數學歸納方法加以證明.

2利用二項式展開計算

3利用乘法結合律計算

若某個矩陣A能分解成行向量和列向量的乘積，即A=αβT，其中α為n×1列向量，βT為1×n行向量，那么βTα就是一個實數，因此，矩陣A的高次冪計算可以利用矩陣乘法結合律來簡化，即An=αβT·αβT·αβT…αβT=α·βTα·βTα…βTα·βT=（βTα）n－1αβT=（βTα）n－1A.

4利用相似對角化法計算

當矩陣A可對角化時，即存在可逆矩陣P，使得A=PΛP－1，其中Λ為對角矩陣.于是

5利用低次冪的殊類型計算

有些矩陣的低次冪和一些特殊類型的矩陣有關，即如果存在A2=ΔE，其中Δ為一常數，那么A的高次冪計算就變得非常容易.

6利用矩陣分塊法計算

7利用HamiltonCayley定理計算

8利用若當標準型計算

事實上，每一個矩陣n次冪的計算都可以化為其若當標準型n次冪的計算，但是，在求矩陣A的若當標準型時，要求矩陣A的特征值和特征向量，這是一個非常麻煩的過程.因此，在計算矩陣高次冪時，可以先對矩陣進行觀察，在以上的簡便方法都不能使用的情況下，再用若當標準型來計算［6，7］.

可以取X1=α1，但是不能簡單地取X2=α2.這是因為如果X2選取不當會使得第三個線性方程組無解.由于α1，α2的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應該取X2=k1α1+k2α2，使得第三個非齊次方程有解，即其系數矩陣和增廣矩陣有相同的秩，容易計算出其系數矩陣的秩為1，從而應該使得增廣矩陣I－A，－X2的秩也為1.

容易看出只要k1=k2就會使得上述增廣矩陣的秩為1.令k1=k2=1于是X2=α1+α2=2，1，1T.

再由第三個方程解出一個特解為X3=2，0，1T，那么所求的相似變換為

參考文獻：

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基金項目：1. 西京學院教學改革研究項目“面向解決復雜工程問題的應用型人才數學應用能力培養研究與實踐”（項目編號：JGGH2104）；2. 2021年陜西省教育部產學合作協同育人項目“《高等數學》課程教學改革與金課建設”（項目編號：292102545017）；3. 陜西省高等教育學會2021年度高等教育科學研究項目“互聯網+背景下大學生數學應用能力的研究與實踐”（項目編號：XGH21282）；4. 陜西省教育科學“十四五”規劃2021年度一般課題“面向解決復雜工程問題的應用型人才數學應用能力培養實踐研究”（項目編號：SGH21Y0286）.