矩陣高次冪的計(jì)算方法研究

李小敏 任水利 章培軍 惠小健

摘要：矩陣是高等代數(shù)研究的基礎(chǔ)單元，在數(shù)學(xué)理論以及工業(yè)領(lǐng)域中都有著非常重要的作用.矩陣高次冪的計(jì)算是矩陣?yán)碚撘粋€(gè)非常重要的研究?jī)?nèi)容，本文對(duì)不同類型的矩陣，采用特定的方法來(lái)求其n次冪，這些計(jì)算方法可以達(dá)到簡(jiǎn)化矩陣高次計(jì)算過(guò)程和降低計(jì)算復(fù)雜度的效果.

關(guān)鍵詞：矩陣；冪；二項(xiàng)式；特征值；若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

矩陣是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)概念，它是線性代數(shù)與高等代數(shù)中一個(gè)非常重要的部分.在機(jī)械工程、自動(dòng)化、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.隨著科技的發(fā)展，對(duì)矩陣計(jì)算的復(fù)雜度要求越來(lái)越高.而在矩陣的各種研究中，矩陣乘法計(jì)算的復(fù)雜程度較大，矩陣高次冪的計(jì)算有很多種方法［1］-［5］，本文根據(jù)矩陣所具有的不同特性，在計(jì)算過(guò)程中采用不同的計(jì)算方法，使得計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度較低，也有助于快速得到計(jì)算結(jié)果，下面，分別來(lái)討論矩陣高次冪的各種計(jì)算方法.

1利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算

矩陣高次冪計(jì)算的數(shù)學(xué)歸納方法，就是通過(guò)對(duì)所給矩陣二次、三次、四次冪等的計(jì)算來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出其n次冪的結(jié)果，再用數(shù)學(xué)歸納方法加以證明.

2利用二項(xiàng)式展開(kāi)計(jì)算

3利用乘法結(jié)合律計(jì)算

若某個(gè)矩陣A能分解成行向量和列向量的乘積，即A=αβT，其中α為n×1列向量，βT為1×n行向量，那么βTα就是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此，矩陣A的高次冪計(jì)算可以利用矩陣乘法結(jié)合律來(lái)簡(jiǎn)化，即An=αβT·αβT·αβT…αβT=α·βTα·βTα…βTα·βT=（βTα）n－1αβT=（βTα）n－1A.

4利用相似對(duì)角化法計(jì)算

當(dāng)矩陣A可對(duì)角化時(shí)，即存在可逆矩陣P，使得A=PΛP－1，其中Λ為對(duì)角矩陣.于是

5利用低次冪的殊類型計(jì)算

有些矩陣的低次冪和一些特殊類型的矩陣有關(guān)，即如果存在A2=ΔE，其中Δ為一常數(shù)，那么A的高次冪計(jì)算就變得非常容易.

6利用矩陣分塊法計(jì)算

7利用HamiltonCayley定理計(jì)算

8利用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算

事實(shí)上，每一個(gè)矩陣n次冪的計(jì)算都可以化為其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型n次冪的計(jì)算，但是，在求矩陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，要求矩陣A的特征值和特征向量，這是一個(gè)非常麻煩的過(guò)程.因此，在計(jì)算矩陣高次冪時(shí)，可以先對(duì)矩陣進(jìn)行觀察，在以上的簡(jiǎn)便方法都不能使用的情況下，再用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)計(jì)算［6，7］.

可以取X1=α1，但是不能簡(jiǎn)單地取X2=α2.這是因?yàn)槿绻鸛2選取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)線性方程組無(wú)解.由于α1，α2的任意線性組合都是前兩個(gè)方程組的解，所以應(yīng)該取X2=k1α1+k2α2，使得第三個(gè)非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣I－A，－X2的秩也為1.

容易看出只要k1=k2就會(huì)使得上述增廣矩陣的秩為1.令k1=k2=1于是X2=α1+α2=2，1，1T.

再由第三個(gè)方程解出一個(gè)特解為X3=2，0，1T，那么所求的相似變換為

參考文獻(xiàn)：

［1］ 陳建華，衛(wèi)聞逸，蘇韻.矩陣分解思想解題意義探究［J］.理科愛(ài)好者（教育教學(xué)），2021（6）：1-2.

［2］ 張海濤.n階方陣高次冪的求解方法［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，36（1）：24-26.

［3］ 劉素兵，曲娜，曹大志.關(guān)于方陣的特征值與特征向量教學(xué)的探討［J］.高師理科學(xué)刊，2017，37（10）：62-65.

［4］ 閆樹(shù)熙.方陣高次冪的求解研究［J］.榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，22（4）：40-43.

［5］ 劉愛(ài)蘭.矩陣高次冪的計(jì)算方法［J］.上海電力學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（1）：93-96.

［6］ 王萼芳，石生名.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［7］ 藺小林.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.西安：陜西人民出版社，2002.

［8］ 蘇靜霞，馬紹文.基于“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：16-18.

［9］ 馮源，張曉貴.基于認(rèn)知負(fù)荷理論的中學(xué)幾何證明習(xí)題教學(xué)策略研究［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：2-4.

［10］ 魯和平.構(gòu)造余弦定理模型解題［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：68-70.

［11］ 郭影影.借高考題談單項(xiàng)選擇題解題策略［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：83-85.

［12］ 劉艷鮮.利用Geogebra開(kāi)展線性規(guī)劃問(wèn)題探究例析［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：77-79.

［13］ 王思儉.基于單元教學(xué)情景的新概念課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與研究——以《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（2）：14-18.

［14］ 李青.數(shù)學(xué)教學(xué)視域下的“李約瑟難題”探析［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（2）：4-7.

基金項(xiàng)目：1. 西京學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目“面向解決復(fù)雜工程問(wèn)題的應(yīng)用型人才數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)研究與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：JGGH2104）；2. 2021年陜西省教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革與金課建設(shè)”（項(xiàng)目編號(hào)：292102545017）；3. 陜西省高等教育學(xué)會(huì)2021年度高等教育科學(xué)研究項(xiàng)目“互聯(lián)網(wǎng)+背景下大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的研究與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：XGH21282）；4. 陜西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度一般課題“面向解決復(fù)雜工程問(wèn)題的應(yīng)用型人才數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：SGH21Y0286）.