一維六方壓電準晶雙材料界面共線裂紋問題

盧紹楠, 趙雪芬, 馬園園

(1. 寧夏大學 數(shù)學統(tǒng)計學院, 銀川 750021;2. 寧夏大學新華學院, 銀川 750021)

0 引 言

1982年發(fā)現(xiàn)的準晶具有宏觀對稱性和結(jié)構(gòu)上的完全有序性[1]．常溫下準晶呈脆性, 其對裂紋、孔洞、位錯等缺陷非常敏感[2]．為了使準晶材料被充分利用, 研究裂紋、位錯等缺陷具有一定的意義．在考慮表/界面效應下, 蘇夢雨等[3]分析了納米尺度下一維六方準晶中含有橢圓形裂紋孔的Ⅲ型斷裂問題; Cheng等[4]研究了一維六方準晶矩形板在有限維度下的斷裂問題; 利用復變函數(shù)方法和Stroh公式, 張炳彩等[5]研究了一維六方準晶中孔邊不對稱共線界面裂紋問題．借助邊值問題, Su等[6]研究了一維六方準晶中納米橢圓孔邊裂紋的Ⅲ型斷裂問題．利用廣義Stroh公式, Radi等[7]求解了二維十次對稱準晶直線裂紋問題．通過構(gòu)造廣義保角映射, 高媛媛等[8]研究了一維正交準晶中具有穿透性的橢圓孔口的平面彈性問題．

壓電準晶相較普通的壓電材料而言具有更廣闊的應用前景．基于保角映射技術(shù), 在部分滲透邊界條件下, Yang等[9]討論了一維六方壓電準晶中帶兩個非對稱裂紋橢圓孔的斷裂問題．Hu等[10]研究了不同準晶材料之間的界面裂紋問題．運用Fourier積分變化, Zhou和Li[11-12]分別研究了有限厚度一維六方壓電準晶板中幣形裂紋和Yoffe型運動裂紋問題．利用Schwarz-Christoffel變換, 劉興偉等[13]研究了一維六方壓電準晶中正n邊形孔邊裂紋問題．

由兩種材質(zhì)不同的準晶材料沿界面結(jié)合在一起, 稱為“準晶雙材料”．目前, 關(guān)于準晶雙材料界面斷裂問題的研究多采用積分方程方法, 得到的是數(shù)值解, 外載荷多為均勻分布．集中載荷作用下壓電準晶雙材料界面多裂紋問題的研究還未有文獻報道．基于此, 本文利用復變函數(shù)方法求解了集中載荷(力和電荷)作用下壓電準晶雙材料界面共線裂紋反平面問題, 得到了形式簡潔的裂紋尖端場強度因子(包含聲子場、相位子場應力強度因子和電位移強度因子)的解析解．解析解嚴謹性更強,且在工程計算中更加便捷, 同時解析解對于理解物理現(xiàn)象和本質(zhì)具有重要的作用和意義．

1 一維六方壓電準晶基本公式

取z1軸為一維六方壓電準晶準周期方向,xOy面為其周期平面, 建立直角坐標系．此時, 一維六方壓電準晶反平面彈性平衡方程為[14]

?2uz1=0, ?2wz1=0, ?2v=0．

(1)

其通解為[15]

uz1=Reφ(z),wz1=Reψ(z),v=Reη(z)．

(2)

應力分量表示為[14]

(3)

2 一維六方壓電準晶雙材料反平面彈性問題

如圖1所示, 上下平面分別為彈性常數(shù)不同的一維六方壓電準晶材料, 記上半平面為S+,下半平面為S-．上下半平面的量分別用上標1和2標記．設(shè)反平面集中力P(假設(shè)作用在聲子場的力為P1,作用在相位子場的力為P2)和電荷Q集中作用在S+內(nèi)任意點z0處．這里沿實軸的區(qū)間L=L1+L2+…+Ln,Lj上兩種一維六方壓電準晶材料完全黏合, 應力和位移保持連續(xù), 即

圖1 集中載荷作用于含共線界面裂紋的一維六方壓電準晶雙材料Fig. 1 A 1D hexagonal piezoelectric quasicrystal bimaterial with collinear interfacial cracks under a concentrated load

(4)

(5)

沿界面其余部分L′=L′1+L′2+…+L′n互相裂開, 其中L′i表示第i條有限長裂紋．假設(shè)在裂紋上無面力作用, 裂紋端點依次是a1,b1;a2,b2;…;an,bn,

(6)

3 集中載荷作用下一維六方壓電準晶雙材料界面共線裂紋反平面彈性問題求解

如圖1, 由式(2), 在S+內(nèi), 設(shè)

(7)

式中,M1,M2,M3的表達式見附錄,φ10(z),ψ10(z)和η10(z)在S+內(nèi)全純．

在S-內(nèi)無集中作用載荷, 可設(shè)

(8)

這里,φ2(z),ψ2(z)和η2(z)在S-內(nèi)全純．

由Schwarz對稱原理[16], 對φ′1(z),ψ′1(z),η′1(z)和φ′2(z),ψ′2(z),η′2(z)做如下的延拓：

(9)

將式(7)代入式(9)得到

(10)

式中,φ10(z),ψ10(z)和η10(z)在沿L隔開的全平面全純,

(11)

在S-內(nèi)無外載荷作用, 故φ′2(z),ψ′2(z)和η′2(z)在S-內(nèi)全純, 做如式(10)的解析延拓可知,φ′2(z),ψ′2(z)和η′2(z)在沿L割開的全平面全純．

注意到式(4)和式(6), 下式成立：

因此有

(12)

其中,t屬于全實軸．

根據(jù)推廣的Liouville定理[17], 并考慮式(9)和式(10)有

(13)

這里,z屬于全平面,D0,D1,D2為待定常數(shù)．

由位移連續(xù)條件, 可得

(14)

其中,N1,N2,N3,D3,D4,D5的表達式見附錄．

式(14)的積分形式解為

(15)

其中

(16)

X0(z)是沿L割開的z平面上的單值分支, 滿足

(17)

(18)

計算式(15)中的積分后, 得到

(19)

在φ′2(z),ψ′2(z)和η′2(z)中,有c0,c1,…,cn,d0,d1,…,dn,f0,f1,…,fn,D3,D4和D5共3(n+2)個常數(shù)需要確定, 這就需要3(n+2)個方程．根據(jù)無窮遠處的受力情況, 可得到6個常數(shù); 其余3n個方程由位移單值條件導出．式(13)僅利用了L兩邊(S+與S-)聲子場和相位子場位移的導數(shù)相等．另外還需補充在n個裂紋端點處位移相等的條件以滿足L上兩邊位移相等．由各裂紋兩端位移相等, 有

(20)

考慮式(13), 得

(21)

其中j=1,2,…,n．

4 特 例

φ′i(∞)=ψ′i(∞)=ηi′(∞)=0．

(22)

將式(22)代入式(13), 得到

D0=0,D1=0,D2=0,D3=0,D4=0,D5=0．

(23)

由式(15)和式(22),可得

c0=d0=f0=0．

(24)

4.1 一條有限長界面裂紋

如圖2所示, 設(shè)界面上有一條從a到b的裂紋, 在S+內(nèi)任意點z0處作用集中載荷．此時n=1,則

圖2 集中載荷作用在含一條界面裂紋的壓電準晶雙材料Fig. 2 A piezoelectric quasicrystal bimaterial with an interfacial crack subjected to a concentrated load

Pn(z)=c1,Qn(z)=d1,Fn(z)=f1,

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

下面確定常數(shù)c1和d1,由式(21)和式(23)可得

(30)

考慮圍道積分, 由留數(shù)定理得

c1=N1,d1=N2,f1=N3．

(31)

(32)

其中,B1,B2,B3,E1,E2,E3,G1,G2,G3的表達式見附錄．

4.2 兩條有限長界面裂紋

如圖3所示, 設(shè)界面上有兩條等長的裂紋, 裂紋端點依次為-b,-a,a,b,在S+內(nèi)任意點z0處作用集中載荷．當n=2時,

圖3 集中載荷作用在含兩條界面裂紋的壓電準晶雙材料Fig. 3 A piezoelectric quasicrystal bimaterial with 2 interfacial cracks subjected to a concentrated load

Pn(z)=c1z+c2,Qn(z)=d1z+d2,Fn(z)=f1z+f2,

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

5 裂紋尖端場強度因子

計算雙材料界面裂紋Ⅲ型場強度因子[18]：

(40)

5.1 一條界面裂紋

1) 任意位置受集中載荷

如圖2, 將式(19)和式(31)代入式(40)得

(41)

其中I1,I2,I3,J,L1,L2,L3的表達式見附錄．

2) 裂紋面上受集中載荷作用

如圖4所示, 當z0→t,t為上半平面上任意點時, 由式(41)可得

(42)

令t→0,由式(42)可得

(43)

3) 裂紋面上受均布集中載荷

如圖5所示, 在上半平面裂紋面上, 任意區(qū)段(a,b)受均布集中載荷作用, 由式(42)積分得

圖5 單個界面裂紋面上受均布集中載荷Fig. 5 A single interfacial crack surface subjected to uniformly distributed concentrated loads

(44)

當a=-l,b=l,載荷布滿裂紋面時,

(45)

5.2 兩條界面裂紋

1) 任意位置z0受集中載荷作用

結(jié)合兩條有限長界面裂紋的情形, 將式(19)代入式(40), 并考慮到式(38), 在裂紋尖端x=a處

(46)

其中

在裂紋尖端x=b處

(47)

其中

2) 裂紋面上受集中載荷作用

圖6 集中載荷作用在界面裂紋面Fig. 6 A concentrated load applied to the interface crack surface

(48)

式中

在裂紋尖端x=b處, 令z0→t,得

(49)

6 數(shù) 值 算 例

從式(49)中可以看出, 裂紋尖端場強度因子與彈性常數(shù)、外載荷以及裂紋長度的取值有關(guān)．數(shù)值算例分別討論集中力和電荷、雙材料耦合系數(shù)之比不同時,場強度因子隨裂紋長度的變化規(guī)律．本節(jié)僅討論一條界面裂紋受反平面集中載荷作用下的情形．一維六方壓電準晶雙材料彈性常數(shù)如表1所示[19]．

表1 一維六方壓電準晶雙材料彈性常數(shù)

7 結(jié) 論

本文研究了一維六方壓電準晶雙材料在集中載荷(力和電荷)作用下共線裂紋的反平面彈性問題．基于復變函數(shù)理論, 把彈性問題轉(zhuǎn)化為解析函數(shù)邊值問題進行求解, 得到了裂紋尖端場強度因子的解析解．作為特例, 給出了不同載荷作用下含有一條和兩條界面裂紋的封閉解．數(shù)值算例分析了場強度因子隨裂紋長度、外載荷以及雙材料耦合系數(shù)之比改變時的變化趨勢．

致謝本文作者衷心感謝寧夏大學新華學院科學研究基金項目重點項目(23XHKY01)對本文的資助．

附 錄

① 式(7)中的M1,M2,M3表達式如下：

(A1)

其中

② 式(14)中的N1,N2,N3,D3,D4,D5表達式如下：

(A2)

(A3)

其中

③ 式(32)中的B1,B2,B3,E1,E2,E3,G1,G2,G3表達式如下：

(A4)

(A5)

(A6)

④ 式(41)中的J,I1,I2,I3,L1,L2,L3表達式如下：

(A7)

(A8a)

(A8b)

(A8c)