初中幾何問題的解答探析

施燁

摘 要：初中幾何問題的解答中，圖形的旋轉是十分常見的，通過圖形的旋轉，不僅能夠使復雜圖形旋轉改變為易于理解的圖形，而且還能使學生思考與解題的過程得到有效簡化，從而使幾何問題實現高效解答.

關鍵詞：初中數學；幾何問題；解答；圖形的旋轉

初中數學的新課標中明確提出：學生能通過實物的形象聯想到幾何圖形，再從幾何圖形聯想到實物形狀，以實現幾何體與其本身的展開圖、三視圖的有效轉化；可以依據一定的條件畫出相應的幾何圖形；從復雜圖形當中分解得到基本圖形，且分析出其涉及的基本元素與關系；可以描述出幾何圖形的具體變化及其運動軌跡；可以通過合適的方式呈現出物體之間存在的位置關系；可以通過圖形更直觀地說出幾何問題，并加以直觀思考.因此，初中數學的幾何問題解答過程中，教師需注重圖形的旋轉相關技巧的講解，以此使學生通過旋轉幾何圖形，實現解題過程的簡化，促進解題正確率與效率的提高.

1 圖形的旋轉及其價值概述

1.1 圖形的旋轉概述

圖形的旋轉通常包含了三個方面：

第一，旋轉：主要指平面內，把圖形按照某個定點順著一個方向、相同角度進行轉動，圖形的這一運動過程就被稱作為旋轉.

第二，旋轉三要素：主要指旋轉的中心、旋轉的角度以及旋轉的方向.

第三，旋轉的性質：旋轉的過程中，會發生改變的通常是圖形的具體位置，而不會改變的則是圖形本身的大小、形狀及其對應的線段與角度.

初中生在對幾何問題進行解答時，通常無法對圖形的旋轉進行有效運用，鑒于此，數學教師就需立足于上述內容，引導學生靈活運用圖形的旋轉進行幾何題解答，解題步驟為：（1） 找到被旋轉的圖形；（2） 找到旋轉圖形的具體旋轉中心、角度、方向，有些只是注重位置，通過位置則能推測得到旋轉的具體方向與角度；（3） 找到圖形旋轉之后得到的新圖形，對于不完整的圖形，則需對其實施補充；（4） 通過數學符號標志出相應的角與邊等相關等量關系；（5） 與圖形相結合，經過“綜合法”“分析法”等，實現靜態化的幾何問題分析，以獲得相應的結論.通過上述步驟，能更好地理解到上述的相關概念，且正確地理解到圖形的旋轉對于幾何問題的解答的重要性［1］.

1.2 圖形的旋轉運用于幾何題解答的價值

第一，有助于學生從不同角度認識到幾何圖形.立足于圖形的旋轉角度進行幾何圖形認識，通常能夠使學生從多個方向學習與掌握圖形具備的結構特征及其性質.除此之外，通過圖形的旋轉，還能使學生學會從變化的角度思考問題，從而使學生的多元化思維形成獲得充足的空間.

第二，有助于學生探究幾何圖形具備的性質.幾何問題的解答教學中，可引導學生把幾何圖形旋轉的基礎性質作為出發點，對于圖形旋轉形成初步認識，并將基礎性質的變化當做深層次認識幾何圖形的方法.這種情況下，學生通過對圖形性質的有效探索，既能深化對于圖形旋轉的理解，又能了解與掌握圖形具備的性質.如，圓不僅屬于軸對稱圖形，而且還屬于特殊化中心對稱的圖形［2］.因為其對稱性相對特殊，在具體教學時，就可以引導學生從軸對稱旋轉變化的方式對圓進行認識，并掌握到圓的性質.通過圖形的旋轉進行圓的有關內容講解，既簡便、直觀，又能使學生將知識遷移至和圓有關的圖形當中學習，從而使學生更好地解決相關幾何問題.

第三，有助于學生形成相應的推理能力.就幾何圖形來說，其具備形象、直觀的特征，學生經過親自操作，立足于直觀感知，探究得到圖形具備的幾何性質，以此使靜止圖形在學生的頭腦當中真正旋轉起來，從而使學生形成相應的推理能力，培養學生自身的圖形觀察、直覺、探索、操作等各項能力，這對學生解答幾何問題有著顯著意義［3］.如，在對等腰三角形具備的性質進行探究時，可引導學生通過等腰三角形的模具制作，將其兩腰進行折疊與重合，以促使學生了解到等腰三角形屬于軸對稱圖形，以此為前提，學生就能極其容易地了解到等腰三角形兩個底角是相等的，這既能讓學生得到相應的結論，又能促進學生自身的推理能力形成.

第四，有助于學生形成良好思維品質.初中數學的幾何圖形旋轉主要是對圖形處于變化、運動中的不變量以及不變性當中極其特殊的情況進行研究，常規幾何的旋轉主要是從變化、運動的角度對幾何圖形具備的性質進行探究，并通過圖形的旋轉，更形象且直觀地解決相關幾何問題，以此使學生形成靈活、敏捷的數學思維.

2 初中幾何問題解答中圖形旋轉的運用策略

2.1 點的旋轉

例1 平面直角坐標系當中，將原點當做對稱中心，將A點（3，4）進行逆時針旋轉90°，可得出B點，B點的坐標是（）.

A. （4，-3） B. （-4，3） C. （-3，4） D. （-3，-4）

解析：依據題意畫出圖1，構建相應的平面直角坐標系，依據旋轉性質，就能證明△AOC≌△BOD，這就能得出OD=OC=3，BD=AC=4.所以，B點的坐標是（-4，3）.

評析：本題主要是對旋轉具備的性質以及點的坐標等相關知識進行考查，對圖形的旋轉概念及其性質進行有效理解通常是得出三角形全等的重中之重，只有如此，才能更高效地求解出點B的坐標.

2.2 線段的旋轉

例2 如圖2所示，Rt△ABC的一條斜邊AB圍繞A點進行順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得出線段AE，將直角邊圍繞A點進行逆時針旋轉β（0°＜β＜90°）得出線段AF，將EF兩個點進行連接.如果AB=3，AC=2，且存有α+β=∠B，可得到EF=______.

解析：依據旋轉具備的性質，能夠得出AE=AB=3，AC=AF=2，又由于∠B+∠BAC=90°，且條件給出α+β=∠B，由此可以得出∠BAC+α+β=90°，推導可得∠EAF=90°，在Rt△AEF當中，通過三角形的勾股定理能夠得到EF=√（AE2+AF2）= √13.

評析：本題主要就是對“對應點至旋轉中心之間的距離是相等的”的旋轉性質以及三角形的“勾股定理”相關內容進行考查，通過對圖形旋轉具備的性質進行靈活運用，則能實現本題的有效解答［4］.

2.3 角的旋轉

例3 如圖3所示，已知∠AOB=60°，OM為∠AOB的平分線，在OM上存有一點C，把角度為120°的角頂點與C點進行重合，其兩條邊分別和直線OA、OB相交于D、E兩點.

（1） 將∠DCE圍繞C點旋轉至CD垂直于OA的時候，詳見圖3，請猜想得到OE+OD和線段OC存在的數量關系，并表述出具體理由；

（2） 將∠DCE圍繞C點旋轉至CD不垂直于OA的時候，詳見圖4，此時，（1）中的結論成立與否？請表述出具體理由；

（3） 將∠DCE圍繞C點旋轉至CD與OA反向延長線相交的時候，（1）（2）中的結論成立與否？請于圖5中畫出相應的圖形，如果成立，請給出證明；如果不成立，則明確線段OD、OE和OC存有的數量關系，寫出猜想即可.

解析：（1） 依據題意∠AOB=60°，可知∠OCE=60°，通過三角函數中的特殊角，可以得到OD=（√3/2）OC，依據同理得到了OE=（√3/2）OC，由此可以得到OE+OD和線段OC存在的數量關系為OE+OD=（√3）OC.

（2） 依據圖4可知，經過點C作出CF⊥OA相交于F點，CG⊥OB相交于G點，依據（1）中的方法進行證明，可得出OF+OG=（√3）OC.

通過“ASA”可證明得到△CFD≌△CGE，推導可知DF=EG.此時，可以得出OE+OD=3OC，所以，（1） 中得到的結論仍舊成立.

（3） 依據圖5可畫出圖6，并得出（1）中的結論是不成立的，其結論是OE-OD=3OC.首先，過C點作出CF⊥OA相交于F點，CG⊥OB相交于G點，依據（1）證明的方法，可以得到OF+OG=3OC，通過“ASA”可證明得到△CFD≌△CGE，推導可知DF=EG.由此可推導得到OE-OD=OF+OG=3OC.

評析：本題主要就是對旋轉具備的性質、角平分線的定義與定理、全等三角形具備的性質及其判斷、三角函數的特殊角等相關內容實施考查，做出正確輔助線成為本題解答的重中之重［5］.

2.4 四邊形的旋轉

例4 如圖7所示，菱形ABCD的頂點A與D位于直線l上，∠BAD=60°，將A點當做旋轉的中心，把整個菱形進行順時針旋轉，旋轉角度為α（0°＜α＜30°），由此可得出菱形AB′C′D′，B′C′與對角線AC相交在M點上，C′D′與直線l相交在N點上，將MN連接起來.

（1） MN∥B′D′的時候，求取角α為多少？

（2） 如圖8所示，對角線B′D′和線段AC相交于H點，與直線L相交于G點，將C′B′延長與AB相交于E點，將E、H兩點進行連接，當△HEB′的周長是2的時候，求解出菱形ABCD的周長是多少？

解析：（1） 依據旋轉的性質可知，∠BAB′=∠DAD′，依據菱形具備的性質與∠BAD=60°，MN∥B′D′，依據“SAS”則能證明出△AB′M≌△AD′N，因此，∠B′AM=∠D′AN=∠BAB′=15°，即角α為15°.

（2） 依據旋轉以及菱形具備的性質，可以得到∠BAB′=∠DND′，AB′=AD′，∠AB′E=∠AD′G，通過“SAS”則能證明出△AEB′≌△AGD′，由此可得：EB′=GD′，AE=AG，再通過“SAS”可證明得到△AHE≌△AHG，由此可知EH=GH，即B′D′=2，最終可得到菱形ABCD的周長是8.

評析：本題主要就是對旋轉具備的性質、菱形具備的性質、等邊三角形的具體判定及其具備的性質等各方面知識進行考查，通過動靜結合的解題思想，找出全等三角形，以此得到菱形的一邊長度，從而得到本題的有效解答［6］.

2.5 三角形的旋轉

例5 Rt△ABC當中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，把△ABC圍繞著C點進行順時針旋轉，其旋轉角度是α，旋轉后得出的三角形為△DEC，A、B點對應著的點為D、E.

（1） 圖9中，E點處于AC上的時候，求取∠ADE的度數為多少；

（2） 如果旋轉的角度α為60°，F點為AC邊的中點，如圖10中，請證明四邊形BEDF為平行四邊形.

解析：（1） 依據旋轉具備的性質，可以得出△DEC≌△ABC，由此可得到：CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，以及∠CAD=∠CDA=75°，又由于∠ABC=∠DEC=90°，經過推導能夠得到∠ADE=15°.

（2） 依據∠ABC=90°，∠ACB=30°，且F點為線段AC的中點，此時可以得到AB=BF=AF=FC，再加上△DEC是△ABC圍繞著C點進行α順時針旋轉所得到的，由此可得：∠BCE=∠ACD=60°，且CB=CE，DE=AB，推導得知ED=BF，又△CFD≌△ABC，DF=BC=EB，據此可證明BEDF為平行四邊形.

評析：本題主要是對旋轉具備的性質、直角三角形具備的性質、全等三角形具備的性質以及判定平行四邊形等有關知識進行考查，本題解答的關鍵就是旋轉的性質理解與掌握.

3 結束語

綜上所述，通過圖形的旋轉進行幾何問題解答，主要就是按照題設，做出相應的旋轉，并與特殊圖形以及幾何定理有效結合，獲得相應的答案.圖形的旋轉屬于幾何問題有效解答中十分新穎的方法，有著顯著的特殊性與規律性，因此，數學教師在具體教學時，需注重引導學生關注圖形旋轉的相關思想與內容，并滲透適合的知識點，以實現數學學習脈絡的有效構建，并引導學生通過自主探究掌握圖形旋轉的解題技巧與方法，這不僅可以使學生充分掌握相關數學知識，而且還能促進學生自身的思維能力，從而使學生形成相應的探究精神.

參考文獻：

［1］ 蘇婷.基于幾何直觀能力發展的數學深度學習研究——以“圖形的旋轉”為例［J］.安徽教育科研，2018（14）：120122.

［2］ 吳淑玲.關注變換方法，解題應用探究——以三大圖形變換法為例［J］.數學教學通訊， 2021（35）：7475.

［3］ 凌潔.把握過程，應用特性，突破旋轉——以中考幾何旋轉題的探究為例［J］.數學教學通訊，2019（5）：7879+88.

［4］ 李永樹.巧用旋轉思想 妙解幾何問題［J］.科學咨詢，2017（2）：6869.

［5］ 楊海蓮.旋轉之魅力——探尋初中數學中圖形變化的奧妙［J］.初中生輔導，2021（36）：4655.

［6］ 薛瓊.感知旋轉方法，感悟模型應用——對幾何旋轉法及模型的探究與思考［J］.數學教學通訊，2019（14）：8688.