概念生成階段要重視運用啟發式教學方法

肖冬

摘 要：為了避免概念新授課時出現“一個定義、三項注意、大量練習”的教學現象，在概念引入時要精心選編問題情境，隨后“去情境化”得出概念的本質特征，再引導學生概括出數學新對象的定義，整個過程都要貫徹啟發式教學方法.這既是“新課標”的要求，也是切實提升概念教學質量的有效做法.

關鍵詞：概念教學；啟發式教學；去情境化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）中要求“選擇能引發學生思考的教學方法”，強調要“改變單一講授式教學方式，注重啟發式、探究式、等方式”.日常教學中，教師在解題教學時面對學生的讀不懂題意、無從下手、思路進展不順、錯解、漏解往往都會進行必要的啟發、示意，啟發式教學大多見諸于解題教學的場景.那么，在概念教學的新授環節，如何貫徹《課標（2022年版）》所提出的“啟發式”呢？本文結合一些具體的案例，給出筆者的實踐與思考.

1 貫徹啟發式教學方法的案例概述

案例1 有理數的乘方運算

啟發式問題1：加法算式（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）可以簡寫為乘法運算（-3）×5；類似的，乘法運算（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3）怎么簡寫呢？

預設：學生在小學階段就接觸過平方、立方運算，應該可以順利簡寫成（-3）⁵.為進一步引出乘方運算am提供了一個數學情境.

啟發式問題2：可以發現乘方是乘法運算“升級”而來，那么如何進行乘方運算呢？比如（-2）⁵，結果是多少？你是怎么計算的？

預設：這個問題比較簡單，學生很快能算出結果，進一步就是組織學生研究乘方運算所得結果“冪”的符號規律.

案例解讀：從學生已有經驗出發，自然定義乘方運算及表示方法，接著就是引導學生“回到舊知”，根據乘法研究乘方運算，并歸納、概括“冪”的符號規律.整個教學過程，貫穿著啟發式教學，教師只有少量的講授（比如乘方運算的結果稱之為“冪”）和必要的新知的板書示范.

案例2 對頂角相等的新知探究

啟發式問題1：兩條直線相交，可以得到4個角（小于平角的角），請同學們研究這4個角有怎樣的數量和位置關系？

預設：有一條公共邊的兩個角互為補角（教師順勢給出“鄰補角”的概念）；沒有公共邊的兩個角相等（教師順勢給出“對頂角”的概念）.進一步，讓學生討論一下，如何來定義鄰補角、對頂角.學生經過討論、完善，揭示出它們的本質特征之后，教師再一起進行規范的表述，并對這兩種角的定義進行板書.

啟發式問題2：剛才同學們提到對頂角是相等的，你們是直接看出來的嗎？能不能運用已學過的幾何定理或性質進行推理證明？

預設：學生可借助鄰補角的定義，等式性質進行推理證明，感受到數學證明的嚴謹.

案例解讀：平面幾何入門階段就讓學生知曉研究幾何圖形的形狀、大小與位置關系，沿著這個研究路徑，研究兩條直線相交所形成的4個角的數量與位置關系.啟發學生歸納、概括出它們的大小和位置關系之后，就已初步理解了鄰補角、對頂角的性質，為進一步明確它們的定義做足了準備.

案例3 角平分線的性質定理（八年級全等學習之后）

啟發式問題1：同學們回憶一下，直線外一點到直線的距離是如何定義的？舉例說說.角平分線上的一點，到角一邊的距離如果是2cm，你能否畫圖分析該點到角的另一邊的距離是多少？

預設：先進行舊知回顧，讓學生準確理解直線外一點到直線的距離是過該點到直線的垂線段的長度.然后再過渡到角平分線上一點到角的兩邊距離相等的構圖，并直觀感知“角平分線上一點到角的兩邊距離相等”.

啟發式問題2：剛才有些同學是通過度量發現角平分線上一點到角的兩邊距離相等，我們知道度量有時會有誤差，如果我們在角平分線上換一點，再看看這個點到角的兩邊距離還是相等的嗎？能否不再度量，運用已學的全等的知識，證明這個結論呢？

預設：學生在以上啟發之下，應該可以想到判定兩個三角形全等即可得出結論.教師進而給出角平分線的這個性質定理的文字語言、符號語言.

案例解讀：角平分線的性質定理需要讓學生理解兩個關鍵，一是回顧復習點到直線的距離；二是運用全等三角形來推理證明.教學時注意啟發學生暴露這兩個“關鍵”，如果學生說得太快，可以通過追問讓他們充分展開自己的理解，并讓理解得慢一點的學生再次復述證分析或證明思路.

2 關于概念教學運用啟發式的進一步思考

2.1 基于情境，預設啟發式引導語引入新課

概念教學在引入新課時，都需要設計一個問題情境，然后基于情境，讓“問題驅動”^［1］教學進程.當然，能否選編、創設恰當的問題情境，影響著學生的思維是否能夠深度參與.筆者以為，選編問題情境時，要盡可能有利于后續新知的引入，而不要故弄玄虛，一些干擾信息過大的情境素材不宜選用，比如濫用一些視頻、影視作品中的片斷來引出數學新知，常常會適得其反，因為有些視頻因為風光優美、影視作品因為文藝、音樂等沖擊力過強，往往不利于新課的引出.一般來說，安排一些簡短、簡明的生活現實或數學現實，教師輔以必要的啟發式問題，把學生的思維、目光聚焦于即將要學習的新知內容上來，開門見山，削枝強干，往往更有利于新課的學習.

2.2 對話互動，讓啟發式追問引導去情境化

在新知探究和生成階段，教師要控制直接講授的“沖動”，適當放慢教學節奏，在問題情境驅動下，師生對話，重視互動，用啟發式追問幫助學生從問題情境中抽象、分離出新知識的本質特征.比如，上文提到的兩條直線相交形成的鄰補角和對頂角，如果直接講授可能不到5分鐘就能完成，然后就可以開始“大量練習”，也許最后學生在解答相關鄰補角、對頂角的習題時效果也不錯.但是生成這些概念的教學過程被壓縮、擠占之后，不利于學生今后獨立研究一些新的數學對象，也就是研究方法、研究路徑的滲透靠的是平時新課教學的日積月累、春風化雨.在這里，還應特別關注“去情境化”^［2］的教學啟發，具體來說，當精心選編某個生活情境引出新知時，如果學生不能排隊干擾信息，分離、抽象、提煉出新知識的本質特征、關鍵元素，則教師要加強這個方向的啟發引導，努力促進學生“去情境化”，把研究的思路聚焦在新的數學對象上.筆者最近在聽一名新教師執教《數軸》時，圍繞教材上數軸的引入情境（一條筆直的馬路邊上依次有汽車站、加油站、郵局、學校、大超市等），帶領學生閱讀理解這則生活情境，師生圍繞這個生活情境熱烈議論了8分鐘，還沒有引出數軸的概念、揭示數軸三要素，影響了后續教學目標的達成，這是的“去情境化”沒有做好.

2.3 歸納概括，啟發式點評生成并完善概念

在情境問題的驅動之下，抽象、提煉出新學概念的本質特征之后，就要安排學生歸納概括出這個概念，這時學生所用的數學語言可能還不太嚴謹、規范，需要教師繼續啟發引導，最終完善相關概念的準確定義.比如，當學生畫出三角形并給出定義“三條線段連接在一起的圖形叫做三角形”，這時教師可以畫出一個反例圖形，啟發學生進一步完善三角形的定義為“平面內，三條線段首尾順次相接所形成圖形叫做三角形”.有時候，在學習并概括一個概念時經歷一些“曲折”的過程是必要的，考查數學史就可發現，很多數學概念的發生、發展都經歷了漫長的過程，我們在教學過程中也不宜快速地講授、給出一個精致、完善的數學概念.

3 結 語

近讀期刊，鄭毓信教授在文^［3］中指出應追求一種“數學課堂文化”：“思維的課堂，安靜的課堂，互動的課堂，理性的課堂，開放的課堂.”本文關于概念教學中運用啟發式教學的實踐與思考，也算是踐行上述“數學課堂文化”的一點努力吧.

參考文獻：

［1］ 劉東升.我們需要怎樣的“問題”驅動課堂——由美國莎維女士執教的函數圖象課說起［J］.《教育研究與評論：課堂觀察版》.2016（11）：6568.

［2］ 徐曉燕.“去情境化”視角引發的情境教學的思考與實踐［J］.上海中學數學，2020（5）：812，14.

［3］ 鄭毓信.天才與凡人——“數學教育雜談”之三［J］.教育研究與評論（綜合），2022（4）：49.