重視數學概念理解，優化數學解題過程

陶云

摘 要： 在數學解題教學中，要引導學生重視基本的概念理解，而不陷入繁雜的題型技巧，從而把握問題本質，優化解題過程。具體做法包括：理解概念的定義方式，形成簡捷的解題方法；理解概念的實際意義，避免公式的生搬硬套；理解概念的判斷依據，防止主觀的錯誤判斷。

關鍵詞：高中數學；解題教學；概念理解；解題優化

李邦河院士曾說：“數學從根本上玩的是概念，而不是技巧。”數學教學，無論是新授課還是復習課，都要重視概念教學，讓學生經歷概念的形成過程，梳理概念之間的關聯，從而充分理解概念，真正掌握概念。

然而，在講學案盛行的今天，有的教師不研讀教材，僅憑做幾道講學案上面的題目就去上課；一些教師的新授教學模式是“一個定義（定理）、三項注意、十題訓練”，復習教學模式是“課前填寫‘知識回顧+課上講題與訓練”。這種忽視概念理解、只顧解題訓練的教學行為是舍本逐末的，不僅剝奪了學生的探究權利，澆滅了學生的學習熱情，使學生淪為做題的機器，而且淺化了學生的認識，禁錮了學生的思維，讓學生把握不到問題的本質，解題變得刻板生硬、套路化。

章建躍博士曾說：“解題錯誤主要源于概念把握不準，加深對概念的理解，掌握基礎知識和基本技能，培養和發展數學能力，特別是數學思維能力是解題的基本目標。”筆者深以為然。例如，在高一階段，學生研究子集關系時經常忘記考慮空集的情況，研究函數的奇偶性時經常忘記考慮定義域是否關于原點對稱，利用基本不等式求最值時經常忘記考慮取等條件，處理含有對數式的題目時經常忘記考慮真數大于零，等等。這些問題并不全是記憶模糊導致的，更重要的是對概念（知識）的理解不夠深刻。

本文重點結合案例談談筆者在數學解題教學中，引導學生重視基本的概念理解，而不陷入繁雜的題型技巧，從而把握問題本質，優化解題過程的些許做法。

一、 理解概念的定義方式，形成簡捷的解題方法

一個概念往往有多種等價的定義（表征）方式：有的是呈現可操作的步驟，屬于生成型定義；有的是羅列需滿足的條件，屬于要素型定義……在解題教學中，教師不僅要引導學生理解這些定義方式，而且要引導學生選擇最合適的定義方式（通常是最能解釋概念本質的標準定義），形成更簡捷的解題方法。

二、 理解概念的實際意義，避免公式的生搬硬套

有些數學概念不僅有著形式化的表達式，而且具有更為本質的實際意義。在解題教學中，教師要注意引導學生洞察本質，回到概念本身代表的實際意義上，從而避免公式的生搬硬套，方便快捷地解決問題。

三、 理解概念的判斷依據，防止主觀的錯誤判斷

判斷概念是掌握概念的重要手段。有些概念定義中可操作的步驟或需滿足的條件很清楚，可以利用定義判斷；還有一些概念定義不夠清楚，需要利用判定定理或等價表示方式判斷。學生常常會因為選錯判斷依據甚至不知道判斷依據而主觀臆斷，導致解題費時費力或者出錯。在解題教學中，教師特別要引導學生關注概念的判斷依據，防止錯誤的判斷。

例5 （2021年新高考Ⅰ卷第8題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則 （）

A． 甲與丙相互獨立

B． 甲與丁相互獨立

C． 乙與丙相互獨立

D． 丙與丁相互獨立

此題得分率很低。很多學生對事件的獨立性認識比較模糊，他們從兩個事件相互獨立就是互相沒有影響出發，由主觀上感覺的第一次或第二次取球的數字對兩次取球的數字之和一定會有影響，排除了A、B、C三個選項，選擇了D選項。

事實上，兩個事件如果相互獨立，它們之間確實沒有影響，但是“沒有影響”不是由主觀感覺判斷的，而是有客觀標準的。蘇教版高中數學教材對事件的獨立性有這樣的描述：如果我們認為任何事件與必然事件獨立，任何事件也與不可能事件獨立，那么兩個事件A、B相互獨立的充要條件是P（AB）=P（A）P（B）。這段描述給我們提供了判斷兩個事件是否相互獨立的可操作性依據，由此我們只需要對相關的概率進行計算即可。