跳出機械化技巧，深挖知識背后的思想

曹廣福

摘 要：解答2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，如果將導(dǎo)數(shù)作為一種機械化操作的工具，對函數(shù)多次求導(dǎo)，則不僅涉及分類討論，而且導(dǎo)致比較煩瑣的計算；如果理解極值概念的局部性本質(zhì)，把握其蘊含的局部化思想，先求出參數(shù)可能的取值范圍再證明，則思路自然，邏輯清晰，一氣呵成。由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)要基于經(jīng)驗培養(yǎng)直覺，基于知識感悟思想，基于技巧提升思維，特別要引導(dǎo)學(xué)生深挖數(shù)學(xué)知識背后的思想本質(zhì)，才能將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高考；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；知識本質(zhì)；數(shù)學(xué)思想

素養(yǎng)立意之下，新高考數(shù)學(xué)試題的風(fēng)格有了一些變化，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、把握數(shù)學(xué)知識背后數(shù)學(xué)思想的要求越來越高。對此，如果依然囿于機械化操作的方法，很可能陷于繁雜的技巧中，或許僥幸能夠繞出答案來，但可能花費相當(dāng)長的時間，導(dǎo)致很難在兩小時內(nèi)完成全部題目的解答。本文對2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題（第22題）的兩種解法進行對比分析，說明深挖數(shù)學(xué)知識背后的思想本質(zhì)的重要性。

一、 試題解法的對比分析

2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題如下：

（1） 證明：當(dāng)02

（2） 已知函數(shù)fx=cosax-ln（1-x²），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍。

本題第1問屬于常規(guī)問題，學(xué)生不難想到利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性。此處重點探討第2問。

先來看一種基于機械化操作的解法：

令1-x²>0，解得-1

因為f（x）=cosax-ln（1-x²）=cos（-ax）-ln[1-（-x）²]=f（-x），所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為偶函數(shù)。

這一解法將導(dǎo)數(shù)作為一種機械化操作的工具，對函數(shù)多次求導(dǎo)，不僅涉及分類討論，而且導(dǎo)致比較煩瑣的計算。

這類題需要運用導(dǎo)數(shù)是毋庸置疑的，問題是如何運用，運用到何種程度，是利用其蘊含的思想還是將其作為工具，這是決定解題“境界”的關(guān)鍵。

事實上，這道題沒有很高的難度，也不需要太復(fù)雜的技巧，但是要求考生理解極值概念的本質(zhì)，把握其背后的數(shù)學(xué)思想。

在給出基于極值概念背后數(shù)學(xué)思想的解法之前，我們先呈現(xiàn)基于幾個關(guān)鍵問題的思路分析過程：

問題1 x=0是f（x）的極大值點意味著什么？

但是，一階導(dǎo)數(shù)為0，只能說明可能是極值，不能說明是極大值還是極小值。或許有些教師講授過二階導(dǎo)數(shù)的符號與極大值、極小值的關(guān)系，但這似乎超出了中學(xué)數(shù)學(xué)課程的范圍。既然課標(biāo)與教材不要求掌握這一知識，解題時就應(yīng)該盡量回避。

上述解法利用極大值的局部性本質(zhì)求出a可能的取值范圍，再根據(jù)a的范圍判斷導(dǎo)數(shù)的符號，進而證明極大值點，思路自然，邏輯清晰，一氣呵成；充分展現(xiàn)了微積分的局部化思想（即對無窮小量或者說取極限過程的實質(zhì)性理解，而非形式化操作），無需對參數(shù)分類討論，也沒有任何繁雜的計算。

二、 對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

判斷一道好的數(shù)學(xué)題，有兩個重要的標(biāo)準：（1）不以繁雜的計算、特殊的技巧取勝；（2）具備一定的洞察力，掌握有關(guān)知識的思想本質(zhì)，才能找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案。按這兩個標(biāo)準判斷，上述函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題堪稱高水準。

高考試題的內(nèi)容需要覆蓋整個基礎(chǔ)教育階段的重要知識點，自然需要一定的題量做保證。但試題的命制水平比題量更重要，高水平的試題可以有效測試出考生的知識、

能力與素養(yǎng)水平。大題量試卷中試題的解答如果糾纏在一些次要的細節(jié)與煩瑣的技巧上，不注重思想方法與思維能力的檢驗，這樣的試卷（試題）將會誤導(dǎo)一線教學(xué)的走向。

新高考對一線教學(xué)提出了新的要求：數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的熏陶、數(shù)學(xué)思維的提升，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主流。直覺即對問題本質(zhì)的洞察力；它源于經(jīng)驗而高于經(jīng)驗，是經(jīng)驗的升華。思想蘊藏在知識內(nèi)部，需要有效挖掘；思想以知識為載體而高于知識，因此教學(xué)要以知識為基礎(chǔ)，但不能停留在知識的層面。思維是對問題的理性認知能力， 它是完成思維任務(wù)所必需的，且直接影響思維活動的效率；思維能力的提升需要一定的推理與運算技巧做基礎(chǔ)，但思維重于技巧，技巧是為提升思維能力服務(wù)的。數(shù)學(xué)課堂如果離開了數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的熏陶、數(shù)學(xué)思維的提升，特別是離開了對數(shù)學(xué)知識背后思想本質(zhì)的挖掘，必然會陷入淺表化理解和機械化操作的窠臼，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也就成了一句空話。

進一步地，數(shù)學(xué)課堂如果沒有把握相關(guān)概念與結(jié)論所反映的科學(xué)問題，教學(xué)必定是盲目的；如果沒有對問題的思辨，思想性便蕩然無存。從這個意義上說，問題是數(shù)學(xué)課堂的核心，思想是數(shù)學(xué)課堂的靈魂。沒有問題，課堂便失去了動力；沒有思想，課堂便失去了生機。