傳送帶模型中的功能關系

李洪朋

一、設問的角度

（1）動力學角度：首先要正確分析物體的運動過程，做好受力分析，然后利用運動學公式結合牛頓第二定律求物體及傳送帶在相應時間內的位移，找出物體和傳送帶之間的位移關系。

（2）能量角度：求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動而產生的熱量、因放上物體而使電動機多消耗的電能等，常依據功能關系或能量守恒定律求解。

二、功能關系分析

（1）功能關系分析：W=ΔEk+ΔEp+Q。

（2）對W和Q的理解：①傳送帶做的功：W=Fx傳。②產生的內能：Q=Ffx相對。

水平傳送帶

【問題情境】（2021年8省市模考，遼寧，T10）（多選）如圖所示，甲、乙兩滑塊的質量分別為1kg、2kg，放在靜止的水平傳送帶上，兩者相距5m，與傳送帶間的動摩擦因數均為0.2t=0時，甲、乙分別以6m/s、2m/s的初速度開始向右滑行。t=0.5s時，傳送帶啟動（不計啟動時間），立即以3 m/s的速度向右做勻速直線運動，傳送帶足夠長，重力加速度取10m/s2。下列說法正確的是（）。

A.t=0.5s時，兩滑塊相距2 m

B.t=1.5s時，兩滑塊速度相等

C.0～1.5s內，乙相對傳送帶的位移大小為0.25m

D.0～2.5s內，兩滑塊與傳送帶間摩擦生熱共為14.5J

【答案】BCD

【解析】兩滑塊變速運動時的加速度大小a=μg=2 m/s2，0～0.5s內，甲、乙均做勻減速直線運動，根據x=v0t- at2，t=0.5s時，兩滑塊相距Δx=x0- + =3m，A項錯誤。傳送帶啟動時，甲滑塊的速度大小v1'=v1-at1'=5m/s，此時到與傳送帶速度相等所用時間Δt1= =1s，因此在t=1.5s時，甲滑塊速度與傳送帶速度相等，傳送帶啟動時，乙滑塊的速度大小v2'=v2-at=1m/s，到與傳送帶速度相等所用時間Δt2= =1s，因此在t=1.5s時，乙滑塊速度與傳送帶相等，故t=1.5s時，兩滑塊速度相等，B項正確。0～0.5s內，乙相對傳送帶的位移大小x1=v2t- at2=0.75m，0.5s～1.5s內，乙相對傳送帶的位移大小x2=v0t- =1m，因此0～1.5s內，乙相對傳送帶的位移大小為x2-x1=0.25m，C項正確。甲相對傳送帶的位移大小x甲=v1t- at2-v0t1'=6×1.5m- ×2×1.52m-3×1m=3.75m，甲滑塊與傳送帶間摩擦生熱Q1=μm1g·x甲=7.5J，乙滑塊與傳送帶間摩擦生熱Q2=μm2g（x1+x2）=7J，因此0～2.5s內，兩滑塊與傳送帶間摩擦生熱Q=Q1+Q2=14.5J，D項正確。

【變式訓練】（2021年8省市模考，江蘇，T15）如圖所示，水平傳送帶足夠長，向右前進的速度v=4 m/s，與傾角為37°的斜面的底端P平滑連接，將一質量m=2 kg的小物塊從A點靜止釋放。已知A、P的距離L=8 m，物塊與斜面、傳送帶間的動摩擦因數分別為μ1=0.25、μ2=0.20，取重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求物塊：①第1次滑過P點時的速度大小v1。②第1次在傳送帶上往返運動的時間t。③從釋放到最終停止運動，與斜面間摩擦產生的熱量Q。

【答案】（1）8m/s （2）9s （3）48 J

【解析】（1）由動能定理得（mgsin 37°-μ1mgcos 37°）L= m -0

解得v1=8 m/s。

（2）由牛頓第二定律得μ2mg=ma物塊與傳送帶共速時，由速度公式得-v=v1-at1，解得t1=6s，勻物塊速運動階段的時間t2= =3s則物塊第1次在傳送帶上往返運動的時間t=t1+t2=9s。

（3）由分析可知，物塊第一次離開傳送帶以后，每次再到達傳送帶和離開傳送帶的速度大小相等，則根據能量守恒定律有Q=μ1mgcos 37°·L+ mv2=48 J。

傾斜傳送帶

【問題情境】（改編）如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ=30°，傳送帶在電動機的帶動下，始終保持v0=2 m/s的速率運行，現把一質量為m=10 kg的工件（可視為質點）輕輕地放在傳送帶的底端，經過時間t=1.9 s，工件被傳送到h=1.5 m的高處，g取10 m/s2，求：

（1）工件與傳送帶間的動摩擦因數。

（2）電動機由于傳送工件多消耗的電能。

【答案】（1）（2）230 J

【解析】（1）由題圖可知，傳送帶長x= =3m工件速度達到v0前，做勻加速運動的位移x1= t1

勻速運動的位移為x-x1=v0（t-t1），解得加速運動的時間t1=0.8s加速運動的位移x1=0.8m，所以加速度a= =2.5m/s2，由牛頓第二定律有μmgcos，θ-mgsin，θ=ma，解得μ= 。

（2）由能量守恒定律知，電動機多消耗的電能用于增加工件的動能、勢能以及克服傳送帶與工件之間發生相對位移時摩擦力做功產生的熱量在時間t1內，傳送帶運動的位移x傳=v0t1=1.6 m，在時間t1內，工件相對傳送帶的位移x相=x傳-x1=0.8 m，在時間t1內，摩擦生熱Q=μmgcos，θ·x相=60J，最終工件獲得的動能Ek= m =20J，工件增加的勢能Ep=mgh=150J電動機多消耗的電能W=Q+Ek+Ep=230J。