巧用類比，化繁為簡(jiǎn)

付永波

在我們平時(shí)的教學(xué)中，我們經(jīng)常要用到類比教學(xué)法。類比是根據(jù)兩種或兩類對(duì)象在某些方面的相似，得出它們?cè)谄渌矫嬉灿锌赡芟嗨频慕Y(jié)論。它是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法。類比在掌握數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、探索解題方法等方面都有著不可忽視運(yùn)用。在多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我對(duì)于類比教學(xué)非常重視，運(yùn)用類比教學(xué)，可以使學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上迅速的領(lǐng)回新學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)習(xí)效率。下面我簡(jiǎn)要說(shuō)明一下我將類比教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用體會(huì)。

一、類比引入新知識(shí)

1.類比引入新概念

對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生能力的先決條件。課本上的概念有的非常簡(jiǎn)練、有的很抽象，這給學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解帶來(lái)了困難，從而造成學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異。因此，搞好概念教學(xué)，讓學(xué)生正確理解概念就會(huì)為他們學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。應(yīng)用類比法引入新概念，可使學(xué)生更好地理解新概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學(xué)中的許多概念有類似的地方，在新概念的提出過(guò)程中，運(yùn)用類比的方法，能使學(xué)生易于理解和掌握。如：“一元一次方程和一元二次方程”的概念。教師在講授“一元二次方程”這一概念時(shí)，同樣可以先復(fù)習(xí)“一元一次方程”這一概念。然后問(wèn)，“如果我們將概念中的‘一次換成‘二次會(huì)得到什么樣的概念呢？甚至可以類比引入一元高次方程和二元一次方程的概念。

2.類比引出新定理

將類比用于定理的教學(xué)，不但可以加深學(xué)生對(duì)定理的理解和記憶，也可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有個(gè)系統(tǒng)化的了解。如：在講授相似三角形時(shí)，由于“相似”與“全等”有很多類似的地方，便于使用類比法。三角形相似的判定定理可以通過(guò)與三角形全等的有關(guān)定理類比引出，而相似三角形的性質(zhì)定理也可以通過(guò)與全等三角形的性質(zhì)定理類比引出。通過(guò)類比，以舊引新，使學(xué)生對(duì)新的概念、新的定理的理解會(huì)更深入、記憶也會(huì)更加牢固，運(yùn)用會(huì)更靈活。

二、類比聯(lián)想

所謂類比聯(lián)想，就是在聯(lián)想的基礎(chǔ)上對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的事物進(jìn)行比較，找出它們之間的共同點(diǎn)，進(jìn)而受到新的啟示，產(chǎn)生新的思路，從而產(chǎn)生新的解決問(wèn)題的方法。

例：已知s²+2s-1=0， t²+2t-1=0（s≠t），求st+2s+2t的值。

思路分析：觀察已知條件和所求代數(shù)式的外形，可聯(lián)想到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。類比題設(shè)構(gòu)造一個(gè)以s和t為根的一元二次方程x²+2x-1=0，然后根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知s+t=-2，st=-1，從而很容易求出所求代數(shù)式的值：st+2s+2t=st+2（s+t）=-1+2×（-2）=-5

在解題教學(xué)中采用類比教學(xué)，可以達(dá)到梳理知識(shí)、歸納題型、總結(jié)解題方法，這樣做既有利于學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識(shí)，又有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維的靈活性。

三、類比推理

所謂類比推理，是通過(guò)對(duì)兩個(gè)研究對(duì)象的比較，根據(jù)它們某些方面的相同或相類似之處，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳囝愃频囊环N推理方法。相類比的兩個(gè)對(duì)象的相同性愈多，則結(jié)論的可靠程度就愈大；相類比的兩個(gè)對(duì)象的共有屬性與推出屬性之間的聯(lián)系愈緊密，則結(jié)論的可靠程度就愈高。

類比推理的一般步驟：先找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征，然后用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)結(jié)論。

如：若線段AB上有一個(gè)點(diǎn)，則共有2+1=3條線段，若線段AB上有兩個(gè)點(diǎn)，則共有3+2+1=6條線段，若線段AB上有三個(gè)點(diǎn)，則共有4+3+2+1=10條線段，……若線段AB上有n個(gè)點(diǎn)，則有（n+1）+n+（n-1）+… +1=（n+2）（n+1）/2條線段；類似的若在∠AOB從頂點(diǎn)O引一條射線，則有2+1=3個(gè)角，若引兩條射線，則有3+2+1=6個(gè)角，若引三條射線，則有4+3+2+1=10個(gè)角，……若引n條射線，則有（n+1）+n+（n-1）+… +1=（n+2）（n+1）/2個(gè)角。雖然類比推理所得結(jié)論的真實(shí)性是不確定的，但類比推理作為一種重要的思想方法，就算在嚴(yán)格地邏輯推理的數(shù)學(xué)中也起著重要作用。故在教學(xué)中應(yīng)給予應(yīng)有的重視。

四、類比歸納類比歸納是對(duì)兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)為相似的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比和歸納的一種科學(xué)的研究方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比歸納法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的類比和歸納 ，使知識(shí)有序化、系統(tǒng)化，從而使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系。

如：在學(xué)習(xí)三角形的外接圓和內(nèi)切圓時(shí)，大多數(shù)學(xué)生會(huì)把外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)混淆。針對(duì)這一問(wèn)題，采用類比思想，把三角形的外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它隨三角形的形狀不同，位置也不同：它在銳角三角形的內(nèi)部，在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處，在鈍角三角形的外部；它是三角形外接圓的圓心；具有到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)。內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心；它是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；它一定在三角形的內(nèi)部，不隨三角形形狀的改變而變化位置；它到三角形三邊的距離相等。

從以上幾點(diǎn)可以看出，類比教學(xué)法在獲取解題思路，新概念的導(dǎo)入，公式、定理和記憶及證明，新知識(shí)的探索研究等方面都有著重要作用。因而在教學(xué)過(guò)程中充分運(yùn)用類比法培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有不可估量的作用。