格物致知，體悟數學之道

從小學到大學，從數學學習到數學教學，回顧幾十年的數學學習和數學教學生涯，使我感受最深的就是數學的學習不但需要“格物”——堅持不懈、持之以恒，更需要“致知”——深入探究的精神，才能體悟“數學之道”。中國宋明時代理學家有“格物致知、窮理明辨”之說，而“數理之學”是不分家的，數學是基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，來表達現實世界中事物的本質、關系、規律和原理，這就是格物的過程。悟“道”的過程包含著：學習、實踐、反思、研究、歸納、提煉……“格物”之研究助我成長，“致知”之悟“道”助我發展，格物致知使我在數學學習和教育教學過程中走得更遠。

數學知識的學習需要格物而練就

我從小就喜歡數學，曾經在高考中以縣單科數學第一名的成績考入師范大學數學系。數學成績之所以出眾，得益于我在數學學習的過程中，喜歡做題、善于思考，不斷總結不同類型題的規律，舉一反三、觸類旁通。每做對一道難題，我都能感受到成功的快樂，也不斷激發著我學習數學的熱情和積極性。

對數學概念、公式、性質、定理的學習，我常常會探究其形成的過程、產生的歷史背景與蘊含的思想方法，甚至有時對某些概念提出換個角度來定義是否可行等。比如在學習數列極限的分析定義時，我就在想為什么這樣定義，換一種表述方法或研究問題的角度是否可行？經過多次嘗試，發現不可行的原因。現在看來當時作為學生探討數學概念非常幼稚。但卻使我看到了前輩的偉大，并且讓我能更深入地理解這一理論，進一步激發了自己熱愛數學的熱情，也為學習在極限基礎上衍生出來的微積分理論鋪平了道路，同時，也讓我在實際教學中能“換位思考”，分析學情、把握教學。

出于自己對數學學習的深切體會，我經常教育學生要體會知識、方法的形成過程，多角度地分析和認識數學問題，這樣才能做到融會貫通，提升自己的解題能力；只有獨立地思考和探究數學問題，才能達到對知識的自主建構和深度理解。比如，對于解排列組合的題目，我非常反對學生作題之前看解答，因為這樣學生總會通過猜測別人的解題思路來校對自己的想法，從而忽視了對自己獨立思考能力的培養。實際上，對于這一類問題，隨著考慮問題角度的不同，解決問題方法也就不同，即可能一題多解。我總是鼓勵學生，要相信自己，大膽嘗試，只要計算、推理符合邏輯，一般來說，其結果是正確的。

數學學習首先要正確地理解數學概念，它是掌握好數學知識的前提，許多數學試題是圍繞著概念進行命制的，考查學生對概念的內化和理解程度；再者是性質、定理、公式及其應用等。數學學習過程中，適當的做題量是需要保證的，當然，重要的還是要引導學生認真研究，及時總結，反復推敲，這樣才會在成功的體驗中生發興趣，激發學習動力，在日積月累中，就能體悟數學的神奇和學習規律，在成功的體驗中找到無窮的樂趣。

數學課程教學需要致知而研究

作為教師離不開教材，鉆研教材是我多年的習慣。任何一本教材、一個單元甚至一節課的內容，只有抓住主線和中心思想，才能使課堂教學變得游刃有余。在我剛步入中學教師的行列時，往往反復通讀教材、研究教材。但并不是直接去閱讀、學習教參和課程標準，而是在提煉教材內容的主題、地位、作用等基礎上，比對教參和課程標準，尋找差距和不足，進一步來校正和逐步提升自己對學科本質的認識水平。

只有通過不斷的學習和鍛煉，貫通知識之間橫向和縱向的聯系，逐步建構知識體系，把握學科本質，才不會讓教材束縛手腳，使教材變成選取素材的一種資料，從而真正提高把握教材、駕馭教材、用好教材的能力。

數學教學是我的主陣地，也是我思考和研究最多的地方。我在教學中，始終以學生發展為本，認真研究和分析學生的學習基礎和學習能力，自覺踐行課程改革的理念，引導學生在解決問題的過程中，發展和培養學生的數學能力和數學核心素養，去追求更高的數學境界。由于數學是一門比較抽象的學科，認知水平較差的學生學習數學，就像學生學習英語差不多，他需要把英語句子和詞匯翻譯成漢語才能理解，如果一節課上數學概念的應用過多，會限制學生的思維和學習效率。

而數學來源于生活，我特別注重觀察和積累生活的事例，以此作為教學情境應用到課堂教學中，幫助學生理解概念的內涵和外延，引導學生更好地落實核心素養的發展。注重提煉、歸納和總結一些經過自己反復在數學教學實踐中認為成熟的案例和方法，進而不斷完善和優化教學策略和方法。比如在講樣本方差時，通過分析比較兩個女生小合唱隊身高的整齊和美觀程度，誘導學生找到解決問題的方法，進而建立方差公式、體會方差的意義。在教學中將數學融入生活中，使學生感到生活與數學密切相關的道理，感到數學就在身邊，對數學產生親切感，激發學生學習數學、發現數學的熱情和積極性。

數學試題的研究需要窮理而悟“道”

數學學習與教學離不開解題，歷年的高考試題是很好的研究素材。通過做題，對試題進行歸類、類比、研究，找尋這些試題所滲透的數學思想和方法，既能夠提升自己的解題能力，又能夠更好地服務于教學。比如，前些年許多考查導數應用的題目實際上是考查分類討論的思想方法，在不斷學習和教學的實踐應用中，我會一直思考這些考題的共性是什么？引起討論的原因是什么？我把分析和研究的成果寫成了論文《導函數的有理因式中含參量時函數單調性的討論》發表。再比如，北京高考的壓軸題，考查學生對數學定義閱讀理解和數學運算的能力， 嚴密的邏輯思維和推理論證能力，綜合運用所學知識和方法解決問題的能力， 形成了淡化解題技巧、突出數學思想方法和核心素養發展的命題風格，體現著北京高考命題的特色。而目前的高中數學教材中有關“新定義、新運算”的創新題目少之又少，這就更加激發了我對這類題目的探究欲望，覺得如何解決這類問題，還應從思維方法上找原因。依據“由特殊到一般，再由一般到特殊”的認識規律，應從特例入手尋找解決問題的突破口，通過對特例的演算、觀察、類比、歸納，甚至猜想，以及對題目證明要求和解答暗示的分析，盡可能發現其規律性和一般性質，最終完成題目的推理論證過程，探究的成果被我寫成了論文《從“特例入手”分析和解答高考數學北京卷壓軸題》發表。

為使自己的實踐經驗和研究成果能夠固化下來，并且應用到教育教學中，我認為最好的辦法是通過撰寫論文，固化成果，推動課堂教學更上一層樓。

我發表的論文，有的看似一蹴而就，比如《兩類特殊矩陣的逆》，只用了兩個小時的書寫時間，其實是自己平時不斷總結、日常積累的結果。而《由兩道高考題引出的探究結果》，花了整整兩個月的時間，可以說廢寢忘食，但我樂在其中。其價值一方面應用到自己的教學中，另一方面對教研組和區里研修的老師利用幾何畫板作圖有著一定的指導作用。專業發展的前提是要善于發揮自己的長處，但貴在堅持。

正是由于不斷地總結、思考和研究數學問題，我才積累了大量的素材和研究成果來改進教學。我的課堂教學，能夠不斷引導學生建構數學知識、方法和思想體系，培養學生從運動變化、聯系與轉化、回歸概念等多角度發現問題、分析問題、解決問題，提高學生的數學思維和解題能力，練就關鍵品格，培養關鍵能力。

基于自己在數學教學和科研方面取得的一些成績，我獲得北京市特級教師稱號，晉升為北京市正高級教師。但我覺得更重要的是，在數學學習和教學過程中，格物致知，深入研究，厚積薄發。把我對數學的熱愛轉化到教學實踐中，引導學生喜歡數學、熱愛數學；同時，發表我的研究成果，讓更多的人與我分享在教學中體會到的學習數學和研究數學的快樂。

范先榮

北京市中學數學特級教師、北京市正高級教師、海淀區高中數學兼職教研員、海淀區高中數學學科督學。曾獲北京市中學數學骨干教師、數學學科帶頭人等榮譽稱號。