那場“幾個幾”的爭論風波
——記“乘法的初步認識”一課

浙江省杭州市求是教育集團 江 萍

一、回放——意外的爭論

某日，筆者執教“乘法的初步認識”一課，在順利地完成新課之后，出示了一道練習題（見圖1），請學生思考看到了幾個幾。沒想到，就是這樣一個問題卻引發了一次意外的課堂爭論。

圖1

師：從這幅圖中你看到了幾個幾？

生（齊）：應該是5個3。

生1：應該是3個5。

師：到底是5個3還是3個5呢？誰來說說理由？

生2：我認為是5個3，因為圖上一共有5架飛機，每架飛機里坐了3個人，所以是5個3。

生2的發言清晰、到位，筆者在心里暗自為他叫好。于是，筆者反問生1：你有什么想說的？

生1：我還是認為3個5。

師：為什么？

生1：每架飛機里都坐了3個人，所以是3個5。

生1的堅持到底讓筆者吃驚不小，同樣他毫無邏輯的推理也讓筆者無從下手。究竟是什么讓他的想法如此堅定？短暫思考幾秒之后筆者決定把這個問題拋給全班學生。

師：我們來聽聽大家的意見，同意3個5的舉手（只有“生1”一位），同意5個3的舉手（除了“生1”，剩下的同學都舉手了）。

師（對著“生1”）：全班只有你一個人是這么想的，現在你認為自己的答案一定對嗎？

生1（很堅定）：對。

師：那好，誰愿意與他辯論一下，看看誰能說服誰？

很多雙小手高高舉起，筆者邀請了生2作為“5個3”答案的代表與生1進行辯論。

生2（理直氣壯）：你這個5表示什么意思？

生1：這個5表示5架飛機。

生2：那每架飛機里坐了幾個人？

生1：3個人。

生2：那你數一數，一共有幾個3？

生1：有5個。

生2：那不就是5個3嗎？

生1：好吧！5個3是對的，但3個5也是對的。

生1終于承認5個3是對的，這讓一旁“觀戰”的筆者長吁一口氣，但他的后半句“3個5也是對的”又讓筆者納悶不已。

生2：你不講道理啊，你自己好好看一下圖。

生1（振振有詞）：這幅圖是表示5個3，但5個3和3個5的答案都是15，我以前就知道一個乘法算式表示兩種意思，所以5個3、3個5應該都對。

生2（據理力爭）：沒有圖，一個乘法算式是表示兩種意義，但現在這道題有圖，需要看嗎？

生1：……看圖的話應該是5個3。

持續了5分鐘的爭論，終于在生1說出5個3后畫上了句號。筆者暗自慶幸問了“到底是幾個幾”，讓生1的想法浮出水面。同時也感謝生1，他的堅持己見讓這場意外的爭論異常激烈，同時也讓筆者的思考漸漸深入。

二、聚焦——問題出在哪

圖意這么清晰的一道題，竟然會引發學生對“幾個幾”的爭論，這讓筆者始料不及。學生為什么會有“因為答案一樣，所以表達的意思也一樣”的錯誤理解？問題究竟出在哪？

（一）問題一：抽象概括“幾個幾”有難度

課前筆者曾在班上做過一次前測（見圖2），請學生填一填幾個幾并用算式來表示。從學生的答題情況來看，全班42人中全對的有22人，答題正確率為52.4%，近三分之二的學生都能用加法正確列出算式，三分之一的學生會用乘法算式3×4或4×3來表示。學生答題中的主要錯誤是填寫“（ ）個（ ）”。19.1%的學生填了（12）個（熊貓），16.7%的學生填了（12）個（4），11.9%的學生填了（6）個（6）。這說明在沒有教師指導的前提下，請學生用幾個幾表示同數連加還是有一定難度的。學生因為無從下手，所以才會出現（12）個（熊貓）這樣的詞語填空；因為概念模糊，才會出現（12）個（4）、（6）個（6）這樣的答案。由此看出，概括“幾個幾”并不像我們想象得那樣簡單。

圖2

（二）問題二：理解乘法意義“生搬硬套”

課后，筆者與生1進行了深入的交流。他告訴筆者，在新課學習之前他就已經認識了乘法，知道一個乘法算式表示兩種意義，能熟練地背誦乘法口訣。因此，他憑借自己“先學先知”的優勢，想當然地認為3個5、5個3都對，根本沒有仔細讀圖。可見，對乘法意義的一知半解讓學生在解決問題時生搬硬套。在教學實踐中，我們發現學生或是出現像生1這樣的情況，或是認為“脫離了情境的乘法算式就只表示一種意義”。在前測中，筆者曾設計過這樣一道題（見圖3），調查情況顯示：看到算式3×5，大部分學生將其理解為3個5相加，80.9%的學生只選了一個答案，只有19.0%的學生做對此題。無論“生1”還是“前測現象”，都提醒我們讓學生真正理解乘法意義，形成對乘法現實模型的認識是非常重要的。

圖3

（三）問題三：多樣化表征難以靈活轉換

我們知道，讓學生通過說一說（幾個幾）、寫一寫（加法算式與乘法算式）、畫一畫等活動，實現語言表征、符號表征、圖形表征之間的相互轉化，能幫助學生進一步理解乘法的意義。而多樣化表征之間的靈活轉換是學生學習的難點之一。在課堂教學中，“生1”的問題就出在“從圖到式、從式到圖”的轉換。如果他能清晰地知道“從圖到式”并不簡單等同于“從式到圖”，可能也就不會有課堂上的“堅持”。這也讓筆者想起了前測中的一道題：畫圖表示算式3×4的含義。根據調查結果顯示，能用圖表示出算式意義的學生占35.7%，而這些學生所畫的圖大部分表示的是3個4，沒有一人能完整地表示出乘法算式表示的兩種含義。在錯誤的圖示中，部分學生只會用3×4的結果表示算式的含義，還有11.9%的學生完全不會做這道題。通過檢測，說明課前學生對乘法意義的理解是不到位的，同時也可以看出讓學生理解多種形式表征特別是圖形表征乘法意義的迫切性與必要性。

以上三個問題的存在也讓課堂上的那場“爭論風波”成為情理之中的事情。

三、實踐——課堂是關鍵

面對爭論，我們究竟應該怎么辦？在教學中，我們是否可以做這樣的嘗試？

（一）新課展開：圍繞幾個幾

新課以算式4×5導入（見表1），一方面可以找到學生真實的學習起點，了解學生課前對乘法意義的理解程度；另一方面通過由式到圖的過程，又可以引導學生學會從“圖式對應”的角度理解“幾個幾”。新課的展開以“小棒搭成的正方形” 作為研究素材，從5個4到4個4、3個4、2個4、20個4、100個4的不斷變化，讓學生清晰地理解圖、式之間的關系。通過板書的進一步梳理，將幾個幾、加法算式、乘法算式聯系在一起，突出了乘法意義的本質，讓學生體會到用乘法算式表示的便捷。

表1 新課展開環節設計

（二）練習鞏固：清晰幾個幾

練習鞏固的第一道題是“式與式的轉化”（見表2），練習中既有像6×6這樣加數與個數相同的習題，又有同一乘法算式3×5或5×3表示兩種不同含義的題目，從而讓學生對算式中的“幾個幾”的認識更加清晰。練習鞏固的第二道題“由圖到式”，呈現了教材中游樂園的主題圖，讓學生結合現實情境自主抽象概括幾個幾，并列出加法、乘法算式，溝通圖與式的關系。練習三則舉一反三“從式到圖”，鼓勵學生自主地運用多種方式表征算式，從一種意義的圖形表征到兩種意義的矩形模型表征，不斷拓寬學生的思路，深化學生對乘法意義的理解。

表2 練習鞏固環節設計

（三）拓展提升：深化幾個幾

拓展提升部分的第一題（見表3），在學生自主表征算式意義的基礎上通過一列一列、一行一行變化的矩形模型，引領學生不斷思考：增加了幾個幾？現在是幾個幾？學生在思辨中豐富對乘法模型的認識。拓展提升的第二題則通過讓學生列舉生活中的乘法，感受乘法在實際生活中的作用。在這一環節中，教師沒有浮于“找乘法算式”的表面，而是引領學生理清“幾個幾”，深入思考每個乘法算式表示的實際含義，提升了學生的思維抽象水平，在“生動”與“深刻”中做出有益的嘗試。

表3 拓展提升環節設計

因為問題“幾個幾”引發的這場爭論風波，讓教師對學生的了解更進了一步，對乘法的教學思考也更加深入。實踐也再次證明：問題基于學生，教學才能真正精彩！