從淺層認知到深度理解

季超

［摘 要］數學教學的主要任務應是促進學生思維的發展。“列舉策略”教學的核心目標是讓學生在自主運用列舉策略解決問題的過程中，進一步發展思維的嚴密性和條理性，使得學生逐步學會更清晰、更全面、更深入、更合理地思考，由“理性思維”走向“理性精神”。

［關鍵詞］列舉策略；深度理解；數形結合

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0043-03

一、審題：從“如臨大敵”到“因勢利導”

“列舉策略”單元例1（如圖1）的教學依托“圍花圃”的真實情境，涉及長方形的等長（周長）變形，對學生來說是有一定難度的。因此，在拋出主問題后，教材編排了問題“根據題中的條件和問題，你能想到什么？”，旨在讓學生能分別“從問題想起”和“從條件想起”，想到“周長是22米，可以圍成大小不同的長方形”“圍成的長方形的長和寬都是整米數”。

然而，真實的課堂不會如教材設計的那樣“按部就班”，學生往往會迫不及待地回答：“長與寬越接近，面積越大。”對于這種在教師預設之外的回答，一些年輕教師會感到“如臨大敵”，于是選擇冷處理；經驗豐富的教師則會憑借一些語言技巧“搪塞”過去，等到例1的教學接近尾聲時，再請學生來說之前的發現，感覺這樣就“功德圓滿”了。

針對以上這些教學現象，筆者不禁產生了以下思考。

其一，教材希望學生依據題目條件“用22根1米長的木條圍花圃”想到“圍成的長方形的長和寬都是整米數”，這有點“強人所難”，因為在生活中，人們完全可以將木材按實際需要進行切割后再使用，更重要的是，即使不明確“長和寬都是整米數”，也完全不影響解題。但是，圍成長方形的長和寬如果可以是非整米數，那圍法便有無數種了。

其二，學生迫不及待地回答“長與寬越接近，面積越大”恰恰反映了學生的精神追求，即迫切希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而教師的主要責任便是以深刻的思想啟迪學生。“長與寬越接近，面積越大”這句話有一定的可取之處，但也是不嚴謹的。作為教師，應當抓住學生回答中的可取之處引發學生進一步思考。

基于上述思考，筆者進行了教學改進。

生1：我覺得長方形的長與寬越接近，面積越大。

師：你認為長方形的面積跟長與寬的相差量有一定的關系，不過要想讓你的想法更有說服力，還得怎樣？

生1：還要把所有可能圍成的情況都列舉出來，再比較它們的面積大小。

師：為什么要把所有情況都列舉出來？

生1：因為符合“周長是22米”這個條件的長方形有很多種，只有把它們都列出來，才能通過比較找到面積最大的圍法。

生2：從中還能判斷“長方形的長與寬越接近，面積越大”這樣的規律是否成立。

……

在以上教學中，學生在理解題意的環節便說出了“長方形的長與寬越接近，面積越大”。教師不僅認可了學生的說法，還引導學生思考如何進一步證明自己的想法，讓學生在自主選擇用列舉策略解決問題的過程中培育思維的嚴密性。而教師的提問“為什么要把所有情況都列舉出來？”不僅讓學生充分感受了列舉策略的特點，還讓學生將“規律”與“列舉”溝通了起來，形成理性思維。

二、探究：“動手動口”終是為了“積極動腦”

通過之前的學習，學生已逐步學會了從條件或問題出發分析數量關系，確定解題思路的策略意識，也充分感受到了列表、畫圖整理條件和問題的策略價值，具備了初步的策略應用意識。通過教師的引導，學生自然能在列舉時使用列表、畫圖的策略，使得列舉過程更為直觀清晰、簡潔明了。

在解決問題后，教師往往會先問學生有什么發現，當聽到學生回答“長方形的長與寬越接近，面積越大”便會心滿意足，然后補充說明還需要加個前提條件“周長一定”，最后讓學生一同齊讀規律。這樣的教學使得規律的得出完全是走過場，學生看似讀得整齊響亮，實則沒能讀入心中。究其緣由，是學生在探索的過程中始終只是“動手”“動口”，沒有真正“動腦”！

基于上述問題，筆者進行了教學改進。

師（出示圖2）：仔細觀察，你有什么發現？

生1：長與寬越接近，面積就越大。

師：你觀察到了長方形的面積隨著長和寬的變化而變化。學習數學除了要看到變化，還要關注不變。在整個過程中，長方形的什么始終不變？

生1：在整個過程中，長方形的周長不變。

生2：當長方形的周長不變時，長與寬越接近，面積就越大。這樣說就更加嚴謹了。

師：真是這樣嗎？我們用數據說話。當長10米、寬1米時，長與寬相差多少？……

師：果真如你們所發現的，當周長一定時，面積隨著長與寬相差量的變化而變化。

......

在以上教學中，教師并沒有急著告知學生前提條件“周長一定”，而是讓學生在“變化”中找尋“不變”，即在不斷變化的數中找準其中的不變因素。通過對規律的不斷剖析，學生逐步想得更全面、更合理，思維的綜合性由此得到提升。

課程標準指出：“在教學過程中，教師要重視數學結果的形成過程。”換言之，充分感受規律得出的過程比規律本身更為重要，教師不應以單純的尋找規律作為策略教學的拓展路徑，而應充分處理好過程與結果的關系，讓學生的直接經驗與間接經驗得到有效的溝通整合，幫助學生逐步學會更清晰、更全面、更深入、更合理地思考，努力促進學生思維的發展。

三、深化：數形結合，讓規律可視化

“在理性思維與理性精神背后同樣隱藏著火熱的激情：一種希望，揭示世界最深刻奧秘的強烈情感。”這就需要教師處理好直觀與抽象的關系——對抽象的數學內容進行深入剖析，并以直觀的形式加以展示。在之前的學習中，學生在比較不同列舉方法的過程中已經初步感知到了數與形之間的對應關系，當然，這種對應關系相對來說是比較簡單的，因為之前的數代表的只是長與寬的長度。在學生得到規律后，此時表格中的數代表的含義變成了長與寬的相差量以及對應的面積。此時，基于函數思想，同樣可以用直觀的圖形來表示抽象的數乃至規律。

基于上述思考，筆者進行了教學改進。

師：這里同樣可以用直觀的圖形來體現數的變化。用橫軸表示長與寬的相差量，越往右代表相差量越大；用縱軸表示長方形的面積，越往上表示長方形的面積越大。

師（描出其中一個點）：當長與寬的相差量是9米時，對應面積是10平方米，可以用1個點來表示此時長方形的面積和長與寬相差量之間的關系。

師（指名學生依次指出剩下4個點的所在位置，如圖3）：我們得到了這5個點，把它們連起來，就能得到這樣一條曲線。看著這條曲線，你有什么發現？

生1：這條曲線的變化趨勢更加直觀地說明，當面積一定時，長與寬的相差量越大，面積越小；長與寬相差量越小，面積越大。

師：是啊，看來學習數學的時候，將數與形結合起來，能更直觀地發現變化規律。

生2：我覺得這條曲線還可以往左邊延伸，一直延伸到縱軸，到縱軸這個位置，就相當于長與寬相差0米，此時它就是一個正方形，邊長為5.5米，通過計算得出面積是30.25平方米。在所有的長方形中，這是面積最大的情況。

師：有什么新的想法？

生3：圍法可以有無數種，只是因為我們是用“1米長的木條”圍的，長與寬必須是整數，所以剛才只列舉出這五種情況。

生4：如果沒有這個條件，就不能把所有情況一個一個列舉出來了。

師：這條變化趨勢線的出現，離不開最初的這5個對應點，而這恰恰是我們通過一一列舉得到的。看來一一列舉的策略不僅可以幫助我們解決問題，還可以幫助我們發現規律。

“具體解題策略的學習”與“普遍性思維策略的學習與思維品質的提升”是相輔相成的。教師的推理性提問和啟發性提問，能引導學生迸發出思維的火花，從而實現對規律的深度理解。策略教學的深化不應被理解成形式的變化，而是“由簡單走向復雜，化復雜為簡單”。這也為學生具體學習各種解題策略，特別是普遍性思維策略，以及提升思維的品質，提供了重要途徑。

筆者通過課前調查發現，有不少學生對“周長一定時，長方形的長與寬越接近，面積越大”這樣的規律有了一定的感知，但這樣的感知往往是模糊的、不嚴謹的。如何突破學生的淺層認知，促使學生對教學內容深入理解，就需要教師在課堂實踐中把握好過程與結果的關系、直觀與抽象的關系以及直接經驗與間接經驗的關系。

其一，重視數學結果的形成過程。不僅讓學生能較嚴謹地說出規律，還要使學生了解規律是如何得到的。列舉策略不僅可以研究“周長一定時，面積和長與寬的相差量之間的關系”，還可以研究“面積一定時，周長和長與寬的相差量之間的關系”，乃至“長方形一邊靠墻時，面積和長與寬的相差量之間的關系”。值得注意的是，在教學中，規律本身并不重要，重要的是引導學生充分參與規律的得出過程，并從中發展思維的嚴密性和條理性。

其二，重視數學內容的直觀表述。在上述教學案例中，教師充分運用幾何直觀幫助學生思考，培養學生的推理意識：由5個關系點得到一條變化趨勢線，將抽象的數字轉化成了直觀的圖形，依托曲線的變化，更為直觀地證明了規律的合理性。

其三，重視學生直接經驗的形成。在教學案例中，教師既沒有急著結合變化趨勢線按部就班地授課，也沒有把其當作“噱頭”一帶而過，而是設置了開放性問題，以啟發學生自主探索和發現。學生的思維隨之打開，自然而然想到了這條曲線可以朝著另一個方向繼續延伸，感受到符合“面積一定”圍法的無限性，只是受限于題目的具體條件“1米長的木條”才只能列舉出五種不同的情況。如此，學生對題目的條件有了更加深刻的認知，感受到列舉策略不僅能解決問題，還能找出規律。此時，學生的認知由“理性思維”走向“理性精神”。

蘇霍姆林斯基曾說：“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界里，這種需要特別強烈。” 數學教師應由強調各種具體解題策略轉變為注重學生普遍性思維策略與思維品質的提升，幫助學生通過解決問題逐步想得更清晰、更深入、更全面、更合理，從而不斷提升思維的綜合性、靈活性、自覺性和創造性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 鄭毓信 .傳統應用題教學之當代重建（上）[J].中小學課堂教學研究，2020（1）：3-7.

[2]鄭毓信 .教育之哲學審思：哲學視角下的數學教育（二）[J].江蘇教育，2022（17）：25-30.

［3] 孫保華.豐盈教學過程? 感受策略價值：“解決問題的策略（列舉）”教學設計與說明[J].小學數學教育，2015（22）：48-49.

[4] 鄭毓信 .數學教師應有的“文化擔當”（中）[J]. 湖南教育（C版），2019（2）：22-24.

[5] 鄭毓信 .從“反思性實踐者”到“作為研究者的教師”（上）[J].小學教學（數學版），2018（Z1）：40-47.

（責編 金 鈴）