數學跨學科試題研究

黃賢明

摘 要：數學跨學科試題是指以數學學科內容為核心，融合其他學科知識、思想、方法等內容的試題，從跨學科內容的功能（目的）來看，可以分為點綴呈現型、情境應用型與綜合拓展型三類。數學跨學科試題的價值包括：發展數學核心素養，感悟數學應用價值；積累其他學科素材，提升教師專業能力；豐富數學探究內容，優化數學育人方向。相關的教學啟示有：關注試題背景的情境性，積極開展跨學科主題的實踐活動；理解學科知識的耦合性，充分實現跨學科內容的課堂滲透。

關鍵詞：初中數學；跨學科試題；跨學科教學

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本文系江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規劃課題“數學理解視域下跨學科教學的實踐研究”（編號：2022/LX/02/081/10）的階段性研究成果。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，源自人們對現實世界的抽象。數學學科的基礎性與現代發展都指明了數學學科跨界、融合的必然。近年來，跨學科的數學教育逐漸成為研究的熱點?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的主要變化之一就是優化了課程內容結構，包括以“綜合與實踐”為基礎“設立跨學科主題學習活動，加強學科間相互關聯，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求”［1］。

事實上，跨學科的內容早已存在于數學教學的方方面面。在教材的編排中、試題的編制中、教學過程的設計中，都會涉及跨學科的內容。此外，國內也涌現出許多指向數學跨學科教育的研究，如教材或中高考試題中跨學科內容的體現、基于跨學科內容的教學活動組織、包含跨學科內容的作業設計等。但較少有研究關注數學跨學科試題的類型與特點。研究數學跨學科試題不僅能為教師在中高考系統的復習中提供教學參考，還能為教師日常開展跨學科教學提供方向。下面，以2022年各地數學中考試卷中的跨學科試題為例，分析數學跨學科試題的類型與價值，并提出教學啟示。

一、 數學跨學科試題的類型

數學跨學科試題是指以數學學科內容為核心，融合其他學科知識、思想、方法等內容的試題。從跨學科內容的來源分析，其可以分為科學、技術、工程、藝術四大類，涉及物理、化學、歷史、建筑、經濟等多個學科。從跨學科內容的功能（目的）來看，則可以分為以下幾類：

（一） 點綴呈現型

在點綴呈現型數學跨學科試題中，跨學科內容僅提供了簡單的背景，不需要從中抽象出數學知識，即與問題的關聯不密切。此類試題中的跨學科內容僅起到豐富背景的“點綴”作用，處于“可有可無”的狀態。不需要掌握其他學科的知識，也能解決問題。

例1 （2022年湖北省鄂州市數學中考試題）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型。在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示，即21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…。請你推算22022的個位數字是（? ）

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

例1是一道生物學與數學的跨學科試題。它闡述了數學模型在生物學中描述、解釋和預測種群數量變化的作用，同時給出了細胞分裂的問題背景，呈現了數學模型2n。但是，所需解決的問題圍繞2n個位數字的規律，與所給的問題背景關聯不密切，即使去掉相關背景或換成其他背景，也不影響問題的解決。因此，例1屬于典型的點綴呈現型數學跨學科試題，并未體現跨學科思維的應用。

（二） 情境應用型

在情境應用型數學跨學科試題中，跨學科內容不僅提供了其他學科的問題情境，還期望學生通過數學的眼光發現（抽象出）其中的數學研究對象，并通過數學的知識、思維與方法來解釋其他學科的現象，解決其他學科的問題。此類試題中的跨學科內容是為了掩飾數學問題而創設的問題情境。在解答的過程中，不涉及其他學科知識的應用，數學知識與其他學科的內容可以分離。

例2 （2022年貴州省遵義市數學中考試題）數學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長度。小組成員查閱相關資料，得到如下信息：

信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度。

根據以上信息，北緯28°緯線的長度約為? ? 千米。（參考數據：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53）

例2是一道地理與數學的跨學科試題。它以探究北緯28°緯線的長度為目標，期望學生從立體的地球模型中抽象出平面的數學模型，從而明晰“所求緯線的長度即為以弦BC為直徑的圓的周長”，進而只需利用28°角的余弦、垂徑定理等數學知識求出BC的長，解決問題。此類試題相較點綴呈現型數學跨學科試題而言，對學生數學抽象、邏輯推理等數學關鍵能力的要求更高，更希望學生能夠撥開跨學科內容的“外衣”，抽象出純粹的數學問題加以解決，初步彰顯跨學科思維的價值，體現數學學科應用的廣泛性。

（三） 綜合拓展型

在綜合拓展型數學跨學科試題中，跨學科內容成為試題的有機組成部分，與數學知識相互交融。這類試題要求學生在綜合化的跨學科情境中，抽象出以數學知識為核心的問題，融合其他學科的知識、思想與方法，形成問題探究的主要思路。同時，問題的解決還需要學生把握各學科知識之間的共同點，綜合地應用數學與其他學科的知識，發揮數學閱讀、數學抽象、數學建模等關鍵能力。這類試題中的跨學科內容屬于數學與其他學科的交叉內容，與試題問題關聯密切。

例3 （2022年湖南省婁底市數學中考試題）“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想?！倍斩帐褂梦樟ζ鳎▽嵨锶鐖D3所示）鍛煉手部肌肉。如圖4，握力器彈簧的一端固定在點P處，在沒有外力作用時，彈簧的長度為3 cm，即PQ=3。開始訓練時，將彈簧的端點Q調在點B處，此時彈簧長PB=4，彈力大小是100 N。經過一段時間的鍛煉后，手部的力量大大提高，需增加訓練強度，于是將彈簧的端點Q調到點C處，使彈力大小變為300 N。已知∠PBC=120°，求BC的長。

例3是一道體育、物理與數學的跨學科試題。它設置了墩墩使用握力器鍛煉手部肌肉的體育學科情境，涉及物理中有關彈簧的知識，以及數學中的三角函數、勾股定理等知識的應用。在解決的過程中，學生需要從題干信息中結合圖4提取出相關的物理信息與數學信息，進而借物理知識將信息數學化，得到純粹的長度、角度之間關系的數學信息，最后利用數學知識來解決（具體如圖5所示）。此類試題更重視跨學科內容的綜合性滲透，體現數學與其他學科知識之間的跨界融合，需要較高水平的跨學科思維。

二、 數學跨學科試題的價值

（一） 發展數學核心素養，感悟數學應用價值

數學跨學科試題的本質是在跨學科的情境中，抽象出相關數學信息與問題，并在其他學科知識、思想與方法的輔助下，結合數學知識解決問題。因此，數學跨學科試題旨在引導學生用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達跨學科情境，進而在解決的過程中促進學生數學抽象、數學建模、邏輯推理等數學關鍵能力的發展。同時，學生經歷了用數學知識解決跨學科問題的過程，感受到數學知識應用的廣泛性，彰顯出數學的現實價值。

（二） 積累其他學科素材，提升教師專業能力

數學跨學科試題是數學與其他學科知識之間關系的生動體現，其中的跨學科內容也是教師開展數學跨學科教學的重要素材來源。比如，例1中細胞分裂的數學模型就能有效地應用于“有理數的乘方”“冪的運算”等的教學中。因此，數學跨學科試題解決了教師在數學跨學科教學中“無米而炊”的現實問題，為數學跨學科主題或項目活動的開展提供了內容、視角和方向。同時，數學跨學科試題有助于教師積累數學跨學科素材，能不斷提升教師的數學跨學科素養與開展數學跨學科教學的專業能力。

（三） 豐富數學探究內容，優化數學育人方向

數學跨學科試題的教學與常規的解題教學有較大的差異，需要幫助學生理清數學與其他學科之間的聯系，引導學生從題干中將數學信息與其他學科信息靈活轉化，直至形成問題解決所需的關鍵信息。因此，數學跨學科試題的出現會不斷豐富數學探究的內容，并且能夠為數學探究（包括研究性學習）活動的開展提供相關契機。此外，數學跨學科試題側重學生核心素養的考查與跨學科思維的應用，這將促進教師不斷優化教學形式，充分發揮數學學科的育人價值。

三、 教學啟示

（一） 關注試題背景的情境性，積極開展跨學科主題的實踐活動

跨學科試題最大的特征就是背景的情境性，這些情境大多存在于真實的自然和社會現象中，沒有經過人為的分科處理。因此，教師要關注試題背景的情境性，以具體的現象為起點，確定數學跨學科教學的主題（項目）；然后，依托主題，形成以數學學科為核心的問題（任務）鏈，引導學生結合數學以及其他學科知識形成探究思路，開展實踐活動。

比如，例2給出了測量緯線長度的地理學科情境，其本質為“緯度決定緯線的長度”。圍繞該情境可以進一步聯想到一些現實生活中的具體現象，比如“在同一緯度，物體的影長會隨時間的推移而改變”。通過查閱資料，發現我國古代有一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器——圭表（如圖6），它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”）。由此，可以確定數學跨學科活動的主題：制作圭表。

在教學中，教師可以先呈現圭表模型，講述圭表原理，然后給出如下任務鏈：（1） 請你將圭表模型抽象成幾何模型，思考制作圭表需要得到哪些信息。（2） 請你了解正午太陽高度角與緯度的關系。（3） 冬至太陽直射點的緯度是南緯23°26′，夏至太陽直射點的緯度是北緯23°26′，蘇州市所在的緯度為北緯31°3′。若圭表中表長為a米，請你計算出蘇州地區冬至與夏至的日影長。（4） 請你結合上述任務，制作一個圭表，并在圭上標出冬至與夏至日影所在位置。

任務1需要學生抽象出如下頁圖7所示的幾何模型，并指出制作圭表需要在確定表AC長的基礎上，得到冬至與夏至的日影長。任務2需要學生通過查閱資料，得到正午太陽高度角θ、太陽直射點緯度δ與當地緯度φ之間滿足θ=90°-|φ-δ|（記北緯為正值，南緯為負值）。同時，教師可借助圖8幫助學生理解這一關系的本質原因。任務3與任務4則是對圭表基本元素的推演與計算，進而利用三角函數、勾股定理等知識得到相關數據。最終，讓學生在動手操作中親身經歷圭表的制作過程，獲得數學跨學科實踐活動的經驗。此外，還可讓學生收集近期太陽直射點的緯度數據，推演與計算圭表中的對應位置，并在具體實踐中檢驗所標位置的準確性。

在完成上述任務的過程中，學生經歷了“現象—本質—現象”的轉化過程，即從圭表模型出發，理解其本質內涵，回歸到具體圭表的制作中。任務鏈將復雜的現實現象逐漸拆解為多個貼近學生認知基礎與生活經驗的小任務，促進學生在“制作圭表”的實踐活動中實現數學知識的遷移與跨學科能力的提升。

（二） 理解學科知識的耦合性，充分實現跨學科內容的課堂滲透

學科知識的耦合性要求在一個問題的解決中，打破不同學科知識之間的壁壘，理解知識之間的內在邏輯結構，構建異質性知識的耦合路徑，實現不同學科知識的有機結合。綜合拓展型數學跨學科試題就是學科知識耦合性的重要表現。因此，教師首先要理解學科知識的耦合性，把握跨學科試題的知識背景，形成跨學科的問題（任務）等內容，促進自身跨學科素養的有效提升。其次，要基于問題的解決，能動性地應用跨學科內容設計相關教學活動，實現跨學科內容從“學科形態”向“教育形態”的轉變，將跨學科內容滲透到數學課堂中。

比如，數學學科中的平行線知識就可以與物理學科中光的反射知識建立密切聯系。在《平面圖形的認識（二）》單元的復習教學中，可創設“制作潛望鏡”的跨學科學習活動，讓學生結合平行線的性質與判定以及光的反射定理思考潛望鏡中鏡子的擺放角度。［2］此外，在該單元內容的考查中，也可以圍繞“如何讓經過多次反射后的光線與原光線平行”的問題編制試題，讓學生在深入探究解決問題的過程中理解學科知識的耦合性，實現學科的融合，發展數學核心素養，培養跨學科思維。

總之，數學跨學科試題是開展數學跨學科教學的一大途徑，不僅為教師呈現了豐富的跨學科素材，也能夠訓練學生的跨學科思維，發展學生的跨學科能力。雖然新課標給出了“體育運動與心率”“國內生產總值調研”等數學跨學科實踐活動案例，但是，仍舊有諸多可挖掘、可設計、可實施的數學跨學科教學素材隱藏在試題中。教師要做有心人，積極從數學跨學科試題中汲取靈感，真正發揮數學跨學科試題的價值。當然，教師也可以結合教材編排、教學實踐與教學研究中獲得的數學跨學科素材，編制出更多優秀的數學跨學科試題。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：前言4.

［2］ 周煉，陳鋒.任務群視角下單元后建構課的教學設計與實踐——以蘇科版“平面圖形的認識（二）”為例［J］.中學教研（數學），2023（1）：1621.