探尋有效路徑培養學生逆向思維

張鵬

摘要：在新課程改革持續推進的教育背景下，對高中數學教學提出更高的標準和要求，不僅要關注理論知識、運算方法和解題技巧，還需要注重學生思維能力的培養與發展.教師在教學中需探尋有效途徑培養學生的逆向思維，將學生逆向思維的培養融入點滴教學之中，在促進學生思維品質提升的同時，使其深化理解與掌握數學知識及技能.

關鍵詞：有效途徑；課堂教學；逆向思維

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0005-03

逆向思維又稱之為求異思維，即為對司空見慣、似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式，使思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入探索，樹立新思想和創立新形象.高中數學作為一門邏輯思維和抽象性十分強的科目，逆向思維成為高中生學習數學知識與解題的必備品質之一.在高中數學教學中，教師要將培養學生逆向思維的品質融于平時的數學教學中，不斷關注學生的思維能力發展，通過探尋有效途徑加大培養力度，從而既優化學生的思維品質，又促進學生數學能力的飛躍.

1 基于概念教學著手，培養學生逆向思維

在高中數學課程教學中，概念屬于基礎性知識，是學生學習其他知識和解題的前提.為有效培養學生的逆向思維，教師首先可基于概念教學著手，使其對概念進行反向推理，潛移默化地培養逆向思維.對此，高中數學教師在概念教學中，不能因循守舊地只帶領學生進行正向推導，還要指導學生學會反向推理，使其數學思維不再固化，而是變得發散和開闊.

在進行“對數函數”教學時，教師先帶領學生回顧指數函數的研究過程，再次談論細胞分裂問題，學生知道某種細胞分裂時，得到細胞個數y是分裂次數x的函數，可用指數函數y＝2x表示.接著，教師設疑：現在大家一起從逆向視角研究相反的問題，假如要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到1萬個，10萬個……細胞，那么分裂次數x就是要得到細胞個數y的函數，根據對數的概念，這個函數可以寫成對數的形式.就是x＝log2y.提示學生逆向思考，用x表示自變量，y表示函數，使其順利得出新的函數形式y＝log2x，并輔助學生總結出對數函數的概念，即為，一般地，當a＞0且a≠1時，函數y＝logax叫做對數函數.隨后教師指導學生結合指數函數的定義域、值域逆向研究對數函數的定義域和值域.

概念是數學學科的基石，是學生深度理解數學問題的關鍵.在高中數學教學中，教師要通過靈活多樣的教學方法，引導學生深化對數學概念的理解，從而為學生的思維發展奠定堅實的基礎.在上述案例中，教師合理利用指數函數與對數函數這對互逆概念設計教學，幫助學生理解對數函數的概念，使其學會利用聯系的觀點分析問題，讓學生認識到事物之間能夠相互轉化，為學生后續思維能力的進一步優化奠定了基礎.

2 借助定義教學契機，培養學生逆向思維

定義即為對于一種事物的本質特征或一個概念的內涵和外延，進行確切而簡要的說明，與概念相比，意思、出處和側重點均有所不同.在高中數學教學中，教師可借助定義教學的契機展開逆向思維鍛煉.某些與定義直接相關的問題，條件與結論是相互等價的，能夠相互推導出來，讓學生了解到定義不僅能正向使用，也可逆向使用，借此培養學生的逆向思維.

在開展“集合”教學時，教師先帶領學生學習集合、子集、全集和補集等相關基礎性知識，重點是定義的描述和元素，結合韋恩圖指引學生學習交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.使學結合這一說法給出并集的定義：一般地，由所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，A與B的并集記作A∪B，讀作“A并B”，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.之后，教師組織學生進行逆命題和真命題的判斷練習，如：當集合A是集合B的子集時，A∩B＝A，反過來講，當A∩B＝A時，集合A就是集合B的子集.要求學生模仿這樣的說法自主設計命題，由同伴判斷.

數學定義皆為高度概括和抽象的語句對數學問題進行歸納.在教學中，教師要以此為契機，引導學生深度融入定義概念，深刻理解和認識定義，特別是借助問題的反復認知，使得學生把握定義的內在意義，培養學生思維的靈活性和深刻性.在這一課的教學中，教師在講授基礎性的定義知識過程中融入逆向思維的培養，并結合舉例說明，讓學生也列舉一些相關例子，使其學會逆向思考和應用定義，鍛煉了學生的逆向思維能力.

3 強化公式應用練習，培養學生逆向思維

從數學視角來看，公式是用數學符號表示幾個量之間關系的式子，具有典型的普遍性特征，適用于同類關系的所有問題.在高中數學公式教學中應當突出雙向性，教師既要指導學生通過常規思維正向使用公式求解問題，還需強化公式的逆向應用訓練，使其慢慢形成逆向理解公式的思維，促使學生牢固掌握、深化記憶與靈活使用，最終產生融會貫通的效果，這樣才能真正實現對學生思維的靈活性和敏銳性的培養，使學生具有發現的慧眼，捕獲問題的本質.

以“三角函數”教學為例，該部分知識內容運用得較為廣泛，通常是考試考查的一個重點.由于有多種三角函數公式的存在，包括正弦、余弦、正切、余切等，所以對學生靈活運用公式的水平要求較高，不過只要學生掌握公式的逆推能力，學習起來難度就不是特別大.在學習完理論知識后，教師可設計練習題，先引導學生直接應用公式變化來解題，之后，再鼓勵學生從逆向視角出發，運用逆向思維進行求解.

逆向思維需要學生擁有對數學知識的深刻認識以及對數學關系的準確把握.公式是數學學科的典型特征，是數學關系的高度濃縮.在數學公式教學中，教師要著眼于公式的靈活應用，讓學生學會舉一反三，把握公式的本質.在上述案例中，教師高度重視公式的正向與逆向使用，讓學生學會使用恰當的方法解答練習題，使其意識到逆向思維是處理問題的有效工具，通過加強練習培養學生的逆向思維.

4 教師發揮引導作用，培養學生逆向思維

教師是學生學習進程中的引路人.科學有效的引導能夠給學生的學習帶來事半功倍的效果，促進學生在輕松快樂中掌握知識，在不經意間掌握數學思維的方法.在新時期教育背景下的高中數學教學中，要想更好地培養學生的逆向思維，教師需要及時更新教育理念，堅持“以生為本”原則，增強對學生逆向思維的訓練，使其數學思維變得更加深刻和敏銳.同時，高中數學教師還應發揮自身引導作用，引領學生適當采用分析法與反證法分析數學問題，培養學生的雙向思考能力，使其學會應用這兩種逆向思維方式.

例如，在實施“解析幾何”教學時，教師引用例題：在平面直角坐標系xOy中，動點P到定點F（0，1）的距離和P到定直線x＝-4的距離之比為1∶2，求動點P的軌跡C的方程.如果軌跡C上的動點N到定點M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值是1，求m的值.第一問較為簡單，學生能夠輕松推導出動點P的軌跡方程是x24＋y23＝1.處理第二問時，學生通常只考慮到0＜4m＜2這一種情況，容易把4m＞2的情況漏掉，此時，教師就需要引領學生結合結論把公式逆向推理，使其發現其中的問題.讓學生分兩種情況進行討論：當0＜4m＜2時，由|MN|2＝1，通過計算能夠得出m＝63，代入公式后發現x＞2，超出討論區間，要把這個值舍去；當4m＞2時，當x＝2時，|MN|2取最小值1，可求得m＝1或m＝3（舍去）.綜上，m=1.

學生思維本領的發展是一個潛移默化的漸進過程，學生思維能力的提升不是一蹴而就的.在此過程中，既需要學生在平時的學習中不斷總結，不斷升華，更離不開教師的悉心指導.為此，在平時的教學中，教師應針對學生的學習實際，有意識地培養學生的數學思維，尤其是借助一些典型的數學問題，挖掘學生的思維潛能，讓學生有豁然開朗之感，促進學生思維的頓悟.在上述教學案例中，教師極力發揮出自身的引導作用，提示學生采用逆向推理，幫助學生走出思維的困境，產生“撥開云霧見日月”之感.

5積極開展解題訓練，培養學生逆向思維

在高中數學教學中，解題訓練是不可或缺的一個重要環節，既能檢測學生對理論知識和解題方法的掌握情況，還可以鍛煉學生的解題技巧，使其掌握更多竅門，從而正確、快速地處理數學試題.因此，高中數學教師需積極開展解題訓練活動，指引學生采用逆向思維分析和解題，使其把復雜、特殊、抽象的問題變得簡便、一般和具體.

在“數列”教學中，教師可設置這樣一道數學試題：已知a1＝3，an＋1＝a2n，n∈N*，求an的值.本道題目主要考查學生對數列知識的掌握情況.教師可先要求學生認真閱讀題目內容，找出已知信息和所求問題，使其嘗試從逆向視角切入，結合函數相關知識求解.具體解題過程如下：結合題目中給出的已知條件an＋1＝a2n，能夠將其轉變成函數關系式，即為f（n＋1）＝f 2（n），得到這個式子以后，教師可以讓學生聯想到需要使用什么方式把函數式繼續推導下去，使其運用函數概念、公式等知識，套入公式后得到f（n）＝f 2（n-1），然后繼續推導得出f（2）＝f 2（1），經過一系列計算得到f（n）=［f（1）］2n-1=32n-1也就是說an=32n-1.

數學學習離不開解題，解題既是學生數學學習的重要內容，也是優化學生思維品質的重要引擎，解題能力與學生的思維品質的培養可謂相輔相成.學生的學習歸根結底要落腳于學生的解題能力.為此，在平時的數學教學中，教師一方面要通過庖丁解牛式的細致講解，幫助學生厘清數學知識的脈絡，更重要的是指導學生學會解題，善于解題，不斷提升學生的數學解題能力.在平時的教學中，教師要通過精心設計解題活動，通過展示、分享、分析、比較，不斷凸顯學生解題過程中的得與失、優與劣，并從思維的品質上給予評價.上述案例中，教師積極設計解題訓練活動，為學生提供和制造更多運用逆向思維的機會，使其獲得解決問題的新途徑，能夠快捷、高效地解答試題，改善學生的逆向思維水平，同時更提升了學生的數學解題能力.

總之，數學思維是學生數學學習的重要內容，是提升學生數學學習質效的關鍵內在因素.逆向思維更是學生思維品質中的關鍵組成.在高中數學教學實踐中，教師應意識到培養逆向思維的重要性與價值，在日常教學中要善于把握契機，從概念、定義、公式和解題等多個環節切入，全方位培養學生的逆向思維能力，使其深化理解數學理論知識，讓學生形成簡便、有效的解題思路.

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［責任編輯：李璟］