巧用點(diǎn)差法解中點(diǎn)弦問題

張景南　文芳

與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.其解法有點(diǎn)差法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法等.本文主要介紹點(diǎn)差法：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A（x1，y1）、B（x2，y2），將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.筆者將常見的類型例析如下，以供參考.

一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題

例1 過橢圓x216+y24=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程.

解 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，

所以x1+x2=4，y1+y2=2，又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則x21+4y21=16，x22+4y22=16，

兩式相減得（x21-x22）+4（y21-y22）=0，所以y1-y2x1-x2=-x1+x24（y1+y2）=-12，即kAB=-12.

故所求直線方程為x+2y-4=0.

二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題

例2 已知橢圓x22+y2=1，求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.

解 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Px1，y1，Qx2，y2，PQ的中點(diǎn)為Mx，y.

則x212+y21=1，x222+y22=1.兩式相減得：x1+x22+y1-y2x1-x2y1+y2=0

又x1+x2=2x，y1+y2=2y，y1-y2x1-x2=2，所以x+4y=0.所以弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，所以所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為x+4y=0（在已知橢圓內(nèi)）.

三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題

例3 求直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

解 設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中點(diǎn)P（x0，y0），由題意得y21=4x1y22=4x2，兩式相減得：（y2-y1）（y2+y1）x2-x1=4，所以y1+y2=4，

即y0=2，x0=y0+1=3，即中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）.

四、求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程問題

例4 已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F（0，50）的橢圓被直線l：y=3x-2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12，求橢圓的方程.

解 設(shè)橢圓的方程為y2a2+x2b2=1，則a2-b2=50①.設(shè)弦端點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），

弦PQ的中點(diǎn)M（x0，y0），則x0=12，y0=3x0-2=-12所以x1+x2=2x0=1，y1+y2=2y0=-1.又y21a2+x21b2=1，y22a2+x22b2=1.

兩式相減，得：-b2（y1-y2）+a2（x1-x2）=0，所以 y1-y2x1-x2=a2b2，所以 a2b2=3②.

聯(lián)立①②解得a2=75，b2=25，所以橢圓的方程是y275+x225=1

五、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題

例5 已知橢圓x24+y23=1，試確定的m取值范圍，使得對(duì)于直線y=4x+m，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.

解 設(shè)P1（x1，y1）P2（x2，y2）為橢圓上關(guān)于直線y=4x+m的對(duì)稱點(diǎn)，P（x，y）為弦P1P2的中點(diǎn)，則3x21+4y21=12，3x22+4y22=12相減得： 3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0 因?yàn)閤1+x2=2x，y1+y2=2y，y1-y2x1-x2=-14所以y=3x這就是弦P1P2中點(diǎn)P軌跡方程.它與直線y=4x+m的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立y=3xy=4x+m，得x=-my=-3m 則必須滿足y2<3-34x2，即（3m）2<3-34m2，解得-21313利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線中點(diǎn)弦問題，方法簡捷明快，結(jié)構(gòu)精巧，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，而且應(yīng)用特征明顯，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的解題能力和解題興趣.