“畫數(shù)學(xué)”——表達思維的別樣方式

倪琛

2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》指出，要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。“畫數(shù)學(xué)”對于學(xué)生來說，意味著用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用別樣的方式表達思維，用豐富的想象創(chuàng)造精彩，所以“畫數(shù)學(xué)”的本質(zhì)就是學(xué)生的知識認知“數(shù)學(xué)化”的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生借助“畫數(shù)學(xué)”這種別樣的方式，直觀地展示自己對概念、計算、思路、猜測、結(jié)構(gòu)的理解和思考，達到“千江有水千江月”的境界。在“畫數(shù)學(xué)”中畫出了學(xué)生被激活的已有經(jīng)驗，畫出了學(xué)生被激活的數(shù)學(xué)思維，也畫出了學(xué)生被激活的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的樣子。

一、畫概念——化虛為實，把握概念本質(zhì)

對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念往往是“虛”的，概念的認識是一個抽象化和舉例的過程，需要在學(xué)生的頭腦中將之轉(zhuǎn)化成具體的可感、可視、可觸、直觀的畫面才能夠理解和感悟。畫概念就是在概念教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生化虛為實，把自己對某個數(shù)學(xué)概念的理解和感悟畫出來，變成可以感悟、便于思考的畫面，從而易于把握概念的內(nèi)涵與外延。畫概念的關(guān)鍵是充分經(jīng)歷列舉和抽象，把握概念的本質(zhì)。

例如，教學(xué)“小數(shù)的初步認識”時，在學(xué)習了小數(shù)的讀寫法之后，教師拿出一個紙杯，介紹它的價格是0.1元，問學(xué)生：“0.1元也就是多少錢？”學(xué)生異口同聲回答說：“1角。”教師說：“是的，同學(xué)們都知道了，原來這1角就是0.1元，換句話說這0.1元就是1角。一年級的時候我們換過人民幣，這1元可以換成10角。”同時，課件展示一張一元紙幣兌換成10張1角紙幣。這時，教師提出：“如果用一個長方形來表示1元，那怎么表示0.1元呢？你們能畫圖來表示嗎？”學(xué)生們用不同方法來表示0.1元，有的學(xué)生把長方形豎著平均分成10份，將其中的1份涂上陰影就是0.1；也有的學(xué)生先把長方形豎著平均分成5份，再把每一份橫著平均分成兩份，也就是平均分成10份，將其中一份涂上陰影，就是0.1元。在此基礎(chǔ)上，通過交流，學(xué)生知道了把表示1元的長方形平均分成10份，其中的1份就是0.1元，如果用分數(shù)表示就是1/10。

在借助米尺引導(dǎo)學(xué)生理解零點幾就是十分之幾的基礎(chǔ)上，設(shè)計“我寫你畫”的游戲：同桌兩人分別寫一個學(xué)過而且知道它的意義的分數(shù)，給對方畫出這個數(shù)字的意義，然與同桌進行交流。

在全班匯報交流時，教師展示了大部分學(xué)生選擇畫的零點幾的幾幅圖：有的學(xué)生把一個長方形平均分成10份，將其中的5份涂上陰影表示0.5；有的學(xué)生把一個正方形平均分成10份，將其中的4份涂上陰影表示0.4；有的學(xué)生把一個圓平均分成10份，將其中的9份涂上陰影表示0.9，還有的學(xué)生把一條線段法平均分成10份，將其中的8份涂上陰影表示0.8。接著讓學(xué)生觀察，并說一說看懂了什么。這四幅圖中，學(xué)生們分別用長方形、正方形、線段或者圓表示1，把他們平均分成10份，涂了或者選擇了其中的幾份，就可以表示成零點幾。這時，教師進一步讓孩子思考：“同學(xué)們畫的零點幾都差不多，除了用長方形、正方形、線段或者圓來表示1，還可以用其他來表示1嗎？”有的學(xué)生想到了還可以用橢圓、三角形……這時，教師提醒道：“橢圓或者三角形似乎不太容易平均分成10份。”學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)：“圓也不太容易平均分成10份，有的圖沒有真的平均分。如果沒有平均分的話，就不能正確地表示這個小數(shù)了。”

在這個片段中，教師化虛為實，將抽象的零點幾的小數(shù)的意義用看得見、摸得著、直觀的圖形表征出來，引領(lǐng)學(xué)生在畫圖、說圖、析圖、比圖中，體驗感悟到必須進行等分才能表示零點幾的小數(shù)，從而把握了小數(shù)的十進本質(zhì)。

二、畫計算——化理為形，直觀理解算理

對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)計算往往是枯燥的，算理往往也是深奧的，計算的理解是解決怎樣算以及為什么這樣算的問題，也就是計算過程中的思維方式，需要在學(xué)生的頭腦中將之轉(zhuǎn)化成具體的可探究、可操作、可表征的場景才能夠掌握算法和理解算理。畫計算，就是在計算教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生化理為形，把自己對計算方法的探究和算理的理解畫出來，變成便于充分比較、觀察的畫面，從而易于觀察、比較、歸納出算法并理解算理。畫計算的關(guān)鍵是圖畫與算式結(jié)合，相互對照說明。

例如，教學(xué)“異分母分數(shù)加減法”時，算理很抽象，可以讓孩子畫計算。課一開始出示例題：有一塊長方形的試驗田，其中1/2種黃瓜，1/4種番茄。黃瓜和番茄的面積一共占了這塊地的幾分之幾？教師首先讓學(xué)生讀題，自己列式并嘗試算一算。在匯報時出現(xiàn)了兩種不同的想法：一種認為1/2+1/4=3/4，因為1/2是2個1/4，也就是2/4，所以1/2+1/4=3/4；另一種認為1/2+1/4=2/6，因為分數(shù)計算和小數(shù)計算一樣，1+1是分子，2+4是分母。那么哪種方法是正確的呢？于是教師請同學(xué)們畫圖來解釋說明。

一學(xué)生展示他畫的圖，并解釋道：“第二種方法是錯的，我先畫出是一塊長方形地的1/2，又畫出同樣大的長方形的1/4，還畫出了同樣大的長方形的2/6，同樣的長方形地的2/6比這塊地的1/2要小，這是沒有道理的。”這時，教師補充：“一塊地的2/6就是它的1/3，的確是比1/2小，和比加數(shù)還小？能這樣算嗎？”學(xué)生很肯定地表示不能分子加分子、分母加分母。這時，又一學(xué)生提出了第三種算法，并出示他的圖：1/2+1/4=5/8。先畫一塊長方形試驗田，1/2種黃瓜，所以分一半給黃瓜，還有1/4種番茄（將剩下的一半平均分成4份，取其中一份種番茄），這樣就有5個1/8，也就是5/8。另一個學(xué)生著急了，也拿出他畫的圖說道：“這是錯的，左邊的1/2，種黃瓜沒錯，它是整塊試驗田的1/2，右邊種番茄的部分也應(yīng)該是整塊試驗田的1/4，而不是剩下的那一半的1/4，所以應(yīng)該是1/2+1/4=3/4。”

教師進一步引導(dǎo)，還有其他方法嗎？學(xué)生又展示了新的畫圖并解釋說明：“我也贊成1/2+1/4=3/4，我用圓表示一個整體，第一個圓中的陰影部分是1/2，第二個圓中的陰影部分是1/4，把它們合在一起就是3/4。”甚至還有一位同學(xué)用線段圖來解釋了1/2+1/4的計算方法：“把一條線段平均分成兩份，其中的1份是1/2，再把剩下的線段平均分成兩份，其中的1份是1/4。”教師質(zhì)疑：“從你的圖來看，圖中的1/2是1份，1/4也是1份，合起來不就是三份中的兩份，和不就是2/3，又怎么會是3/4？”這時，又引發(fā)了學(xué)生的辯論：“這位同學(xué)沒有平均分，每一份是不同的，可以把前面的1/2平均分成2份，變成2個1/4，2個1/4加上1個1/4就是3個1/4，就是3/4，”從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分數(shù)單位相同才能相加。

這個片段中，教師啟發(fā)學(xué)生化理為形，通過“畫計算”進行“說理”，而且在說理時不僅結(jié)合錯例引導(dǎo)學(xué)生正確畫圖表示題意，還注意啟發(fā)學(xué)生用長方形、圓、線段等不同的圖表征出通分的實質(zhì)，就是把異分母分數(shù)通過等值變換轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)。學(xué)生不僅看到了“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，還看到了“形”的轉(zhuǎn)化，借助“形”的變換直觀理解“數(shù)”的變換。

三、畫思路——化靜為動，突破思維難點

對于學(xué)生來說，問題解決的呈現(xiàn)往往是“靜”的，而其中的數(shù)學(xué)問題或數(shù)量關(guān)系又蘊含著動態(tài)的過程，問題解決是理解、分析和應(yīng)用數(shù)量關(guān)系的過程，需要在學(xué)生的頭腦中將之轉(zhuǎn)化成可動、可變、有軌跡可循的畫面，才能夠易于把握解決問題的關(guān)鍵，突破思維難點。畫思路，就是在問題解決教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生化靜為動，把自己所理解的題意、分析的思路用畫圖的方式表征出來，從而厘清數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的方法。畫思路的關(guān)鍵是充分表征問題和分析問題，厘清思維路徑。

例如，教學(xué)“空瓶換飲料”這一問題時，教師首先出示情境圖：光明超市在開展清涼夏日飲節(jié)的“空瓶換飲料”活動。讓學(xué)生用畫圖的方式表征“3個空瓶換一瓶飲料”這句話的意思。學(xué)生獨立畫圖后，教師展示了學(xué)生三幅作品：第一幅圖，學(xué)生畫了三個空瓶子和一瓶飲料，中間用箭號連接，箭號上面寫“換”；第二幅圖用空白圓表示空瓶，用黑色圓表示飲料，三個空瓶換一瓶飲料；第三幅圖用空白長方形表示空瓶，用多行波浪線表示飲料，三個空瓶等于一個空瓶加上一份飲料。

接著啟發(fā)學(xué)生觀察比較：這三幅圖，除了畫的圖形不同，還有什么不同的地方？學(xué)生發(fā)現(xiàn)這里的“3個空瓶換一瓶飲料”的意思是用3個空的瓶子換一份飲料，同時產(chǎn)生了1個新的空瓶，也就是3個空瓶=1份飲料+1個空瓶。

在明確了換的規(guī)則之后，教師提出問題：“小丁有12個空瓶，最多可以喝到多少瓶飲料呢？”讓學(xué)生用畫圖、算式或者文字，把自己思考的過程畫出來。在匯報交流時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生展示了不同的“換”的方法：有的同學(xué)用12個空瓶換了4瓶飲料，有的同學(xué)用了不同的方法把12個空瓶換成了5瓶飲料，有的同學(xué)用12個空瓶換了6瓶飲料。

這時，教師提問都是用12個空瓶來換飲料，怎么換的結(jié)果不一樣呢？有的同學(xué)換了4瓶，有的同學(xué)換了5瓶，甚至還有的同學(xué)換了6瓶呢？于是有的學(xué)生說：“只換了4瓶飲料的同學(xué)，會產(chǎn)生4個空瓶，還可以繼續(xù)換。”教師追問：“那有的同學(xué)結(jié)果都是換了5瓶，可是‘換的方法卻不一樣，他們‘換的過程區(qū)別在哪兒？”學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)他們換飲料的策略不同，有的同學(xué)是換成4瓶飲料全部喝掉，再拿新的空瓶換1瓶飲料，一共換了4瓶飲料；而有的同學(xué)則是邊換邊喝飲料，一個新空瓶跟兩個舊空瓶再換一瓶飲料，喝完又有新空瓶，又繼續(xù)換。不管哪種策略，每次都是用三個空瓶換1個空瓶和1份飲料。最后，教師再次啟發(fā)：“竟然有同學(xué)換成6瓶，你們能看懂嗎？”學(xué)生思考了一會兒，得意地說：“剩下2個空瓶，向老板借一瓶飲料，然后還給老板。”教師笑著說：“借的是飲料，還的是空瓶子，要是你是老板，你樂意嗎？”學(xué)生遲疑了一下說：“那我就借一個空瓶，這樣就可以用三個空瓶換一瓶飲料，喝完再還老板一個空瓶。這樣，借一空瓶還一空瓶，老板應(yīng)該會愿意了吧！”教師再次引導(dǎo)學(xué)生并啟發(fā)學(xué)生，借助“借一還一”的方法實際上是實現(xiàn)了用2個空瓶換1份飲料。

在這個教學(xué)片段中，教師啟發(fā)學(xué)生化靜為動，借“畫思路”把動態(tài)的思維過程展示出來，這樣通過交流與圖畫表征相結(jié)合的方式，從理解“3個空的瓶子換一份飲料”到建立“3個空瓶=1份飲料+1個空瓶”的等量信息的基礎(chǔ)上，最終形成“2個空瓶=一瓶飲料”的思維，突破了“空瓶換飲料”問題中“借一還一”這個難點。

四、畫猜測——化給為引，形成思維模型

對于學(xué)生來說，課堂講解的知識往往是“給”的，而學(xué)生自己探究獲得的知識，才更有感覺，也更有感情。猜測的驗證是需要將主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自己去探尋，需要學(xué)生將之轉(zhuǎn)化成體驗、思維、探索的畫面，才能根據(jù)猜測進行推理和驗證，最終形成思維模型的過程。畫猜測，就是在圖形教學(xué)中，教師化給為引，適當“點化”，拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生的探究實踐得到不斷提高和完善。畫猜測的關(guān)鍵是學(xué)生從自身的體驗和獨立的思維加工中獲取知識的本質(zhì)。

例如，教學(xué)“圓的面積公式”時，教師首先讓學(xué)生回答：“你認為圓的面積與什么有關(guān)？”學(xué)生一致認為跟半徑有關(guān)，甚至還有學(xué)生結(jié)合面積單位，推測出圓的面積可能與半徑的平方有關(guān)系。于是教師引導(dǎo)學(xué)生想一想，嘗試畫一畫并找一找圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。展示時發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生在半圓上畫出一個最大的三角形，三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，那么三角形的面積就是半徑的平方，半圓的面積比這樣的三角形的面積大，但是又比這樣的三角形的2倍小，于是推測圓的面積可能是半徑的平方的3倍多一些；有的學(xué)生在圓心角為90°的扇形上畫一個邊長為半徑的正方形，那么正方形的面積就是圓的半徑的平方，正方形的面積大于圓心角為90°的扇形的面積，于是推測圓的面積比半徑的平方的4倍要小一些。

接著，教師啟發(fā)學(xué)生結(jié)合之前平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程及書上的提示，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)畫圖進行驗證，并尋找聯(lián)系：“在轉(zhuǎn)化的過程中什么沒變，什么變了？圓和近似的長方形之間有什么聯(lián)系？”。學(xué)生畫出從圓轉(zhuǎn)化成近似長方形的過程，對照圖示，探究它們之間內(nèi)在的聯(lián)系。很快就發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)化的過程中，面積不變，近似長方形的長相當于圓周長的一半也就是πr，寬相當于圓的半徑，從而推導(dǎo)出圓的面積等于半徑的平方的π倍，驗證了之前的猜測的正確性。最后回顧推測、驗證的過程，自主推導(dǎo)出圓的面積公式是S=πr2。

在這個教學(xué)片段中，教師不是直白地把圓的面積計算公式給了學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生直觀畫圖，獨立思考，并交流自己的新想法和新體會，逐步驗證推理，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，從而實現(xiàn)形成思維模型，自主推導(dǎo)出圓的面積計算方法。

五、畫結(jié)構(gòu)——化點為線，建立思維結(jié)構(gòu)

對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)知識的獲取往往是“散”的，而知識體系中的各個知識點卻是相互關(guān)聯(lián)的。學(xué)生的學(xué)習最終是要整體觀照，形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，需要在學(xué)生的頭腦中將之轉(zhuǎn)化成循序、聯(lián)通、綜合的畫面，才能易于建立關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。畫結(jié)構(gòu)，就是在復(fù)習教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生化點為線，把自己所學(xué)的知識點串聯(lián)成線，在串聯(lián)中融入并聯(lián)，梳理關(guān)系、整理歸類、綜合提煉，從而整體建立關(guān)聯(lián)。畫結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵是提煉重點和建立關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)從整體到分散再到整體。

例如，教學(xué)“多邊形的面積”整理復(fù)習第一課時，一開始就開門見山問學(xué)生這個單元主要學(xué)習了什么？都是通過什么方法進行探究學(xué)習的？貫穿始終的一條線索是什么？然后讓學(xué)生四人為一小組梳理本單元的學(xué)習內(nèi)容，并用思維導(dǎo)圖的形式畫出自己的理解和想法，并展示匯報交流。學(xué)生借助思維導(dǎo)圖，用自己的方式從不同的角度詮釋了對本單元的理解，在展示交流的過程中，教師啟發(fā)學(xué)生整體觀照本單元知識點，并適時舉例說明驗證，探尋關(guān)系聯(lián)通，從而形成完整的多邊形面積的知識網(wǎng)絡(luò)。

這個教學(xué)片段中，教師啟發(fā)學(xué)生化點為線，借“畫結(jié)構(gòu)”經(jīng)歷“整—分—整”的知識梳理過程，尋找到各個平面圖形面積計算公式推導(dǎo)過程中的內(nèi)在聯(lián)系，進一步感悟“轉(zhuǎn)化”的魅力，整個學(xué)習由“浪漫”走向“準確”，最終走向“綜合”，從而實現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)的建立。

六、結(jié)語

對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是一項“學(xué)”的任務(wù)，而學(xué)生天生喜歡想象、涂鴉和創(chuàng)造。因此，學(xué)生的學(xué)習是需要被吸引的、心情愉悅的，需要在學(xué)生的頭腦中形成親近的、有趣的、富于想象的畫面，才能易于促進思維創(chuàng)新。畫數(shù)學(xué)，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生發(fā)揮想象，化學(xué)為戲、化虛為實、化理為形、化靜為動、化給為引、化點為線，將數(shù)學(xué)與生活編織進自己的圖畫中，從而把握概念本質(zhì)、直觀理解算例、突破思維難點、形成知識模型、建立關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，以實現(xiàn)思維創(chuàng)新和素養(yǎng)的提升。