二次函數學習現狀分析及策略研究

冒小妹

【摘要】二次函數是初中階段的重點、難點，知識點繁雜，題目難度大，對于很多學生來說是個巨大的挑戰.本文結合人教版九上第二十二章二次函數教學實踐，就如何激發學生學習函數的興趣，培養良好的學習習慣，讓學生學會學習，談談筆者的教學體會和思考.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；課堂教學

1 學生學習二次函數的現狀

1.1 學習現狀

經歷了數與式，方程與一次函數的學習后，學生已經初步具備了研究函數的能力.已知函數解析式，會用列表描點連線的方法作出函數圖象，會觀察圖象，回答函數的性質，如增減性、對稱性，會觀察圖象的特殊點，如最高點、最低點.

1.2 存在問題

學生缺乏科學的學習方法，疲于應付上課、作業.有些學生忽視基礎，喜好刷難題，搞題海戰術.有些學生不會主動思考、主動提問.教師課堂容量大，教學進度快，學生跟不上課堂節奏，學習效率低下.

2 夯實二次函數基礎知識，為后續學習做好準備

教師帶領學生探索新知識時，首先要注重夯實基礎，確保學生知識脈絡清晰，掌握最基本的技能.下面以本章中的配方為例說明.

2.1 配方的重要性

在初二學習整式的乘除時已涉及對二次三項式的配方，在學習配方法解一元二次方程時又再次提及配方法.配方在本章中的地位舉足輕重，研究二次函數圖象性質離不開對解析式的配方.配方可以把一般式化成頂點式，幫助我們求二次函數的對稱軸，頂點坐標，最值，研究增減性.在很多二次函數綜合題中，第一步就是對二次函數進行配方，所以配方是研究二次函數的入門級動作.

2.2 學生的掌握情況

配方，這個在教師心目中很基本的一個代數式的恒等變形，對于學生來說卻沒那么簡單.筆者每一屆的學生中都有接近一半的學生在配方時容易出錯，而他們總是把出錯歸咎于看錯了、算錯了.很多學生不愿意花時間練習基本運算，認為太簡單，他們寧愿花時間去刷難題.學生對基礎知識重視程度不夠，是長期存在的一個現象，也是教師需要注意的一個問題.從教師的角度透過現象看本質，對于學生而言，配方的過程中，一步錯，步步錯，很考驗他們代數式恒等變形的能力，必須具備深厚的計算基本功.

2.3 解決策略

教師要善于站在學生的角度分析學情，掌握學生真實的學習情況.不能自以為簡單，自認為學生都會了，教學時就輕描淡寫.要留意班級中哪些學生在配方時感到費力，幫助他們克服學習障礙.

（1）喚醒記憶，帶領學生復習配方步驟.

教師要精心設計課前預習案，借助一系列問題，如什么是完全平方式，什么是配方，配方的步驟，幫助學生重建記憶.

（2）學生練習.

學生練習配方，教師巡視學生的計算過程，了解學生在哪一步算錯.

（3）課后訓練.

針對配方有困難的學生，布置專項訓練.

只有具備了扎實的基礎知識和基本技能，才能進一步探究二次函數中更深層次的問題.

3 比較一次函數和二次函數，體會研究函數的一般方法

學生已經學過一次函數，二次函數和一次函數的知識體系相同，都是先學習定義再學習圖象性質，最后學習實際應用.教師可以讓學生將兩者進行比較，感受它們的聯系與區別.

3.1 從解析式來看

一次函數只有一種形式，二次函數有三種：一般式、頂點式、交點式.一次函數求解析式的方法比較單一，二次函數求解析式先根據題意確定是哪種形式再求解其他系數，方法靈活.在教學時應該讓學生總結哪些特征對應哪種解析式.如已知拋物線上任意三點用一般式，已知對稱軸或頂點用頂點式.已知拋物線與坐標軸的兩個交點用交點式.

3.2 從函數的圖象來看

畫一次函數圖象用兩點法，畫二次函數圖象時，要綜合考慮開口方向，對稱軸，頂點，與x軸交點，與y軸交點，增減性以及圖象趨勢.

3.3 從函數的性質來看

一次函數只研究增減性，二次函數要研究開口方向，開口大小，頂點，對稱軸，增減性，最值，與x軸交點，與y軸交點.

3.4 從函數值取值范圍來看

（1）一次函數，當自變量是任意實數時，函數值也是任意實數.二次函數，當自變量是任意實數時，函數值卻不是任意實數.這一點學生尤其難以理解，因為對于很多學生的理解是：x是任意實數，y的值隨之變化，加起來就能取任意實數.其實這種認識是錯誤的，教師指導學生把一般式配方成頂點式，再觀察式子的特征，這時學生發現結果確實跟自己想象的不同.這也說明我們在研究數學問題時，必須透過現象看本質，揭示正確的道理.

（2）改變自變量取值范圍，圖象發生變化.隨著自變量取值范圍的變化，一次函數圖象由直線變成線段或射線.拋物線也由完整的變成局部.對于學生而言，一次函數求函數值范圍易上手，有些學生不懂原理，直接把端點代入，再比較大小，也能得到正確答案.但到了二次函數，如果生搬硬套則行不通.教師可以通過具體的例子說明，讓學生自己總結體會，不能僅機械地求端點函數值，應該觀察圖象的最高點、最低點求函數值的取值范圍，這里培養的是一種研究函數圖象的能力.

借助類比的學習方法，讓學生體會函數學習的一般方法.這些方面的比較應該由教師引導學生去發現，不能灌輸給學生.通過比較，能加強學生對二次函數圖象性質的理解，抓住研究函數的本質，幫助學生構建知識體系，實現數學知識由外到內的目標.

4 開展二次函數微專題研討，培養學生的思維能力

每學完一個章節，教師要指導學生梳理全章知識體系和主要題型等，讓學生交流自己的學習體會和經驗得失，甚至是學習二次函數的煩惱和困惑.

學生對知識點的梳理可以形成文字材料，有的是提綱式，有的是思維導圖，有的還配以生動的圖畫.學生對這種開放式的作業表現出前所未有的熱情，給一成不變的學習增添了樂趣，激發了學生的求知欲和創新意識.

讓學生對二次函數題型進行分類，在課堂上交流成果，教師要鼓勵學生暢所欲言，大膽交流，有的學生根據二次函數的題型特征，發現二次函數既可以和代數結合，又可以和幾何結合，使得題目靈活多變，大致可分為以下幾個類別：（1）二次函數的圖象和性質；（2）對稱軸的妙用；（3）二次函數圖象專題，特指判斷（ ）中關于式子的對錯；（4）二次函數與幾何結合；（5）二次函數與一元二次方程；（6）與二次函數有關的新定義；（7）建立函數模型求最值.學生們總結的角度不同，結論就不同，有的學生認為只從知識點和題型分類不全面，還補充了本章中涉及的數學思想方法.課堂成了學生的主場，每個人都躍躍欲試，表達自己的想法.這樣的課堂才能吸引學生，學生的學習效率自然會提升.

我們往往把力氣用在老師教學生，而忽視了學生教學生.借助學生群體的力量，發揮生生之間互幫互助、模范引領的作用，營造全班積極學習的氛圍.學生的智慧是無窮的，他們思考問題也會有他們獨特的視角，教師要走到學生中去，放低姿態，傾聽他們的心聲，把他們當作研究者，同時教師也能從學生中獲取教學的反饋，甚至是靈感源泉，實現真正的教學相長.

這樣的微專題研討，能激發學生的發散思維、系統思維和批判思維，讓學生學會反思.促使學生從瑣碎的知識點中跳出來，學會歸納.讓學生體驗一種從少到多，又從多到少的學習方式，是從被動學習到主動學習的飛躍.

5 激發學生的生長力，關注每一位學生的發展

前面從知識技能層面談了二次函數教學中的幾點體會，下面以班級中幾種典型的學生為例，談談從行為習慣，心理層面怎樣加強學法指導，增進師生交流.

5.1 關注班級中的弱勢群體

從心理學的角度看，學習是一個與自己斗爭對抗自己的過程，特別是遇到晦澀難懂、深奧抽象的二次函數，很多學生難以體驗成就感，這時候教師就應該充當陪伴者、引領者、心靈導師，多發現學生們的閃光點.筆者深有體會，班上有一名學生數學成績一直不理想，但默默無聞，乖巧溫順，這類學生在班級中存在感很低，容易被教師忽視，是班級中的弱勢群體.

有一次課上回答問題，是關于二次函數的一個中等難度的問題，筆者喊她回答問題時心想她估計答不出來，但讓筆者驚喜的是她竟然答出來了，筆者當時隨口表揚了她一下，應該是筆者教她以來第一次表揚她.沒想到一句輕描淡寫的鼓勵贊許給了她莫大的動力，她在期末考試中考出了前所未有的好成績.每個學生的接受能力、理解能力都不同，不能以相同的標準來衡量每個學生.有的學生一個配方就足以讓他們苦惱，但只要假以時日，終有學會的一天，從不會到學會，對于他們就是成功.

一個班級中有很多這樣的學生，他們往往最需要教師的關愛，時常走近他們，傾聽他們的心聲，疏導他們的負面情緒，幫助他們樹立學好數學的信心，這就是在潛移默化地培養學生的情感態度價值觀，一種不畏困難的勇氣，一種遇到問題時直面問題、解決問題的信念.

5.2 糾正學生的不良學習方式

一個班級有的學生自控力強，目標明確，態度端正.有的學生則相反，他們在學習時表現出沒有耐心，自控力差，上課不專心，眼高手低等不利于學習的狀態.教師要掌握他們出現這些情況的原因，對癥下藥.比如班級有一名同學課上不認真聽講，解題毫無策略，想一出是一出，一條路走到底，往往陷入繁瑣無比的計算困境，最后不得不放棄.這位同學個性鮮明，他意識不到自己這種學習方式的弊端，不愿意改變自己的學習方式.筆者的做法是在保留其個性的基礎上，建議他每節課認真聽10分鐘，堅持一周，再和他一起回顧一周取得的進步.僅僅一周，他的解題規范了，考試成績也提高了，他嘗到了甜頭，自然會認同老師的建議，從而循序漸進地改變原來不良的學習習慣.每個人心中都有一個積極向上的自己，只是被那個消極的自己掩蓋，教師要因材施教，把每個學生積極的一面發掘出來.

在筆者所教的班級中，除了上述兩類學生，還有數學優等生以及中等水平等各種類型的學生，他們雖然處于班級的中上水平，也需要教師在學習方式上加以指導.教師的教固然重要，學生怎樣科學有效地學，快樂地學，也值得研究.根據每個學生的情況，提出合理化建議，幫助他們形成最適合自己的學習方式，是教師的使命和初心.

每個學生都是獨特的個體，充滿活力和智慧.尊重和理解學生，給學生消化的時間，站在學生的角度看待問題.學習不是一蹴而就，初學霧里看花，再學略有頭緒.初學是片段式的學習，再學是反思式的學習.初學可能跟著老師的節奏走，再學學生會有更多自己的思考疑問，探索和發現.

6 結語

著名教育家陶行知認為：教師的責任不在教，而在教學，而在教學生學[1]REF_Ref117865572＼r＼h＼*MERGEFORMAT.2022年最新版義務教育課程標準中提到數學課程要立足學生核心素養，集中體現數學課程育人價值[2]REF_Ref117865656＼r＼h＼*MERGEFORMAT.學會學習是一生受益的事情，筆者相信，教數學不僅僅是教會學生解題，更不是培養解題機器，而是在和學生探索知識的過程中，一起享受學習帶來的樂趣.和學生共同經歷，共同成長，共同進步.

參考文獻：

［1］朱永新.生活與教育[M].北京：商務印書館，2021，21.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2022，60.