例談立體幾何背景下排列組合問題的不同解題思路

張亮亮

【摘要】高考數學中排列組合問題常常會和其他知識內容進行綜合性聯系，通過對排列組合的可能情況個數的提問考查學生對知識的掌握情況和熟練程度.解答幾何體背景下的排列組合問題，不僅要求學生熟練掌握排列組合知識，還要求學生能夠靈活處理圖形中涉及的點、線、面等關系.本文主要分析與幾何體有關的排列組合問題，從具體例題中分析得到求解的不同思路，以供學生在學習過程中參考和借鑒.

【關鍵詞】立體幾何；排列組合；解題技巧

1 直接分類思路

直接分類思路解答與立體幾何有關的排列組合問題，往往會根據問題要求做出一定的分類，進而在不同情況下探討排列組合的情況.以立體幾何作為載體，必定與點、線、面有關，此時應按照不同幾何位置考慮分類，在具體例題中解答步驟可表現為：

①分析幾何體特點和問題要求，根據定義、性質、位置等進行分類，如共面的點可以分為兩類情況：在幾何體同一表面的點以及三點共面且不是幾何體表面的點；

②按照不同情況討論滿足題意的排列組合數，相加得到的總和即為對應問題的答案.

例1 如圖1所示，四棱錐P－ABCD以點P作為頂點，如果在該四棱錐中其余頂點和各條棱長所對應的中點處任取3個點，要求這3個點和點P在同一個平面內，則不同的取點方法一共有種.

2 間接排除思路

間接排除思路適用于分類情況復雜且容易遺漏的排列組合問題，通過利用逆向思維，間接求出相關值進而得到所求答案的方法.運用間接思路求解幾何體中排列組合問題，一般思路為：

①根據問題所給條件，找出與題意相反的對應情況，運用分步或分類計數原理得到對應排列組合情況個數；

②求出所有排列組合總數，用總組合數減去所求相反情況的排列組合個數，即可得到問題所求值.

例3 要求某一個四面體的全部頂點是長方體的頂點，則滿足要求的四面體一共有個.

分析 問題可以理解成在長方體中任意選擇4個頂點能夠構成四面體的個數，直接求解分類或分步時容易漏解或多解，故考慮間接思路解題.首先求出長方體中任意選擇4個頂點的所有可能個數，其次對4個頂點共面的組合情況做出解答，兩者相減即可得到滿足題意的排列組合數.

解析 ①在長方體的8個頂點中任意選擇4個頂點，一共有C48種情況；

②當選擇的4個頂點共面時，有12種排列組合情況.

由題意可得：選擇的4個頂點構成四面體，4個頂點不共面.

故滿足要求的四面體有C48－12=58（個）.

例4 從正方體6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選取法共有（? ）種.

（A）8. （B）12. （C）16. （D）20.

分析 此題直接求解分類或分步時容易漏解或多解，故考慮間接思路解題.根據已知條件，首先從6個面中任意選取3個面，可知其所有選取情況，再得出其中有3個面均相鄰的所有選取情況，最后兩者相減即可得到滿足題意的排列組合數.

解析 從6個面中任意選取3個面，一共有C36 種選取情況；

其中有3個面均相鄰，一共有 8 種選取情況.

故滿足要求的選取情況有C36－8=12（種）.

故選（B）.

3 結語

立體幾何背景下有關于點、線、面的排列組合問題，分別有兩大解題思路，即分類討論求解思路以及間接排除求解思路.當問題要求過于復雜時，應選取間接排除思路求解.這些知識點交匯的問題雖然題型新穎，但萬變不離其宗，解題依舊離不開這些常見的解題思路應用.學生只有牢牢把握這些解題思路與適用范圍，才能使問題的解答更加順利、準確.希望學生能針對不同類型的問題采取相對應的解題方法進行解答.在解題過程中應加強對問題條件的分析應用，借助已知條件和相關性質去靈活解答，以此提高解題的效率.

參考文獻：

[1]趙藝川.以立體幾何為載體的概率題的解法[J].中學數學月刊，2008（1）：39-41.

[2]袁媛.例談立體幾何的“運動”類型[J].數學之友，2022，36（8）：3.