核心素養背景下信息技術與數學課程融合的思考與實踐

【摘要】本文立足《義務教育數學課程標準（2022年版）》的核心素養教學導向和“促進信息技術與數學課程融合”的課程理念，以“黃金分割數”教學為例，通過將信息技術有機嵌入課程實施的各個環節，探討核心素養背景下信息技術與數學課程融合的實踐策略，包括核心素養背景下教學目標的確定及教學策略的選擇、融入視覺美感的生活化真實情境創設、借助數學實驗發展學生數學核心素養等。

【關鍵詞】初中數學 信息技術 深度融合 核心素養 黃金分割

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）07-0057-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）與《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011年版數學課標》）相比，最大的變化是強化了課程育人導向，將黨的教育方針具體化為數學課程應著力培養的三個方面核心素養，即“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”（以下簡稱“三會”），確定了核心素養導向的課程目標、建構了指向核心素養的內容，體現數學課程對學生正確價值觀、必備品格和關鍵能力的培養要求。與此同時，《2022年版數學課標》還明確提出了“促進信息技術與數學課程融合”的課程理念，提倡“合理利用現代信息技術，提供豐富的學習資源，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革”。近年來，隨著教育現代化的快速發展，筆者就信息技術輔助初中數學教學、與初中數學課程進行深度融合進行了長期的探索，積累了一定的實踐經驗。下面筆者以“黃金分割數”教學為例，談談核心素養背景下信息技術與數學課程融合的思考與實踐。

一、核心素養背景下教學目標的確定及教學策略的選擇

鑒于現行教材是依據《2011年版數學課標》編寫而成，教師使用現行教材確定教學目標，需要遵循《2022年版數學課標》對學生“三會”、“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）、“四能”（發現問題、提出問題、分析問題、解決問題）的培養要求，對教材中的學習內容進行深入分析，結合學生的實際情況確定教學目標和教學重難點。

“黃金分割數”的學習內容安排在人教版數學九年級上冊第二十一章“閱讀與思考”板塊，是在學生學習了“一元二次方程的解法”之后，即將學習“實際問題與一元二次方程”之前的一個過渡性學習內容。它既是學生今后學習線段之比的基礎性知識，又是學生今后研究具有黃金比的圖形的工具性知識。“黃金分割”的發現歷史悠久，最早由公元前5世紀的畢達哥拉斯學派掌握；到公元前4世紀時，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統地研究了這個問題，并建立起比例理論；到公元前300年前后，歐幾里得撰寫《幾何原本》時進一步系統論述了黃金分割，也因此《幾何原本》成為有關黃金分割的最早論著。“黃金分割”在生活和藝術領域有著廣泛的應用，有助于學生在生活攝影、美術設計、服裝設計、建筑設計等綜合與實踐活動中展現獨特的視覺美感。因此，本課學習內容，無論是基礎知識本身還是發現和運用知識的過程，都具有重要的學習和探究價值。

人教版教材在本章的章前圖導言中明確指出：“在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感。”在本章的學習中，學生雖然已經知道了雕像的上部與下部之比等于下部和全部之比，知道了如何設未知數、列方程求解，并熟練掌握了一元二次方程的解法，但對于“比值相等”可以增加“視覺美感”這件事，學生依然缺乏直觀感受和理性感知。而所謂視覺美感，其實來源于人對視覺美的感受力。所謂視覺美，指的是通過人的視覺去感受到的美，與聽覺美、綜合美并列。視覺美以存在于一定空間的可視性物質材料為媒介和載體，而這些媒介和載體需要具備靜態或動態的直觀實體形象。基于學生的基礎學情，筆者決定將“增加學生的視覺美感”作為本課教學中連接數學與現實生活的重要學習目標，以此培養學生“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”的核心素養，同時借助信息技術豐富的學習資源和學科工具，給學生創設恰切的學習情境，引導學生通過自主創造必要的“靜態或動態的直觀的實體形象”，觸發自己的視覺美感。

按照《2022年版數學課標》對“三會”“四基”“四能”的培養要求，筆者為本課學習內容確定了如下學習目標：了解現實生活中存在的黃金分割數，會解相應的方程；借助信息技術的支持，能夠通過觀察、測量發現正五角星中存在的黃金分割數；能夠在教師所創設的教學情境中觸發真實的“視覺美感”，進而發現數學問題和提出數學問題；能在方程思想引領下，以方程為工具對所提出的數學問題展開數學分析；能夠結合實際問題背景，以方程為工具解決問題；通過經歷從情境探索到發現黃金分割數的過程，體會化歸思想，增強模型觀念，提高抽象能力，發展數學應用意識。重點是“引導學生學會從現實生活情境中發現黃金分割數、感受黃金分割數的魅力”，通過創設恰切的學習情境激發學生的探究欲，引導學生在主動探究、合作交流的過程中感受探究的樂趣、感受數學的理性之美；通過將信息技術與數學課程深度融合，幫助學生逐漸發現黃金分割數、感受黃金分割數的魅力，從而獲得探究成功的體驗、提升數學審美修養，積累數學活動經驗，培養良好學習習慣，培養數學學習興趣、學習信心以及勇于探索的科學精神。難點在于：如何讓學生在生活化的真實問題情境中發展“視覺美感”，從而深入理解“視覺美感”與黃金分割數的內在聯系。

《2022年版數學課標》指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。”為了便于學生達成本課學習目標，筆者決定以問題的發現、提出、分析和解決為主線，通過創設恰切的學習情境，在學生的“最近發展區”巧設問題，引導學生以自主探索和合作交流相結合的學習方式，積極主動地參與到課堂活動中來。需要說明的是，教師應給學生搭建適當的問題支架，給學生留足思考的時間，支持學生順利完成對本課學習內容的自我建構，從中培養“三會”“四基”“四能”。

二、融入視覺美感的生活化真實情境創設

基于對“視覺美感”的獨特感悟，為了培養學生從現實生活情境中發現黃金分割數、感受黃金分割數之美的能力，筆者在進行情境創設時經歷了一波三折的“試錯”過程。

首先是“靈感迸發”，創意聯想。結合學生喜愛動漫的特點，筆者設計了兩個情境創設方案。第一個方案是創設一個卡通人物，在肚臍眼處設計一個拖動按鈕：拖動這個按鈕，便可以改變該卡通人物上身與下身的比例，從而達到銜接教學內容的目的。后來經仔細推敲，發現該方案與《2022年版數學課標》提出的“注重創設真實情境”的指導思想相背離。于是，筆者設計了第二個方案：將卡通人物換成建筑物，如東方明珠塔或者埃菲爾鐵塔，在塔腰處設計拖動按鈕，通過拖動按鈕改變塔身比例。結果是，因為這些塔的塔身過高，仍不足以通過比例變換凸顯“視覺美感”的動態生成過程。

其次是開卷閱讀，借鑒他人的成功經驗。在查閱資料的過程中，筆者發現了著名的費希納實驗。據傳，德國物理學家、心理學家古斯塔夫·費希納（Gustav Theodor Fechner）在1860年做了一個很簡單的實驗：在十個具有不同長寬比的矩形中，請人們選出最美的一個。結果顯示，人們心中的最美矩形乃是長寬之比為黃金分割數的矩形，即“黃金矩形”。這是一個很有意思的實驗，應該可以吸引學生的注意力。于是，筆者走進課堂，借用這個實驗創設情境，讓學生從中進行選擇，出乎意料的是，課堂上沒有生成筆者想要的結果。仔細分析個中原因，關鍵在于筆者所面對的初中生與費希納所面對的實驗對象存在相當大的審美能力差距：初中生的審美意識以及對圖形的審美感覺還處在初期發展階段。

最后是研讀課標，找準情境創設的切入點。《2022年版數學課標》明確指出：“真實情境創設可從社會生活、科學和學生已有數學經驗等方面入手，圍繞教學任務，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材。”這一次，“學生生活經驗”成了筆者的重點考察方向。將學生放在課程的中央，教師在課堂教學中所要創設的情境不僅要是真實的生活，而且是“貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點”的真實生活，如此才有利于觸發學生真實的“視覺美感”。如今智能手機已經在生活中普及，用手機拍照已經成為人們日常生活的一部分。在攝影這門學問中，有一個關于構圖的技巧叫三分法，又稱九宮格法，指的是將取景框中所看到的畫面，橫豎各三等分，當被攝對象以線條的形式出現時，可將其置于畫面的任意一條三分線位置。如此構圖，能夠在視覺上帶給人愉悅和生動的感受，避免出現主體居中的呆板感覺。而該法則，恰恰是運用了數學中的黃金分割法則。如果將拍照構圖任務融入情境創設，以此勾連黃金分割數，觸發學生的視覺美感，勢必能夠收到很好的教學效果。對學生來說，證件照司空見慣，且不易引發青春期學生的其他聯想。于是筆者創設了一個“拍證件照”的教學情境，設計了如圖1所示的情境任務。

有了以上切合學生生活實際的教學情境，本課教學便有了靈魂，本課系列探究活動便有了載體和依托：讓學生自主拖動“相框”進行“拍照”，就是想讓學生在自主捕捉“視覺美感”的過程中學會用數學的眼光觀察現實世界，從身邊真實經歷過的“拍證件照”的情境中發現數學問題，激發探究興趣，為后續提出問題、分析問題和解決問題打下基礎，切實發展自我認知，提高數學審美，建立學好數學的信心。

三、借助數學實驗發展學生數學核心素養，體現信息技術與數學課程的深度融合

在課堂教學中，因為不存在真實的照相機，學生的探究過程必須借助現代信息技術，發揮信息技術與數學課程融合的優勢。學生可以在各自的平板電腦上進行操作，尋找最美的“拍照”構圖。通過一定時間的自主探索和合作交流，借助信息技術的大數據統計，教師把學生共同尋找出來的最美圖片進行了分享，如圖2所示，其中：圖2（1）、圖2（2）分別是改變相框大小前后被學生普遍認可的最美圖片。

在該教學環節，信息技術的作用主要體現在以下四個方面：第一，在平板電腦上還原了拍證件照的真實情境，人人都是攝影師，想怎么拍就怎么拍，這就是數學的生活化；第二，相框的大小可以自主調節，就像是真實的拍照過程，想拍多大尺寸的照片就拍多大尺寸，從而為后續的比例探究埋下了伏筆；第三，通過大數據統計，過濾掉一些個案，呈現大家普遍認可的最美照片，使結論更真實；第四，通過圖片呈現，能夠在視覺上對學生造成沖擊，讓其體驗到強烈的圖形感覺。而信息技術與數學課程的融合，主要體現在以下三點，這也是本課實驗探究的關鍵：第一，照片是二維結構，學生拖動相框的過程無非包含兩個方向，一是左右，二是上下，這里便隱含了將二維向一維分解的方法，體現了數學圖形與幾何領域化繁為簡、降維降次的數學思想；第二，當左右調整相框時，大家的共識非常明確，就是“居中為美”，這其實就是數學上的軸對稱知識在生活中的應用；第三，當上下平移相框且相框大小可調時，這里便隱含了特定的比例關系，而這個比例關系就是本課所要探究的重點知識——黃金分割數。

盡管學生經過討論選出了最美的構圖，但他們依然不能明白：為什么他們會不約而同地選擇這樣的構圖，或者說大家為什么會覺得這樣的構圖是最美的？這里面到底蘊含了怎樣的數學知識呢？圍繞學生所提出的數學問題，筆者帶領學生展開了下面的知識探究過程。

（一）知識探究：感受和經歷黃金分割數的形成過程

數學學習除了要提升學生的數學核心素養，《2022年版數學課標》還提倡“在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養”。顯然，讓信息技術與數學課程深度融合，培養的是學生面向未來社會發展需要的核心素養。為了引導學生自主解決自己所提出的問題，筆者組織學生實施了兩個探究實驗。

探究實驗一 左右拖動相框，尋找你心目中最美的構圖，與同伴交流：你能發現什么共性？你能用數學知識解釋其中的道理嗎？

筆者設計該實驗的意圖在于：數學源于生活，生活中處處有數學。讓學生用數學知識解釋實驗現象，旨在培養學生“會用數學的眼光觀察現實世界”的核心素養，同時滲透學法指導，為下面的實驗方法遷移埋下伏筆。

在學生自主探究的過程中，筆者提示學生注意把“相框”化歸為矩形，可以把小欣的鼻梁所在直線畫出來并使該直線與“相框”的上、下邊線各相交于一個點，如圖3所示，以此實現將生活情境數學化的過程，也就是將現實情境中的照片慢慢轉為特定的數學模型，培養學生的抽象能力和模型觀念。

通過研究照片和由照片抽象出來的數學圖形，學生得出了下面的結論：從生活的角度看，將人物頭像擺放在正中間的位置，能夠給人以和諧、端莊的視覺美感；從數學的角度看，當點E為線段AB的中點時，AE=BE，AE∶BE=1∶1，這實際是數學中的軸對稱圖形。綜合以上認知，可以得出如下有關美的奧秘：居中為美，對稱為美。

但是，針對左右居中的一組照片，如圖4所示，當從縱向來看時，卻極不容易發現問題。但可以達成共識的是，針對圖4中的三幅圖，學生普遍感覺到其中的圖4（2）更美一些，至于原因是什么，又普遍說不清楚，而正是這個說不清楚的問題，激發了學生進一步探索的欲望，為學生后續的實驗探究提供了強勁的動力。

于是筆者提出了下面的問題：回顧實驗探究一的探究過程，請對圖4（2）展開縱向研究，想一想能夠得到什么啟發，并與同伴進行交流。

筆者設計以上問題的意圖在于，引導學生沿著實驗探究一的探究思路，由橫向探究轉向縱向探究，培養學生的思維方法遷移能力。

從橫向來看，學生很容易找到頭像的中軸線，進而將生活情境轉化成數學模型，但從縱向來看，學生卻較難找到這樣的關鍵線索，不知從何處入手。于是筆者引導學生注意抓住關鍵細節進行觀察：“俗話說得好，眼睛是心靈的窗戶。所以，我們在看一個人的時候，往往會看向他（她）的眼睛，通過眼睛來感受他（她）的心靈。這就彰顯了眼睛在證件照拍攝過程中的重要性。由此你能得到什么啟發？”經由筆者點撥，學生如同醍醐灌頂，知道了如何捕捉縱向審美的關鍵點：以頭像雙眼珠之間的連線為參照，提取連線的中心點，由此抽象出相關的數學模型。

探究實驗二 如圖5，我們將眼睛化歸為點C，相框中軸線化歸為線段AB，上下拖動相框，觀察線段BC、AC、AB，進行數學思考。

思考一：上下拖動相框時，哪條線段的大小改變了，如何改變？

思考二：線段比[BCAC]和[ACAB]的值隨著相框的上下移動是否改變？如何改變？

思考三：進一步觀察相框的上下移動，思考線段比[BCAC]和[ACAB]的值的變化情況。天才的你發現了什么？

思考四：改變相框的大小，你的發現還成立嗎？

探究實驗二的設計意圖如下：基于信息技術與數學課程的深度融合，借助信息技術的支持，學生自主操作相框上下平移，圖示中可直觀呈現人像的變化及圖形中線段長短及其比值關系的變化：將人物頭像在相框中的位置數字化，完美體現了數形結合的數學思想。學生一邊拖動相框，一邊觀察測量數據的實時變化，使人像對人的視覺產生了強烈的視覺沖擊力，也因此很容易引發學生的數學思考。當照片停留到最美位置時，無論相框是大還是小，學生們都能看到相等的比值，也因此直觀感受到了“最美”與比例相等之間的聯系。

接下來，教師用課件動態演示的方式，將線段AB從頭像中剝離出來，再旋轉擺平，完成了從生活情境到數學抽象的完整過程，最終生成了以下黃金分割的概念：如圖6，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果[ACAB]=[BCAC]，那么稱線段AB被點C黃金分割（goldensection），點C叫作線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫作黃金比。

學生由此可以從數學的角度分析和表達照片美的第二個奧秘：和諧為美，“黃金分割”為美。也就是說，從縱向來看，形成視覺美感的根源在于黃金比。借助信息技術的實驗測量數據，學生看到的比值是0.62。但是，實驗測量中難免出現或多或少的實驗誤差，能否通過數學計算相對精確地算出這個比值呢？

為了探求黃金分割的精確比值，筆者引導學生運用本章所學的方程知識進行探究：設線段AB的長為單位1，AC的長為x，則BC的長為1-x。根據黃金分割的定義，可得[1-xx]=[x1]。根據比例性質，得x2=1-x，即x2+x-1=0。解這個一元二次方程，得x=[-1±52]，舍去負值，可得x=[5-12]≈0.618。至此可得出本課核心知識即黃金分割數為0.618。

在探求新知——黃金分割數的精確比值的過程中，學生再次體會到方程的工具性及其應用價值，“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”的核心素養得到了有效培養。

（二）知識拓展與應用：在知識應用中進一步發現數學之美

在求出黃金分割數以后，筆者給學生安排了相關的知識拓展活動：請同學們利用手中的平板電腦，借助網絡，搜索關于黃金分割、黃金比、黃金分割數的相關知識，并與同伴交流。設計該探究活動，旨在引導學生加深對黃金分割數的認識，拓寬學生的相關知識，培養學生的信息素養。在學生進行知識分享的時候，筆者重點引導學生圍繞建筑、美術、攝影等內容進行知識分享。最后，筆者講述了數學家華羅庚及0.618法的故事，將數學教育與美育、德育相結合，鼓勵學生以華羅庚為榜樣投身數學學習與研究，為實現中華民族偉大復興而努力。

為了加深學生對黃金分割數的認識，筆者為學生安排了下面的探究活動：利用平板電腦，打開幾何畫板軟件，從圖庫里調出一個正五角星和我們的國旗，尋找其中的黃金分割數，再次讓學生感受數學與生活的聯系。

之后是安排如圖7所示的隨堂作業，一道必做題、一道選做題，體現黃金分割數在生活中的應用，一方面幫助學生鞏固知識，另一方面反饋教學效果。在第1題中，筆者安排了大量的文字閱讀材料，用以培養學生的數學閱讀與理解能力，然后出示了一道在生活中極為現實的問題，引導學生通過解決實際問題提高運算能力和問題解決能力，增強應用意識。第2題旨在進一步拓寬學生的視野，強化學生的數學應用意識。

最后是小結歸納，拓展深化。小結歸納不應是知識的簡單羅列，而應是認知結構的優化、知識體系的完善，通常要求圍繞教學目標進行設計，強化教學目標的達成，明確學生應該掌握的核心知識。在本課中，筆者重點引導學生反思以下內容：（1）通過本課學習，你學會了哪些知識？掌握了哪些技能？體會到什么數學思想？有什么體驗？（2）本課是怎樣從生活情境中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的？你有什么感受？（3）你掌握了哪些學習數學的方法？感受到數學哪方面的魅力？

總之，本課教學在信息技術與數學課程融合方面做出了積極、有效的探索，在教學方面達到了能傳統教材之所不能、在難點突破上達到了破常規教學之所不能破的整體效果。情境創設通過將課本中的“視覺美感”具體化、形象化，引導學生基于數學探究活動的需要，自覺融合信息技術的應用，展開獨立思考、自主探索、合作交流，不斷加深對“視覺美感”的感悟；通過設計環環相扣的教學環節、層層深入的探究活動、靈活有效的師生互動，充分彰顯了學生學習的主體地位，有效達成了教學目標，使不同層次的學生在數學學習上均得到了發展。

《2022年版數學課標》提倡學生“對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神”。黃金分割被威尼斯數學家帕喬里（Pacioli）譽為“神賜的比例”，黃金分割數與“美”存在天然的聯系，在生活中有著廣泛的應用。受限于課程標準對本學段該知識點的學習要求及課堂教學有限的時間，本課所選擇的研究內容依然有限，但也為學生課后探究留出了空間，感興趣的學生可在課后結合個人的研究興趣，對該知識進行選擇性拓展，達成“不同的人在數學上有不同的發展”的目標。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

注：本文系廣西教育科學規劃2021年度自籌經費一般課題（Ｃ類）“教育信息化背景下雙向視頻互動教室促進城鄉優質教育資源共享的實踐研究”（2021C502）的階段研究成果。

作者簡介：蒙裕勁（1971— ），廣西靈山人，本科，中小學正高級教師，主要研究方向為初中數學教學。

（責編 白聰敏）